高中数学7.4二项式定理同步训练题

这是一份高中数学7.4二项式定理同步训练题，共13页。试卷主要包含了4　二项式定理，若4=a+2b,则a+b=，5+54+103+102+5=等内容，欢迎下载使用。

7.4.1 二项式定理
基础过关练
题组一 二项式定理的正用与逆用
1.若(1+2)4=a+2b(a,b均为有理数),则a+b=( )

A.33B.29C.23D.19
2.(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1)=( )
A.x5B.x5-1
C.x5+1D.(x-1)5-1
3.设A=37+C72×35+C74×33+C76×3,B=C71×36+C73×34+C75×32+1,则A-B的值为( )
A.128B.129
C.47D.0
题组二 二项展开式的特定项、项的系数及二项式系数
4.(2021江苏盐城伍佑中学高二期中)在3x-1x26的展开式中,中间一项的二项式系数为( )
A.20B.-20
C.15D.-15
5.(2021江苏常州高二期中)x3-3x25的展开式中的常数项为( )
A.80B.-80
C.270D.-270
6.(2021江苏邗江中学高二期中)在x2+12x10的二项展开式中,含x11的项的系数是( )
A.10B.15
C.20D.25
7.(2021江苏南通通州高三调研)12x2-13x10的二项展开式中有理项有( )
A.3项B.4项
C.5项D.6项
8.(2021江苏淮安高二月考)将(3+x)n(n∈N*)的展开式的各项按照x的升幂排列,若倒数第三项的系数是90,则n的值是( )
A.4B.5
C.6D.7
9.(2021江苏新海中学高三期末)4ax-1x8的展开式中含x2的项的系数为70,则a= .
10.已知2x-1xn(n∈N*)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5.
(1)求n的值;
(2)求展开式中的常数项.
11.(2021江苏淮安淮阴中学高二月考)已知在3x-123xn的展开式中第5项为常数项.
(1)求n的值;
(2)求展开式中含x2的项的系数;
(3)求展开式中所有的有理项.
能力提升练
题组一 二项式定理的正用与逆用
1.(2021江苏如皋中学高二期中,)2-1x+1x2(x-1)6的展开式中的常数项为( )

A.11B.19
C.23D.-11
2.(2021江苏海头中学高二月考,)设复数x=2i1-i(i是虚数单位),则C20201x1+C20202x2+C20203x3+…+C20202020x2 020=( )
A.1+iB.-i
C.iD.0
3.(2020江苏太湖中学高二期中,)已知Cn0-4Cn1+42Cn2-43Cn3+…+(-1)n4nCnn=729,则n的值为( )
A.5B.6
C.7D.8
4.(2021江苏宿迁中学高二期中,)化简:Cn0·32n+Cn1·32n-2+Cn2·32n-4+…+Cnn-1·32= .
5.(2021江苏无锡一中高二期中,)已知数列{an}的首项为1,记F(x,n)=a1Cn0(1-x)n+a2Cn1x(1-x)n-1+a3Cn2x2(1-x)n-2+…+anCnn-1xn-1(1-x)1+an+1Cnnxn.
(1)若数列{an}是公比为3的等比数列,求F(-1,2 020)的值;
(2)若数列{an}是公差为2的等差数列,求证:F(x,2 020)是关于x的一次多项式.
题组二 二项展开式的特定项、项的系数及二项式系数
6.(2021江苏泰州中学高二期中,)若x10-x5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10(x-1)10,则a5=( )
A.251B.250
C.252D.249
7.(2021江苏江阴一中高二期中,)设2x2-17x6=a0xm0+a1xm1+a2xm2+…+a6xm6,其中x的幂指数依次减小,则m0+m1+m2+…+m6=( )
A.21B.64
C.78D.156
8.(2020陕西榆林二中高三月考,)若x+12x8(ax-1)的展开式中含x12的项的系数为21,则实数a的值为( )
A.3B.-3
C.2D.-2
9.(2021江苏苏州高二期末,)(1+x)2+(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)20中x2的系数为 .
10.()在x+4x-45的展开式中x3的系数是 .(用数字作答)
11. ()已知x+126xn(n∈N*)的展开式中,前三项的系数成等差数列.
(1)求展开式中含x2的项的系数;
(2)将x+126xn的展开式中的所有项重新排成一列,求有理项互不相邻的概率.
7.4 二项式定理
7.4.1 二项式定理
基础过关练
1.B ∵(1+2)4=C40(2)0+C41(2)1+C42×(2)2+C43(2)3+C44(2)4=17+122=a+2b,∴a=17,b=12,∴a+b=29,故选B.
2.B 逆用二项式定理,得原式=[(x-1)+1]5-1=x5-1.故选B.
3.A A-B=C70×37-C71×36+C72×35-C73×34+C74×33-C75×32+C76×31-C77×30=(3-1)7=27=128.
4.A 在3x-1x26的展开式中,共有7项,中间一项是第4项,对应的二项式系数为C63=20,故选A.
5.D 该二项展开式的通项为Tk+1=C5k·(x3)5-k·-3x2k=(-3)k·C5k·x15-5k,令15-5k=0,得k=3,则T4=(-3)3·C53·x0=-270,故选D.
6.B x2+12x10的二项展开式的通项为Tr+1=C10r(x2)10-r12xr=12rC10rx20-3r.令20-3r=11,解得r=3,故含x11的项的系数是123C103=15.故选B.
7.B 12x2-13x10的二项展开式的通项为Tr+1=C10r12x210-r-13xr=C10r·(-1)r·1210-r·x20-7r3,令20-7r3为整数,则r=0,3,6,9,故展开式中有理项有4项,故选B.
8.B 依题意,得Cnn-2·32=90,即Cnn-2=10,解得n=5.故选B.
9.答案 ±14
解析 4ax-1x8的展开式的通项为Tk+1=C8k(4ax)8-k-1xk=C8k(4a)8-k·(-1)kx8-3k2,令8-3k2=2,解得k=4,所以展开式中含x2的项为T4+1=C84(4a)4x2,其系数为C84(4a)4=70,解得a=±14.
10.解析 2x-1xn的展开式的通项为Tr+1=Cnr(2x)n-r-1xr=(-1)r2n-rCnrxn-32r.
(1)由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5,可得Cn1∶Cn2=2∶5,
解得n=6.
(2)由(1)知Tr+1=(-1)r26-rC6rx6-32r,
令6-32r=0,解得r=4,
所以展开式中的常数项为T5=(-1)4×26-4×C64=60.
11.解析 (1)展开式的通项为Tr+1=Cnr·(3x)n-r-123xr=Cnr-12rxn-2r3.
因为展开式中第5项为常数项,
所以r=4时,有n-2r3=0,解得n=8.
(2)由(1)知n=8,令8-2r3=2,解得r=1,
故所求系数为C81-121=-4.
(3)由题意得8-2r3∈Z,0≤r≤8,r∈Z,
令8-2r3=k(k∈Z),则r=8-3k2=4-32k(k∈Z),
所以k可取2,0,-2,即r可取1,4,7,
故展开式中所有的有理项为-4x2,358,-116x2.
能力提升练
1.C ∵2-1x+1x2(x-1)6=2-1x+1x2·(C60·x6-C61·x5+C62·x4-C63·x3+C64·x2-C65·x+C66),∴展开式中的常数项为2C66+(-1)×(-C65)+1×C64=2+6+15=23,故选C.
2.D C20201x1+C20202x2+C20203x3+…+C20202020x2 020=(1+x)2 020-1,又1+x=1-i+2i1-i=1+i1-i=(1+i)2(1+i)(1-i)=i,故C20201x1+C20202x2+C20203x3+…+C20202020x2 020=(1+x)2 020-1=i2 020-1=1-1=0,故选D.
3.B 由Cn0-4Cn1+42Cn2-43Cn3+…+(-1)n4nCnn=729,得Cn0·1n·(-4)0+Cn1·1n-1·(-4)1+Cn2·1n-2·(-4)2+Cn3·1n-3·(-4)3+…+Cnn·10·(-4)n=729,则(1-4)n=729,即(-3)n=729=(-3)6,解得n=6.故选B.
4.答案 10n-1
解析 易知(32+1)n=Cn0×(32)n-0×10+Cn1×(32)n-1×11+…+Cnn-1×(32)1×1n-1+Cnn×(32)0×1n,
则Cn0·32n+Cn1·32n-2+Cn2·32n-4+…+Cnn-1·32+1=(32+1)n=10n,
所以Cn0·32n+Cn1·32n-2+Cn2·32n-4+…+Cnn-1·32=10n-1.
5.解析 (1)由题意得an=3n-1,
∴F(x,n)=Cn0(3x)0(1-x)n+Cn1(3x)1(1-x)n-1+Cn2(3x)2(1-x)n-2+…+Cnn-1(3x)n-1(1-x)1+Cnn(3x)n=(1-x+3x)n=(1+2x)n,
∴F(-1,2 020)=(1-2)2 020=1.
(2)证明:若数列{an}是公差为2的等差数列,则an=2n-1.
∴F(x,n)=a1Cn0(1-x)n+a2Cn1x(1-x)n-1+…+anCnn-1xn-1(1-x)1+an+1Cnnxn
=Cn0(1-x)n+(1+2)Cn1x(1-x)n-1+(1+4)·Cn2x2(1-x)n-2+…+(1+2n)Cnnxn
=[Cn0(1-x)n+Cn1x(1-x)n-1+Cn2x2(1-x)n-2+…+Cnnxn]+2[Cn1x(1-x)n-1+2Cn2x2(1-x)n-2+…+nCnnxn].
由二项式定理知,Cn0(1-x)n+Cn1x(1-x)n-1+Cn2x2(1-x)n-2+…+Cnnxn=[(1-x)+x]n=1.
因为kCnk=k·n!k!(n-k)!
=n·(n-1)!(k-1)!(n-k)!=n·Cn-1k-1,
所以Cn1x(1-x)n-1+2Cn2x2(1-x)n-2+…+nCnnxn
=nCn-10x(1-x)n-1+nCn-11x2(1-x)n-2+…+nCn-1n-1xn
=nx[Cn-10(1-x)n-1+Cn-11x(1-x)n-2+…+Cn-1n-1·xn-1]
=nx[(1-x)+x]n-1=nx,
所以F(x,n)=1+2nx.
故F(x,2 020)=1+4 040x,
所以F(x,2 020)是关于x的一次多项式.
6.A x10-x5=(x-1+1)10-(x-1+1)5,
又(x-1+1)10=C100·(x-1)10+C101·(x-1)9+…+C1010·(x-1)0,
(x-1+1)5=C50·(x-1)5+C51·(x-1)4+…+C55·(x-1)0,
且x10-x5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10(x-1)10,所以a5=C105-C50=251.
7.A 易得2x2-17x6的展开式的通项为Tr+1=C6r(2x2)6-r-17xr=C6r26-r(-17)rx12-3r,因为2x2-17x6=a0xm0+a1xm1+a2xm2+…+a6xm6,所以r=0时,m0=12;r=1时,m1=12-3=9;r=2时,m2=12-3×2=6;r=3时,m3=12-3×3=3;r=4时,m4=12-3×4=0;r=5时,m5=12-3×5=-3;r=6时,m6=12-3×6=-6,故m0+m1+m2+m3+m4+m5+m6=21,故选A.
8.A x+12x8的展开式的通项为Tr+1=C8r(x)8-r12xr=12rC8rx8-3r2 ,
令8-3r2=-12,得r=3,
令8-3r2=12,得r=73∉N.
所以x+12x8(ax-1)的展开式中含x12的项的系数为123C83a=7a,所以7a=21,即a=3.故选A.
9.答案 1 330
解析 解法一:(1+x)2+(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)20中x2的系数为C22+C32+C42+…+C202=C33+C32+C42+…+C202=C43+C42+…+C202=C53+C52+…+C202=…=C213=21!3!×18!=21×20×193×2×1=1 330.
解法二:由题意,可得(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)20=(1+x)2[(1+x)19-1]1+x-1=(1+x)21-(1+x)2x,
所以(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)20的展开式中x2的系数为C213=1 330.
10.答案 180
解析 x+4x-45的展开式的通项为Tr+1=C5r(-4)5-rx+4xr(r=0,1,2,3,4,5),x+4xr的展开式的通项为Tk+1=Crkxr-k4xk=4kCrkxr-2k(k=0,1,…,r),令r-2k=3,则k=0,r=3或k=1,r=5,所以其展开式中x3的系数是40C30×(-4)5-3C53+41C51×(-4)0C55=180.
11.解析 易知展开式中,前三项的系数分别为1、12Cn1、14Cn2.
∵前三项的系数成等差数列,
∴2×12Cn1=1+14Cn2,整理得n2-9n+8=0,
∴n=8或n=1(舍去),
∴展开式的通项为Tr+1=C8r(x)8-r·126xr=C8r12rx4-23r,r=0,1,…,8.
(1)令4-23r=2,得r=3,∴展开式中含x2的项的系数为C83123=7.
(2)当4-23r为整数时,r=0,3,6.
∵n=8,∴展开式中共有9项,将各项重新排成一列共有A99种排法,
其中有理项有3项,有理项互不相邻有A66A73种排法,
∴有理项互不相邻的概率为A66A73A99=512.
1.C
2.D
3.B
6.A
7.A
8.A