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高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册8.3 正态分布一课一练
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这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册8.3 正态分布一课一练，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
8.3正态分布苏教版（ 2019）高中数学选择性必修第二册
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 有5条同样的生产线，生产的零件尺寸(单位：mm)都服从正态分布N20,σ2，且P(19
2. 已知随机变量X∼N(2,1)，其正态分布密度曲线如图所示，则图中阴影部分的面积为( )
(附：若随机变量ξ∼N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ≤μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)= 0.9544)
A. 0.1359 B. 0.7282 C. 0.8641 D. 0.93205
3. 2022年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数X(单位：辆)均服从正态分布N(600,σ2).若P(500
4. 某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2)，下列结论中不正确的是 ( )
A. σ越小，该物理量在一次测量结果落在(9.9,10.1)的概率越大
B. 该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5
C. 该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等
D. 该物理量一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率相等
5. 我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量．概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量Y～B(n,p)，当n充分大时，二项随机变量Y可以由正态随机变量X来近似，且正态随机变量X的期望和方差与二项随机变量Y的期望和方差相同．棣莫弗在1733年证明了p=12的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的p进行了证明．现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为( )
(附：若X～N(μ,σ2)，则P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)
A. 0.1587 B. 0.0228 C. 0.0027 D. 0.0014
6. 对某地区某次数学考试成绩的数据进行分析，甲学校成绩X∼N(88,42)，乙学校成绩Y∼N(86,22)，丙学校成绩Z∼N(85,52)，丁学校成绩M∼N(83,32).80分以上为优秀分，则优秀率最高的学校是(附：P(μ−σ
7. 某种芯片的良品率X服从正态分布N(0.95,0.012)，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若芯片的良品率不超过95%，不予奖励；若芯片的良品率超过95%但不超过96%，每张芯片奖励100元；若芯片的良品率超过96%，每张芯片奖励200元.则每张芯片获得奖励Y的数学期望为元( )
附：随机变量ξ服从正态分布Nμ,σ2，则P(μ−σ<ξ<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<ξ<μ+3σ)=0.9974．
A. 52.28 B. 65.87 C. 50.13 D. 131.74
8. “杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献．某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)服从正态分布，其密度曲线函数为f(x)=1102πe−(x−100)2200，x∈R，则下列说法正确的是( )
A. 该地水稻的平均株高为100 cm
B. 该地水稻株高的方差为10
C. 随机测量一株水稻，其株高在120 cm以上的概率比株高在70 cm以下的概率小
D. 随机测量一株水稻，其株高在(80,90)和在(100,110)(单位：cm)的概率一样大
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布N(μ,302)和N(280,402)，则下列选项正确的是( )
附：若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ
B. 红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中
C. 白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中
D. 白玫瑰日销售量范围在(280,320)的概率约为0.3413
10. 18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布B(n,p)，那么当n比较大时，可视为X服从正态分布Nμ,σ2，其密度函数φμ⋅σ(x)=12πσe−(x−μ)22σ2，x∈(−∞,+∞).任意正态分布X∼Nμ,σ2，可通过变换Z=x−μσ转化为标准正态分布(μ=0且σ=1).当Z∼N(0,1)时，对任意实数x，记t(x)=P(Z
B. 当x>0时，P(|Z|
D. 随机变量X∼Nμ,σ2，当μ,σ都增大时，概率P(|X−μ|<σ)单调增大
11. 下列说法正确的是( )
A. 若随机变量η的概率分布列为P(η=k)=ak(k=1,2,3,4,5)，则a=110
B. 若随机变量X~N(3,σ2)，P(X≤5)=0.7，则P(X≤1)=0.3
C. 若随机变量X~B(8,23)，则D(X)=163
D. 在含有4件次品的10件产品中，任取3件，X表示取到的次品数，则P(X=2)=310．
12. 下列说法正确的是( )
A. 已知随机变量X服从正态分布N(3,σ2)且P( X≤5)=0.85，则P(1< X≤3)=0.35
B. 设离散型随机变量η服从两点分布，若P(η=1)=2P(η=0)，则P(η=0)=13
C. 若3个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则恰有两个空盒的放法共有12种
D. 已知P(AB)=0.12，若P(A|B)=0.2，则P(A)=0.6
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践中，在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布．在某次大型联考中，所有学生的数学成绩X～N(100,225).若成绩低于m+10的同学人数和高于2m−20的同学人数相同，则整数m的值为 ．
14. 对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果，已知测量结果ξn服从正态分布N(10,2n)(n∈N+)，为使测量结果ξn在(9.5,10.5)的概率不小于0.9545，则至少测量 次.(参考数据：若X∽N(μ,σ2)，则P(|X−μ|<2σ)=0.9545)．
15. 一次考试后某班数学成绩ξ∼N115,σ2，若P100≤ξ≤115=0.4，且该班学生数学成绩在130分以上的有5人，则估计该班总人数为 ．
16. 为了解高二学生体育健康情况，学校组织了一次体育健康测试，成绩X近似服从正态分布N(70,72)，已知成绩在77分以上的学生有208人，如果成绩大于84分为优秀，则本次体育健康测试成绩优秀的大约有 人．
(参考数据：P(μ−σ
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
某次考试中，英语成绩服从正态分布N(100,17.52)，数学成绩的频率分布直方图如下：
(1)如果成绩大于135分的为特别优秀，则随机抽取的500名学生中本次考试英语、数学特别优秀的大约各多少人？(假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布)
(2)如果英语和数学两科都特别优秀的共有6人，从(1)中英语特别优秀的人中随机抽取3人，设3人中两科同时特别优秀的有X人，求X的分布列和数学期望．
(附公式)：若x～N(μ,σ2)，则P(μ−σ
若X∽N(μ,σ2),从X的取值中随机抽取k(k∈N*,k≥2)个数据,记这k个数据的平均值为Y,则随机变量Y∽N(μ,σ2k),以下问题的求解中可以利用这一结论.
根据以往的考试数据,某学校高三年级数学模考成绩X~N(100,52),设从X的取值中随机抽取25个数据的平均值为随机变量Y.现在从X的取值中随机抽取25个数据从小到大排列为x1,x2,x3,⋯,x25,x1+x2+⋯+x10=901.5,x16+x17+⋯+x25=1048,其余5个数分别为97,97,98,98,98.
(1)求x1,x2,x3,⋯,x25的中位数及平均值;
(2)求P(98≤Y≤103).
附:随机变量η服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤η≤μ+σ)=0.6827,P(μ-2σ≤η≤μ+2σ)=0.9545,P(μ-3σ≤η≤μ+3σ)=0.9973.
19. (本小题12.0分)
某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件.该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下(单位：μm)．
97 97 98 102 105
107 108 109 113 114
(1)计算平均值μ与标准差σ．
(2)假设这台3D打印设备打印出的零件内径Z服从正态分布N(μ,σ2)，该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为(单位：μm)86，95，103，109，118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么⋅
参考数据：P(μ−2σ
近年我国科技成果斐然，其中北斗三号全球卫星导航系统于2020年7月31日正式开通.北斗三号全球卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星，共30颗卫星组成.北斗三号全球卫星导航系统全球范围定位优于10米，实测的导航定位精度都是2米∼3米，全球服务可用性99%，亚太地区性能更优．
(1)南美地区某城通过对1000辆家用汽车进行定位测试，发现定位精确度X近似满足X∼N (52,14)，预估该地区某辆家用汽车导航精确度在[1,3]的概率;
(2) ①某日北京、上海、拉萨、巴黎、里约5个基地同时独立随机选取1颗卫星进行信号分析，选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目记为ξ，求ξ的数学期望;
②某地基站工作人员从30颗卫星中随机选取4颗卫星进行信号分析，记Y为选取的4颗卫星中含倾斜地球同步轨道卫星的数目，求Y的分布列和数学期望．
附：若X∼N(μ,σ2)，则P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973．
21. (本小题12.0分)
某市举办数学知识竞赛活动，共5000名学生参加，竞赛分为初试和复试，复试环节共3道题，其中2道单选题，1道多选题，得分规则如下：参赛学生每答对1道单选题得2分，答错得0分，答对多选题得3分，答错得0分，答完3道题后的得分之和为参赛学生的复试成绩．
(1)通过分析可以认为学生初试成绩X服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ=66，σ2=144，试估计初试成绩不低于90分的人数;
(2)已知小强已通过初试，他在复试中单选题的正确率为23，多选题的正确率为12，且每道题回答正确与否互不影响.记小强复试成绩为Y，求Y的分布列及数学期望．
附：P(μ−σ
某乒乓球教练为了解某同学近期的训练效果，随机记录了该同学40局接球训练成绩，每局训练时教练连续发100个球，该同学每接球成功得1分，否则不得分，且每局训练结果相互独立，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)同一组数据用该区间的中点值作代表，
①求该同学40局接球训练成绩的样本平均数x．
②若该同学的接球训练成绩X近似地服从正态分布N(μ,100)，其中μ近似为样本平均数x，求P(54
参考数据：若随机变量ξ～Nμ,σ2，则Pμ−σ<ξ<μ+σ≈0.6827，
Pμ−2σ<ξ<μ+2σ≈0.9545，Pμ−3σ<ξ<μ+3σ≈0.9973．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查正态分布的对称性的应用，独立重复试验的概率，考查运算求解能力，是中档题．
本题解题的关键在于根据正态分布的对称性，得P(20
解：由题知正态分布N(20,σ2)的对称轴为x=20，
又因为P(19
故选：D．
2.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查正态密度函数，正态分布的概率、均值、方差，属于中档题．
【解答】
解：根据题意，随机变量X满足正态分布N(2,1)，得μ=2，σ2=1，则正态曲线的对称轴为x=2，且σ=1，根据正态分布密度曲线的性质，可得阴影部分的面积S= P(0
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查正态分布曲线的对称性，n次独立重复试验的概率计算，属于中档题．
由已知求出P(X>700)，再由对立事件的概率公式求解．
【解答】
解：P(X>700)=12[1−P(500≤X≤700)]
=12(1−0.6)=0.2=15．
∴这个收费口每天至少有一个超过700辆的概率为1−(1−15)3=61125．
故选C．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了正态曲线的性质应用，属于中档题．
根据正态曲线的特征以及对称性依次判断各个选项的正误即可．
【解答】
解：A．σ越小，则数据越集中，即该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大，故A正确；
B.由正态曲线的对称性可知，P(X>10)=0.5，即该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5，故B正确；
C.由正态曲线的对称性可知，P(x<9.99)=P(x>10.01)，即该物理量一次测量结果小于9.99与大于10.01的概率相等，故C正确；
D.由正态曲线的对称性可知，P(9.9
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查二项分布的期望与方差公式，以及正态分布的对称性，属于基础题．
根据已知条件，结合二项分布的期望与方差公式，求出μ=E(X)=50，σ2=D(X)=25，再结合正态分布的对称性，即可求解．
【解答】
解：抛掷一枚质地均匀的硬币100次，
设硬币正面向上次数为X，
则X～B(100,12)，
故E(X)=np=100×12=50，D(X)=np(1−p)=100×12×(1−12)=25，
由题意可得，X～N(μ,σ2)，且μ=E(X)=50，σ2=D(X)=25，
∵P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，
∴用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为P(X>60)=P(X>50+2×5)=1−0.95452≈0.0228．
故选：B．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了正态分布的实际应用，属于中档题．
根据正态分布的概率计算分别求出每个学校在80分以上的概率，即可判断．
【解答】
解：甲学校成绩X∼N(88,42)，
则P(X≥80)=P(X≥88−4×2)=12P(88−4×2≤X<88+4×2)+0.5
=12×0.9545+0.5=0.97725；
乙学校成绩Y∼N(86,22)，
则P(Y≥80)=P(Y≥86−2×3)=12P(86−2×3≤Y<86+2×3)+0.5
=12×0.9973+0.5=0.99865；
丙学校成绩Z∼N(85,52)，
则P(Z≥80)=P(Z≥85−5)=12P(85−5≤Z<85+5)+0.5
=12×0.6827+0.5=0.84135；
丁学校成绩M∼N(83,32)，
则P(M≥80)=P(M≥83−3)=12P(83−3≤M<83+3)+0.5
=12×0.6827+0.5=0.84135；
综上可得，优秀率最高的学校为乙学校．
故选B．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了正态分布列的定义与应用问题，也考查了推理与计算能力，属于中档题．
根据X～N(0.95,0.012)得出μ=0.95，μ+σ=0.96，计算对应的概率值，再求每张芯片获得奖励Y的数学期望．
【解答】
解：因为X～N(0.95,0.012)，所以μ=0.95，μ+σ=0.96，
所以P(X≤0.95)=P(X≤μ)=0.5，
P(0.95
E(Y)=0+100×0.3413+200×0.1587=65.87(元)．
故选B．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查正态分布密度曲线函数，考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
由已知可得μ=100，σ=10.由此判断A正确，B错误;然后再由σ、2σ、3σ原则求解概率判断C与D．
【解答】
解：由已知 f(x)=1102πe−(x−100)2200，故μ=100，σ2=100，
故该地水稻的平均株高为100 cm
该地水稻株高的方差为100；故A正确；B错误；
p(x>120)=p(x<80)>p(x<70)，所以随机测量一株水稻，其株高在120 cm以上的概率比株高在70 cm以下的概率大；故 C错误；
根据正态分布的对称性知：p(100p(80
9.【答案】ABD
【解析】
【分析】
本题考查正态分布的实际应用，正态分布的概率、均值、方差，属于基础题．
由题意结合P(μ−σ
解：若红玫瑰日销售量范围在(μ−30,280)的概率是0.6826，则μ+30=280，即μ=250.所以红玫瑰日销售量的平均数约为250，故A项正确；
因为红玫瑰日销售量的方差σ12=900，白玫瑰日销售量的方差σ22=1600，红玫瑰日销售量的方差小于白玫瑰日销售量的方差，则红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中，故B项正确，C项错误；
白玫瑰日销售量范围在(280,320)的概率P=(μ
10.【答案】AC
【解析】
【分析】
本题考查了正态曲线及其性质和正态分布的应用，属于基础题．
根据t(x)=P(Z
解：对于A，根据正态曲线的对称性可得：t(−x)=P(Z<−x)=P(Z⩾x)=1−P(Z
故由P(|X−μ|<σ)=P(μ−σ
11.【答案】BD
【解析】
【分析】
本题考查了两点分布、正态分布、超几何分布概率的计算以及二项分布的方差，属于中档题 .
根据相关知识点逐项计算比对，即可得出正确结论.
【解答】
解：对于A，∵随机变量η的概率分布为P(η=k)=ak(k=1,2,3,4,5),
∴P(η=1)+P(η=2)+P(η=3)+P(η=4)+P(η=5)=1,
∴a+2a+3a+4a+5a=15a=1,
∴a=115,故A不正确;
对于B，P(X>5)=1-P(X≤5)=0.3，∴P(X≤1)=P(X>5)=0.3，故B正确；
对于C，由X~B(8,23)，得D(X)=8×23×1−23=169，故C错误；
对于D，由题意，得P(X=2)=C42·C61C103=310，故D正确.
故本题选BD.
12.【答案】ABC
【解析】
【分析】
本题考查正态分布、两点分布、条件概率的计算等，属于中档题．
根据正态分布的概率计算判断A;根据两点分布的特征判断B;结合组合数的思想判断C;由条件概率公式计算判断D．
【解答】
解：对于A，随机变量X服从正态分布N(3,σ2)且P( X≤5)=0.85，
则P(X≤1)=P(X>5)=1−P(X≤5)=0.15，
则P(1
则P(η=1)+P(η=0)=3P(η=0)=1，
解得P(η=0)=13，故B正确；
对于C，从编号为1，2，3，4的盒子中选出2个盒子来放球有C42=6种方法，
将3个相同的小球放入选出的2个盒子中，则一个盒子装1个球，另一个盒子装2个球，共有C21=2种方法，所以恰有两个空盒的放法共有6×2=12种放法，故C正确；
对于D，已知P(AB)=0.12，若P(A|B)=0.2，则P(B)=P(AB)P(A|B)=0.6，无法求出PA，故D错误．
故选ABC．
13.【答案】70
【解析】
【分析】
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性．
由题意可得正态分布曲线的对称轴，结合成绩低于m+10的同学人数和高于2m−20的同学人数相同，可得P(X2m−20)，由此列式求得m值．
【解答】
解：由X～N(100,225)，可知正态分布曲线的对称轴为μ=100，
若成绩低于m+10的同学人数和高于2m−20的同学人数相同，
则P(X2m−20)，
∴(m+10)+(2m−20)2=μ=100，解得m=70．
故答案为：70．
14.【答案】32
【解析】
【分析】
本题考查了正态分布的理解和应用，解题的关键是掌握正态曲线的对称性，考查了逻辑推理与运算能力，属于中档题．
【解答】
解：根据正态曲线的对称性知：要使误差εn在(9.5,10.5)的概率不小于0.9545，
则(μ−2σ,μ+2σ)⊆(9.5,10.5)且μ=10，则2σ=0.5，所以σ=14，
又σ=2n，所以2n=14，即116=2n，
所以n=32．
故答案为：32．
15.【答案】50
【解析】
【分析】
本题考查了正态分布的应用，属于中档题．
计算出P(ξ>130)的值，再结合已知条件可求得该班的总人数．
【解答】
解：因为ξ∽N(115,σ2)，则P(115≤ξ≤130)=P(100≤ξ≤115)=0.4，
所以该班学生数学成绩在130分以上的概率为P(ξ>130)=12×(1−0.4−0.4)=0.1．
因为该班学生数学成绩在130分以上的有5人，所以估计该班学生人数为50.1=50．
故答案为：50．
16.【答案】26
【解析】
【分析】
本题考查了正态曲线及其性质及正态分布的概率计算，属于中档题．
根据已知 μ=70,σ=7,μ+σ=77,μ+2σ=84 ，结合已知数据，可求出学生成绩在77分以上的概率，进而求出学生总人数，再由 P(X>84)=P(X>μ+2σ)，即可求解．
【解答】
解：∵成绩X服从正态分布 N(70,72).
∴ μ=70,σ=7,μ+σ=77,μ+2σ=84 ，
则有： P(X⩾77)=P(X⩾μ+σ)=1−P(μ−σ
所以高二学生的总人数约为208÷0.16=1300人，
P(X⩾84)=P(X⩾μ+2σ)=1−P(μ−2σ
故答案为26．
17.【答案】解：(1)∵μ=100,σ=17.5，
P(100−35
故英语成绩特别优秀的有500×0.02=10人，
由频率分布直方图知，数学成绩特别优秀的频率为0.0016×20×1520=0.024，
故数学成绩特别优秀的有500×0.024=12人；
(2)依题意：X=0,1,2,3，
P(X=0)=C43C103=130，P(X=1)=C61C42C103=310，
P(X=2)=C62C41C103=12 P(X=3)=C63C103=16，
其分布列为：
X
0
1
2
3
P
130
310
12
16
∴E(X)=1×310+2×12+3×16=95．
【解析】本题考查了频率分布直方图，正态分布的概率计算，离散型随机变量及其分布列和期望的求法，属于中档题．
(1)根据正态曲线及其性质求出英语成绩特别优秀的概率，再利用频率分布直方图求出数学成绩特别优秀的概率，进而得解；
(2)由题意X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E(X)．
18.【答案】解:(1)由已知得,有10个数不超过97,有10个数不低于98,中间的5个数为97,97,98,98,98,
所以x1,x2,x3,⋯,x25的中位数为98,进一步由已知得x1,x2,x3,⋯,x25的平均值为
901.5+97×2+98×3+104825=97.5.
(2)由题意知Y~N(100,5225),即Y~N(100,1),
因为P(98≤Y≤102)=0.9545,
P(97≤Y≤103)=0.9973,
所以P(98≤Y≤103)=12[P(98≤Y≤102)+P(97≤Y≤103)]=12(0.9545+0.9973)=0.9759.
【解析】本题考查了正态分布的概率、平均数、中位数等知识，属中档题.
19.【答案】(1)利用测量数据，即可计算平均值μ与标准差σ. μ=97+97+98+102+105+107+108+109+113+11410=105. σ2=64+64+49+9+0+4+9+16+64+8110=36，∴σ=6．
(2)需要进一步调试．∵Z服从正态分布N(105,36)，P(μ−3σ
【解析】本题考查正态分布的概率、均值与方差，属于基础题．
20.【答案】(1)由X∼N(52,14),易知μ=52,σ=12,所以P(1≤X≤3)=P(μ-3σ≤X≤μ+σ)≈0.6827+0.9973−0.68272=0.6827+0.1573=0.84,则预估该地区某辆家用汽车导航精确度在[1,3]的概率为0.84.
(2)5个基地相互独立,每个基地随机选取1颗卫星是中圆地球轨道卫星的概率为2430=45,所以5个基地选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目ξ~B(5,45),
所以Eξ= 5×45=4.
由题意可得Y可能的取值为0,1,2,3,则P(Y=0)=C274C304=130203,P(Y=1)=C273⋅C31C304=65203, P(Y=2)=C272⋅C32C304=391015, P(Y=3)=C271⋅C33C304=11015,
所以Y的分布列为
Y
0
1
2
3
P
130203
65203
391015
11015
所以数学期望EY=130203×0+65203×1+391015×2+11015×3=4061015=25.
【解析】本题考查二项分布的均值求法，考查超几何分布的概率与均值计算以及正太分布的概率计算，属于中等题.
21.【答案】(1)∵σ2=144，∴σ=12．
又μ=66，∴μ+2σ=66+2×12=90，
∴P(X≥90)=P(X≥μ+2σ)=12×(1−0.9544)=0.0228，
∴估计不低于90分的有0.0228×5000=114(人)．
(2)Y的所有可能取值为0，2，3，4，5，7．
∴P(Y=0)=12×13×13=118;P(Y=2)=C21×23×13× 12=418=29;P(Y=3)=13×13×12=118;P(Y=4)= 23×23×12=418=29;P(Y=5)=C21×23×13×12=418 =29;P(Y=7)=23×23×12=418=29，
∴Y的分布列为
Y
0
2
3
4
5
7
P
118
29
118
29
29
29
∴EY=0×118+2×29+3×118+4×29+5×29+7× 29=256．
【解析】本题考查正态分布的实际应用，离散型随机变量的分布列，均值，属于中档题．
22.【答案】解：(1)①x＝55×0.01×10＋65×0.02×10＋75×0.045×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝74．
②由①得μ＝x＝74，所以X~N(74，100)，
所以P(64＜X＜84)≈0.6827，P(54＜X＜94)≈0.9545，
所以P(54＜X＜64)＝P(54
Y的可能取值为3，4，5,
P(Y＝3)＝(14)3＋(34)3＝716，P(Y＝4)＝C32×(14)2×34×14＋C32×(34)2×14×34＝45128，
P(Y＝5)＝C42×(14)2×(34)2×14＋C42×(34)2×(14)2×34＝27128．
Y
3
4
5
P
716
45128
27128
因此 E(Y)＝3×716＋4×45128＋5×27128＝483128．
【解析】本题考查知识点为频率分布直方图，平均数，正态分布，离散型随机变量及其分布列及期望，属于中档题.
（1）①根据频率分布直方图及平均数求法得到答案；
②利用正态曲线的对称性质，求得P(54＜X＜64)的值；
（2）设“该同学一局比赛获胜”为事件A，得到P(A)＝14，先求得比赛的局数Y的分布列，继而得到E(Y)
8.3正态分布苏教版（ 2019）高中数学选择性必修第二册
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 有5条同样的生产线，生产的零件尺寸(单位：mm)都服从正态分布N20,σ2，且P(19
2. 已知随机变量X∼N(2,1)，其正态分布密度曲线如图所示，则图中阴影部分的面积为( )
(附：若随机变量ξ∼N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ≤μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)= 0.9544)
A. 0.1359 B. 0.7282 C. 0.8641 D. 0.93205
3. 2022年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数X(单位：辆)均服从正态分布N(600,σ2).若P(500
4. 某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2)，下列结论中不正确的是 ( )
A. σ越小，该物理量在一次测量结果落在(9.9,10.1)的概率越大
B. 该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5
C. 该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等
D. 该物理量一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率相等
5. 我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量．概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量Y～B(n,p)，当n充分大时，二项随机变量Y可以由正态随机变量X来近似，且正态随机变量X的期望和方差与二项随机变量Y的期望和方差相同．棣莫弗在1733年证明了p=12的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的p进行了证明．现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为( )
(附：若X～N(μ,σ2)，则P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)
A. 0.1587 B. 0.0228 C. 0.0027 D. 0.0014
6. 对某地区某次数学考试成绩的数据进行分析，甲学校成绩X∼N(88,42)，乙学校成绩Y∼N(86,22)，丙学校成绩Z∼N(85,52)，丁学校成绩M∼N(83,32).80分以上为优秀分，则优秀率最高的学校是(附：P(μ−σ
7. 某种芯片的良品率X服从正态分布N(0.95,0.012)，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若芯片的良品率不超过95%，不予奖励；若芯片的良品率超过95%但不超过96%，每张芯片奖励100元；若芯片的良品率超过96%，每张芯片奖励200元.则每张芯片获得奖励Y的数学期望为元( )
附：随机变量ξ服从正态分布Nμ,σ2，则P(μ−σ<ξ<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<ξ<μ+3σ)=0.9974．
A. 52.28 B. 65.87 C. 50.13 D. 131.74
8. “杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献．某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)服从正态分布，其密度曲线函数为f(x)=1102πe−(x−100)2200，x∈R，则下列说法正确的是( )
A. 该地水稻的平均株高为100 cm
B. 该地水稻株高的方差为10
C. 随机测量一株水稻，其株高在120 cm以上的概率比株高在70 cm以下的概率小
D. 随机测量一株水稻，其株高在(80,90)和在(100,110)(单位：cm)的概率一样大
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布N(μ,302)和N(280,402)，则下列选项正确的是( )
附：若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ
B. 红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中
C. 白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中
D. 白玫瑰日销售量范围在(280,320)的概率约为0.3413
10. 18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布B(n,p)，那么当n比较大时，可视为X服从正态分布Nμ,σ2，其密度函数φμ⋅σ(x)=12πσe−(x−μ)22σ2，x∈(−∞,+∞).任意正态分布X∼Nμ,σ2，可通过变换Z=x−μσ转化为标准正态分布(μ=0且σ=1).当Z∼N(0,1)时，对任意实数x，记t(x)=P(Z
B. 当x>0时，P(|Z|
D. 随机变量X∼Nμ,σ2，当μ,σ都增大时，概率P(|X−μ|<σ)单调增大
11. 下列说法正确的是( )
A. 若随机变量η的概率分布列为P(η=k)=ak(k=1,2,3,4,5)，则a=110
B. 若随机变量X~N(3,σ2)，P(X≤5)=0.7，则P(X≤1)=0.3
C. 若随机变量X~B(8,23)，则D(X)=163
D. 在含有4件次品的10件产品中，任取3件，X表示取到的次品数，则P(X=2)=310．
12. 下列说法正确的是( )
A. 已知随机变量X服从正态分布N(3,σ2)且P( X≤5)=0.85，则P(1< X≤3)=0.35
B. 设离散型随机变量η服从两点分布，若P(η=1)=2P(η=0)，则P(η=0)=13
C. 若3个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则恰有两个空盒的放法共有12种
D. 已知P(AB)=0.12，若P(A|B)=0.2，则P(A)=0.6
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践中，在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布．在某次大型联考中，所有学生的数学成绩X～N(100,225).若成绩低于m+10的同学人数和高于2m−20的同学人数相同，则整数m的值为 ．
14. 对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果，已知测量结果ξn服从正态分布N(10,2n)(n∈N+)，为使测量结果ξn在(9.5,10.5)的概率不小于0.9545，则至少测量 次.(参考数据：若X∽N(μ,σ2)，则P(|X−μ|<2σ)=0.9545)．
15. 一次考试后某班数学成绩ξ∼N115,σ2，若P100≤ξ≤115=0.4，且该班学生数学成绩在130分以上的有5人，则估计该班总人数为 ．
16. 为了解高二学生体育健康情况，学校组织了一次体育健康测试，成绩X近似服从正态分布N(70,72)，已知成绩在77分以上的学生有208人，如果成绩大于84分为优秀，则本次体育健康测试成绩优秀的大约有 人．
(参考数据：P(μ−σ
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
某次考试中，英语成绩服从正态分布N(100,17.52)，数学成绩的频率分布直方图如下：
(1)如果成绩大于135分的为特别优秀，则随机抽取的500名学生中本次考试英语、数学特别优秀的大约各多少人？(假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布)
(2)如果英语和数学两科都特别优秀的共有6人，从(1)中英语特别优秀的人中随机抽取3人，设3人中两科同时特别优秀的有X人，求X的分布列和数学期望．
(附公式)：若x～N(μ,σ2)，则P(μ−σ
若X∽N(μ,σ2),从X的取值中随机抽取k(k∈N*,k≥2)个数据,记这k个数据的平均值为Y,则随机变量Y∽N(μ,σ2k),以下问题的求解中可以利用这一结论.
根据以往的考试数据,某学校高三年级数学模考成绩X~N(100,52),设从X的取值中随机抽取25个数据的平均值为随机变量Y.现在从X的取值中随机抽取25个数据从小到大排列为x1,x2,x3,⋯,x25,x1+x2+⋯+x10=901.5,x16+x17+⋯+x25=1048,其余5个数分别为97,97,98,98,98.
(1)求x1,x2,x3,⋯,x25的中位数及平均值;
(2)求P(98≤Y≤103).
附:随机变量η服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤η≤μ+σ)=0.6827,P(μ-2σ≤η≤μ+2σ)=0.9545,P(μ-3σ≤η≤μ+3σ)=0.9973.
19. (本小题12.0分)
某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件.该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下(单位：μm)．
97 97 98 102 105
107 108 109 113 114
(1)计算平均值μ与标准差σ．
(2)假设这台3D打印设备打印出的零件内径Z服从正态分布N(μ,σ2)，该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为(单位：μm)86，95，103，109，118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么⋅
参考数据：P(μ−2σ
近年我国科技成果斐然，其中北斗三号全球卫星导航系统于2020年7月31日正式开通.北斗三号全球卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星，共30颗卫星组成.北斗三号全球卫星导航系统全球范围定位优于10米，实测的导航定位精度都是2米∼3米，全球服务可用性99%，亚太地区性能更优．
(1)南美地区某城通过对1000辆家用汽车进行定位测试，发现定位精确度X近似满足X∼N (52,14)，预估该地区某辆家用汽车导航精确度在[1,3]的概率;
(2) ①某日北京、上海、拉萨、巴黎、里约5个基地同时独立随机选取1颗卫星进行信号分析，选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目记为ξ，求ξ的数学期望;
②某地基站工作人员从30颗卫星中随机选取4颗卫星进行信号分析，记Y为选取的4颗卫星中含倾斜地球同步轨道卫星的数目，求Y的分布列和数学期望．
附：若X∼N(μ,σ2)，则P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973．
21. (本小题12.0分)
某市举办数学知识竞赛活动，共5000名学生参加，竞赛分为初试和复试，复试环节共3道题，其中2道单选题，1道多选题，得分规则如下：参赛学生每答对1道单选题得2分，答错得0分，答对多选题得3分，答错得0分，答完3道题后的得分之和为参赛学生的复试成绩．
(1)通过分析可以认为学生初试成绩X服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ=66，σ2=144，试估计初试成绩不低于90分的人数;
(2)已知小强已通过初试，他在复试中单选题的正确率为23，多选题的正确率为12，且每道题回答正确与否互不影响.记小强复试成绩为Y，求Y的分布列及数学期望．
附：P(μ−σ
某乒乓球教练为了解某同学近期的训练效果，随机记录了该同学40局接球训练成绩，每局训练时教练连续发100个球，该同学每接球成功得1分，否则不得分，且每局训练结果相互独立，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)同一组数据用该区间的中点值作代表，
①求该同学40局接球训练成绩的样本平均数x．
②若该同学的接球训练成绩X近似地服从正态分布N(μ,100)，其中μ近似为样本平均数x，求P(54
参考数据：若随机变量ξ～Nμ,σ2，则Pμ−σ<ξ<μ+σ≈0.6827，
Pμ−2σ<ξ<μ+2σ≈0.9545，Pμ−3σ<ξ<μ+3σ≈0.9973．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查正态分布的对称性的应用，独立重复试验的概率，考查运算求解能力，是中档题．
本题解题的关键在于根据正态分布的对称性，得P(20
解：由题知正态分布N(20,σ2)的对称轴为x=20，
又因为P(19
故选：D．
2.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查正态密度函数，正态分布的概率、均值、方差，属于中档题．
【解答】
解：根据题意，随机变量X满足正态分布N(2,1)，得μ=2，σ2=1，则正态曲线的对称轴为x=2，且σ=1，根据正态分布密度曲线的性质，可得阴影部分的面积S= P(0
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查正态分布曲线的对称性，n次独立重复试验的概率计算，属于中档题．
由已知求出P(X>700)，再由对立事件的概率公式求解．
【解答】
解：P(X>700)=12[1−P(500≤X≤700)]
=12(1−0.6)=0.2=15．
∴这个收费口每天至少有一个超过700辆的概率为1−(1−15)3=61125．
故选C．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了正态曲线的性质应用，属于中档题．
根据正态曲线的特征以及对称性依次判断各个选项的正误即可．
【解答】
解：A．σ越小，则数据越集中，即该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大，故A正确；
B.由正态曲线的对称性可知，P(X>10)=0.5，即该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5，故B正确；
C.由正态曲线的对称性可知，P(x<9.99)=P(x>10.01)，即该物理量一次测量结果小于9.99与大于10.01的概率相等，故C正确；
D.由正态曲线的对称性可知，P(9.9
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查二项分布的期望与方差公式，以及正态分布的对称性，属于基础题．
根据已知条件，结合二项分布的期望与方差公式，求出μ=E(X)=50，σ2=D(X)=25，再结合正态分布的对称性，即可求解．
【解答】
解：抛掷一枚质地均匀的硬币100次，
设硬币正面向上次数为X，
则X～B(100,12)，
故E(X)=np=100×12=50，D(X)=np(1−p)=100×12×(1−12)=25，
由题意可得，X～N(μ,σ2)，且μ=E(X)=50，σ2=D(X)=25，
∵P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，
∴用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为P(X>60)=P(X>50+2×5)=1−0.95452≈0.0228．
故选：B．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了正态分布的实际应用，属于中档题．
根据正态分布的概率计算分别求出每个学校在80分以上的概率，即可判断．
【解答】
解：甲学校成绩X∼N(88,42)，
则P(X≥80)=P(X≥88−4×2)=12P(88−4×2≤X<88+4×2)+0.5
=12×0.9545+0.5=0.97725；
乙学校成绩Y∼N(86,22)，
则P(Y≥80)=P(Y≥86−2×3)=12P(86−2×3≤Y<86+2×3)+0.5
=12×0.9973+0.5=0.99865；
丙学校成绩Z∼N(85,52)，
则P(Z≥80)=P(Z≥85−5)=12P(85−5≤Z<85+5)+0.5
=12×0.6827+0.5=0.84135；
丁学校成绩M∼N(83,32)，
则P(M≥80)=P(M≥83−3)=12P(83−3≤M<83+3)+0.5
=12×0.6827+0.5=0.84135；
综上可得，优秀率最高的学校为乙学校．
故选B．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了正态分布列的定义与应用问题，也考查了推理与计算能力，属于中档题．
根据X～N(0.95,0.012)得出μ=0.95，μ+σ=0.96，计算对应的概率值，再求每张芯片获得奖励Y的数学期望．
【解答】
解：因为X～N(0.95,0.012)，所以μ=0.95，μ+σ=0.96，
所以P(X≤0.95)=P(X≤μ)=0.5，
P(0.95
E(Y)=0+100×0.3413+200×0.1587=65.87(元)．
故选B．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查正态分布密度曲线函数，考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
由已知可得μ=100，σ=10.由此判断A正确，B错误;然后再由σ、2σ、3σ原则求解概率判断C与D．
【解答】
解：由已知 f(x)=1102πe−(x−100)2200，故μ=100，σ2=100，
故该地水稻的平均株高为100 cm
该地水稻株高的方差为100；故A正确；B错误；
p(x>120)=p(x<80)>p(x<70)，所以随机测量一株水稻，其株高在120 cm以上的概率比株高在70 cm以下的概率大；故 C错误；
根据正态分布的对称性知：p(100
9.【答案】ABD
【解析】
【分析】
本题考查正态分布的实际应用，正态分布的概率、均值、方差，属于基础题．
由题意结合P(μ−σ
解：若红玫瑰日销售量范围在(μ−30,280)的概率是0.6826，则μ+30=280，即μ=250.所以红玫瑰日销售量的平均数约为250，故A项正确；
因为红玫瑰日销售量的方差σ12=900，白玫瑰日销售量的方差σ22=1600，红玫瑰日销售量的方差小于白玫瑰日销售量的方差，则红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中，故B项正确，C项错误；
白玫瑰日销售量范围在(280,320)的概率P=(μ
10.【答案】AC
【解析】
【分析】
本题考查了正态曲线及其性质和正态分布的应用，属于基础题．
根据t(x)=P(Z
解：对于A，根据正态曲线的对称性可得：t(−x)=P(Z<−x)=P(Z⩾x)=1−P(Z
故由P(|X−μ|<σ)=P(μ−σ
11.【答案】BD
【解析】
【分析】
本题考查了两点分布、正态分布、超几何分布概率的计算以及二项分布的方差，属于中档题 .
根据相关知识点逐项计算比对，即可得出正确结论.
【解答】
解：对于A，∵随机变量η的概率分布为P(η=k)=ak(k=1,2,3,4,5),
∴P(η=1)+P(η=2)+P(η=3)+P(η=4)+P(η=5)=1,
∴a+2a+3a+4a+5a=15a=1,
∴a=115,故A不正确;
对于B，P(X>5)=1-P(X≤5)=0.3，∴P(X≤1)=P(X>5)=0.3，故B正确；
对于C，由X~B(8,23)，得D(X)=8×23×1−23=169，故C错误；
对于D，由题意，得P(X=2)=C42·C61C103=310，故D正确.
故本题选BD.
12.【答案】ABC
【解析】
【分析】
本题考查正态分布、两点分布、条件概率的计算等，属于中档题．
根据正态分布的概率计算判断A;根据两点分布的特征判断B;结合组合数的思想判断C;由条件概率公式计算判断D．
【解答】
解：对于A，随机变量X服从正态分布N(3,σ2)且P( X≤5)=0.85，
则P(X≤1)=P(X>5)=1−P(X≤5)=0.15，
则P(1
则P(η=1)+P(η=0)=3P(η=0)=1，
解得P(η=0)=13，故B正确；
对于C，从编号为1，2，3，4的盒子中选出2个盒子来放球有C42=6种方法，
将3个相同的小球放入选出的2个盒子中，则一个盒子装1个球，另一个盒子装2个球，共有C21=2种方法，所以恰有两个空盒的放法共有6×2=12种放法，故C正确；
对于D，已知P(AB)=0.12，若P(A|B)=0.2，则P(B)=P(AB)P(A|B)=0.6，无法求出PA，故D错误．
故选ABC．
13.【答案】70
【解析】
【分析】
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性．
由题意可得正态分布曲线的对称轴，结合成绩低于m+10的同学人数和高于2m−20的同学人数相同，可得P(X
【解答】
解：由X～N(100,225)，可知正态分布曲线的对称轴为μ=100，
若成绩低于m+10的同学人数和高于2m−20的同学人数相同，
则P(X
∴(m+10)+(2m−20)2=μ=100，解得m=70．
故答案为：70．
14.【答案】32
【解析】
【分析】
本题考查了正态分布的理解和应用，解题的关键是掌握正态曲线的对称性，考查了逻辑推理与运算能力，属于中档题．
【解答】
解：根据正态曲线的对称性知：要使误差εn在(9.5,10.5)的概率不小于0.9545，
则(μ−2σ,μ+2σ)⊆(9.5,10.5)且μ=10，则2σ=0.5，所以σ=14，
又σ=2n，所以2n=14，即116=2n，
所以n=32．
故答案为：32．
15.【答案】50
【解析】
【分析】
本题考查了正态分布的应用，属于中档题．
计算出P(ξ>130)的值，再结合已知条件可求得该班的总人数．
【解答】
解：因为ξ∽N(115,σ2)，则P(115≤ξ≤130)=P(100≤ξ≤115)=0.4，
所以该班学生数学成绩在130分以上的概率为P(ξ>130)=12×(1−0.4−0.4)=0.1．
因为该班学生数学成绩在130分以上的有5人，所以估计该班学生人数为50.1=50．
故答案为：50．
16.【答案】26
【解析】
【分析】
本题考查了正态曲线及其性质及正态分布的概率计算，属于中档题．
根据已知 μ=70,σ=7,μ+σ=77,μ+2σ=84 ，结合已知数据，可求出学生成绩在77分以上的概率，进而求出学生总人数，再由 P(X>84)=P(X>μ+2σ)，即可求解．
【解答】
解：∵成绩X服从正态分布 N(70,72).
∴ μ=70,σ=7,μ+σ=77,μ+2σ=84 ，
则有： P(X⩾77)=P(X⩾μ+σ)=1−P(μ−σ
所以高二学生的总人数约为208÷0.16=1300人，
P(X⩾84)=P(X⩾μ+2σ)=1−P(μ−2σ
故答案为26．
17.【答案】解：(1)∵μ=100,σ=17.5，
P(100−35
故英语成绩特别优秀的有500×0.02=10人，
由频率分布直方图知，数学成绩特别优秀的频率为0.0016×20×1520=0.024，
故数学成绩特别优秀的有500×0.024=12人；
(2)依题意：X=0,1,2,3，
P(X=0)=C43C103=130，P(X=1)=C61C42C103=310，
P(X=2)=C62C41C103=12 P(X=3)=C63C103=16，
其分布列为：
X
0
1
2
3
P
130
310
12
16
∴E(X)=1×310+2×12+3×16=95．
【解析】本题考查了频率分布直方图，正态分布的概率计算，离散型随机变量及其分布列和期望的求法，属于中档题．
(1)根据正态曲线及其性质求出英语成绩特别优秀的概率，再利用频率分布直方图求出数学成绩特别优秀的概率，进而得解；
(2)由题意X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E(X)．
18.【答案】解:(1)由已知得,有10个数不超过97,有10个数不低于98,中间的5个数为97,97,98,98,98,
所以x1,x2,x3,⋯,x25的中位数为98,进一步由已知得x1,x2,x3,⋯,x25的平均值为
901.5+97×2+98×3+104825=97.5.
(2)由题意知Y~N(100,5225),即Y~N(100,1),
因为P(98≤Y≤102)=0.9545,
P(97≤Y≤103)=0.9973,
所以P(98≤Y≤103)=12[P(98≤Y≤102)+P(97≤Y≤103)]=12(0.9545+0.9973)=0.9759.
【解析】本题考查了正态分布的概率、平均数、中位数等知识，属中档题.
19.【答案】(1)利用测量数据，即可计算平均值μ与标准差σ. μ=97+97+98+102+105+107+108+109+113+11410=105. σ2=64+64+49+9+0+4+9+16+64+8110=36，∴σ=6．
(2)需要进一步调试．∵Z服从正态分布N(105,36)，P(μ−3σ
【解析】本题考查正态分布的概率、均值与方差，属于基础题．
20.【答案】(1)由X∼N(52,14),易知μ=52,σ=12,所以P(1≤X≤3)=P(μ-3σ≤X≤μ+σ)≈0.6827+0.9973−0.68272=0.6827+0.1573=0.84,则预估该地区某辆家用汽车导航精确度在[1,3]的概率为0.84.
(2)5个基地相互独立,每个基地随机选取1颗卫星是中圆地球轨道卫星的概率为2430=45,所以5个基地选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目ξ~B(5,45),
所以Eξ= 5×45=4.
由题意可得Y可能的取值为0,1,2,3,则P(Y=0)=C274C304=130203,P(Y=1)=C273⋅C31C304=65203, P(Y=2)=C272⋅C32C304=391015, P(Y=3)=C271⋅C33C304=11015,
所以Y的分布列为
Y
0
1
2
3
P
130203
65203
391015
11015
所以数学期望EY=130203×0+65203×1+391015×2+11015×3=4061015=25.
【解析】本题考查二项分布的均值求法，考查超几何分布的概率与均值计算以及正太分布的概率计算，属于中等题.
21.【答案】(1)∵σ2=144，∴σ=12．
又μ=66，∴μ+2σ=66+2×12=90，
∴P(X≥90)=P(X≥μ+2σ)=12×(1−0.9544)=0.0228，
∴估计不低于90分的有0.0228×5000=114(人)．
(2)Y的所有可能取值为0，2，3，4，5，7．
∴P(Y=0)=12×13×13=118;P(Y=2)=C21×23×13× 12=418=29;P(Y=3)=13×13×12=118;P(Y=4)= 23×23×12=418=29;P(Y=5)=C21×23×13×12=418 =29;P(Y=7)=23×23×12=418=29，
∴Y的分布列为
Y
0
2
3
4
5
7
P
118
29
118
29
29
29
∴EY=0×118+2×29+3×118+4×29+5×29+7× 29=256．
【解析】本题考查正态分布的实际应用，离散型随机变量的分布列，均值，属于中档题．
22.【答案】解：(1)①x＝55×0.01×10＋65×0.02×10＋75×0.045×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝74．
②由①得μ＝x＝74，所以X~N(74，100)，
所以P(64＜X＜84)≈0.6827，P(54＜X＜94)≈0.9545，
所以P(54＜X＜64)＝P(54
Y的可能取值为3，4，5,
P(Y＝3)＝(14)3＋(34)3＝716，P(Y＝4)＝C32×(14)2×34×14＋C32×(34)2×14×34＝45128，
P(Y＝5)＝C42×(14)2×(34)2×14＋C42×(34)2×(14)2×34＝27128．
Y
3
4
5
P
716
45128
27128
因此 E(Y)＝3×716＋4×45128＋5×27128＝483128．
【解析】本题考查知识点为频率分布直方图，平均数，正态分布，离散型随机变量及其分布列及期望，属于中档题.
（1）①根据频率分布直方图及平均数求法得到答案；
②利用正态曲线的对称性质，求得P(54＜X＜64)的值；
（2）设“该同学一局比赛获胜”为事件A，得到P(A)＝14，先求得比赛的局数Y的分布列，继而得到E(Y)
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