2021学年7.4二项式定理第1课时导学案

这是一份2021学年7.4二项式定理第1课时导学案，共10页。学案主要包含了二项式定理，二项展开式通项的应用等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.理解二项式定理的相关概念.2.掌握二项式定理的特征及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
导语
艾萨克·牛顿Isaac Newtn(1643－1727)英国科学家．他被誉为人类历史上最伟大的科学家之一．他不仅是一位物理学家、天文学家，还是一位伟大的数学家.1664年冬，由于瘟疫流行而迫使牛顿从剑桥回到乡下，研读沃利斯博士的《无穷算术》，牛顿开始了对二项式定理的研究，并最终建立二项式定理，牛顿是如何思考的呢？
一、二项式定理
问题1 在初中，我们用多项式乘法法则得到了(a＋b)2的展开式：(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b＝a2＋2ab＋b2.如何利用分步计数原理解释展开式中的项是如何产生的？
提示 展开式中的每一项都是从两个括号中各取1个字母的乘积．
从上述过程可以看到，(a＋b)2是2个(a＋b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a＋b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a＋b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项．于是，由分步计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2的展开式共有2×2＝22项，而且每一项都是a2－k×bk(k＝0,1,2)的形式．而且a2－kbk相当于从2个(a＋b)中取k个b的组合数Ceq \\al(k,2)，即
a2－kbk的系数是Ceq \\al(k,2).
问题2 你能根据问题1的分析，写出(a＋b)3的展开式吗？
提示 (a＋b)3＝Ceq \\al(0,3)a3＋Ceq \\al(1,3)a2b＋Ceq \\al(2,3)ab2＋Ceq \\al(3,3)b3.
知识梳理
二项式定理
(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq \\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)．
(1)这个公式叫作二项式定理．
(2)二项展开式：等号右边的多项式叫作(a＋b)n的二项展开式，它一共有n＋1项．
(3)二项式系数：Ceq \\al(r,n)(r＝0,1，…，n)叫作第r＋1项的二项式系数．
(4)二项式通项：(a＋b)n展开式的第r＋1项称为二项式通项，记作Tr＋1＝Ceq \\al(r,n)an－rbr.
注意点：
(1)每一项中a与b的指数和为n.
(2)各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止．
(3)a与b的位置不能交换．
(4)Ceq \\al(r,n)an－rbr表示的是第r＋1项．
例1 求eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))4的展开式．
解 方法一 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))4＝Ceq \\al(0,4)(3eq \r(x))4＋Ceq \\al(1,4)(3eq \r(x))3·eq \f(1,\r(x))＋Ceq \\al(2,4)(3eq \r(x))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))))2＋Ceq \\al(3,4)(3eq \r(x))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))))3＋Ceq \\al(4,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))))4＝81x2＋108x＋54＋eq \f(12,x)＋eq \f(1,x2).
方法二 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x＋1,\r(x))))4＝eq \f(1,x2)(1＋3x)4＝eq \f(1,x2)·[1＋Ceq \\al(1,4)·3x＋Ceq \\al(2,4)(3x)2＋Ceq \\al(3,4)(3x)3＋Ceq \\al(4,4)(3x)4]＝eq \f(1,x2)(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝eq \f(1,x2)＋eq \f(12,x)＋54＋108x＋81x2.
反思感悟 求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．
跟踪训练1 求eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(3,2x2)))5的展开式．
解 方法一 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(3,2x2)))5＝Ceq \\al(0,5)(2x)5＋Ceq \\al(1,5)(2x)4·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2x2)))＋Ceq \\al(2,5)(2x)3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2x2)))2＋Ceq \\al(3,5)(2x)2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2x2)))3＋Ceq \\al(4,5)(2x)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2x2)))4＋Ceq \\al(5,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2x2)))5
＝32x5－120x2＋eq \f(180,x)－eq \f(135,x4)＋eq \f(405,8x7)－eq \f(243,32x10).
方法二 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(3,2x2)))5＝eq \f(4x3－35,32x10)
＝eq \f(1,32x10)[Ceq \\al(0,5)(4x3)5＋Ceq \\al(1,5)(4x3)4(－3)＋Ceq \\al(2,5)(4x3)3(－3)2＋Ceq \\al(3,5)(4x3)2(－3)3＋Ceq \\al(4,5)(4x3)(－3)4＋Ceq \\al(5,5)(－3)5]
＝32x5－120x2＋eq \f(180,x)－eq \f(135,x4)＋eq \f(405,8x7)－eq \f(243,32x10).
二、二项展开式通项的应用
角度1 二项式系数与项的系数
例2 在二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\r(x)－\f(2,3x)))10的展开式中，求：
(1)第4项的二项式系数；
(2)第4项的系数．
解 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\r(x)－\f(2,3x)))10的展开式的通项是
Tr＋1＝Ceq \\al(r,10)(3eq \r(x))10－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3x)))r＝Ceq \\al(r,10)310－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))r· (r＝0,1,2，…，10)．
(1)展开式的第4项(r＝3)的二项式系数为Ceq \\al(3,10)＝120.
(2)展开式的第4项的系数为Ceq \\al(3,10)37eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))3＝－77 760.
反思感悟 (1)二项式系数都是组合数Ceq \\al(r,n)(r∈{0,1,2，…，n})，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念．
(2)第r＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为Ceq \\al(r,n)(r∈{0,1,2，…，n})．例如，在(1＋2x)7的展开式中，第四项是T4＝Ceq \\al(3,7)17－3(2x)3，其二项式系数是Ceq \\al(3,7)＝35，而第四项的系数是Ceq \\al(3,7)23＝280.
跟踪训练2 已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(1,2\r(4,x))))n的展开式中，前三项系数成等差数列．
(1)求第三项的二项式系数及项的系数；
(2)求含x项的系数．
解 (1)∵前三项系数1，eq \f(1,2)Ceq \\al(1,n)，eq \f(1,4)Ceq \\al(2,n)成等差数列．
∴2·eq \f(1,2)Ceq \\al(1,n)＝1＋eq \f(1,4)Ceq \\al(2,n)，即n2－9n＋8＝0，
∴n＝8或n＝1(舍)．
通项公式Tr＋1＝Ceq \\al(r,8)·(eq \r(x))8－r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\r(4,\f(1,x))))r
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))r·Ceq \\al(r,8)·，r＝0,1，…，8，
∴第三项的二项式系数为Ceq \\al(2,8)＝28.
第三项的系数为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2·Ceq \\al(2,8)＝7.
(2)令4－eq \f(3,4)r＝1，得r＝4，
∴含x项的系数为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))4·Ceq \\al(4,8)＝eq \f(35,8).
角度2 展开式中的特定项
例3 已知在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3,x)－\f(3,\r(3,x))))n的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求含x2的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
解 通项公式为
Tr＋1＝
(1)∵第6项为常数项，
∴当r＝5时，有eq \f(n－2r,3)＝0，即n＝10.
(2)令eq \f(10－2r,3)＝2，得r＝eq \f(1,2)(10－6)＝2，
∴所求的系数为Ceq \\al(2,10)(－3)2＝405.
(3)由题意得，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(10－2r,3)∈Z，,0≤r≤10，,r∈N.))令eq \f(10－2r,3)＝t(t∈Z)，
则10－2r＝3t，即r＝5－eq \f(3,2)t.
∵r∈N，∴t应为偶数．
令t＝2,0，－2，即r＝2,5,8.
∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，－61 236,295 245x－2.
反思感悟 (1)求二项展开式的特定项的常见题型
①求第r项，Tr＝Ceq \\al(r－1,n)an－r＋1br－1；②求含xr的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项．
(2)求二项展开式的特定项的常用方法
①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；
②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；
③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．
跟踪训练3 (1)若(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则常数a＝______.(用数字填写答案)
答案 eq \f(1,2)
解析 二项展开式的通项为Tr＋1＝Ceq \\al(r,10)x10－rar，当10－r＝7时，r＝3，T4＝Ceq \\al(3,10)a3x7，则Ceq \\al(3,10)a3＝15，故a＝eq \f(1,2).
(2)设(x－eq \r(2))n的展开式中第二项和第四项的系数之比为1∶2，求含x2的项．
解 (x－eq \r(2))n的展开式中第二项和第四项分别为
T2＝Ceq \\al(1,n)·xn－1(－eq \r(2))＝－eq \r(2)nxn－1，
T4＝Ceq \\al(3,n)·xn－3·(－eq \r(2))3＝－2eq \r(2)Ceq \\al(3,n)xn－3.
由题意可知eq \f(－\r(2)n,－2\r(2)C\\al(3,n))＝eq \f(1,2)，
即n2－3n－4＝0，
又n∈N*，解得n＝4.
设(x－eq \r(2))4的展开式中含x2的项为第r＋1项，
则Tr＋1＝Ceq \\al(r,4)·x4－r·(－eq \r(2))r(r＝0,1,2,3,4)，
根据题意可知4－r＝2，解得r＝2.
所以(x－eq \r(2))4的展开式中含x2的项为T3＝Ceq \\al(2,4)·x2·(－eq \r(2))2＝12x2.
1．知识清单：
(1)二项展开式的形成过程．
(2)二项式定理的正用与逆用．
(3)二项展开式的通项的应用．
2．方法归纳：转化化归．
3．常见误区：二项式系数与项的系数的区别，Ceq \\al(r,n)an－rbr是展开式的第r＋1项．
1．(x＋2)n的展开式共有11项，则n等于( )
A．9 B．10 C．11 D．8
答案 B
解析 因为(x＋2)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有11项，所以n＝10，故选B.
2.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)－\f(2,x)))6的展开式中的常数项为( )
A．60 B．－60 C．250 D．－250
答案 A
解析 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)－\f(2,x)))6的展开式中的常数项为
Ceq \\al(2,6)(eq \r(x))4·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,x)))2＝60.
3．在(1＋2x)7的展开式中，Ceq \\al(2,7)是第________项的二项式系数，第3项的系数是________．
答案 3 84
解析 (1＋2x)7的展开式的通项为Tr＋1＝Ceq \\al(r,7)(2x)r，
当r＝2时，T3＝Ceq \\al(2,7)22x2＝84x2，
∴Ceq \\al(2,7)是第3项的二项式系数，第3项的系数是84.
4．化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＋1＝________.
答案 x5
解析 原式＝[(x－1)＋1]5＝x5.
课时对点练
1．1－2Ceq \\al(1,n)＋4Ceq \\al(2,n)－8Ceq \\al(3,n)＋…＋(－2)nCeq \\al(n,n)等于( )
A．1 B．－1 C．(－1)n D．3n
答案 C
解析 逆用二项式定理，将1看成公式中的a，－2看成公式中的b，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.
2．(多选)(x－eq \r(2)y)10的展开式中x6y4的系数是m，二项式系数是n，下面说法正确的是( )
A．m＝－840 B．m＝840
C．n＝210 D．n＝－210
答案 BC
解析 在通项公式Tr＋1＝Ceq \\al(r,10)x10－r(－eq \r(2)y)r中，令r＝4，即得(x－eq \r(2)y)10的展开式中x6y4的系数为Ceq \\al(4,10)×(－eq \r(2))4＝840，即m＝840，n＝Ceq \\al(4,10)＝210，故选BC.
3．若(1＋eq \r(2))4＝a＋eq \r(2)b(a，b为有理数)，则a＋b等于( )
A．33 B．29 C．23 D．19
答案 B
解析 ∵(1＋eq \r(2))4＝17＋12eq \r(2)＝a＋eq \r(2)b，又∵a，b为有理数，∴a＝17，b＝12.∴a＋b＝29.
4．(1＋3x)n(n∈N*)的展开式中，若第三项的二项式系数为6，则第四项的系数为( )
A．4 B．27 C．36 D．108
答案 D
解析 Tr＋1＝Ceq \\al(r,n)(3x)r，由Ceq \\al(2,n)＝6，得n＝4，从而T4＝Ceq \\al(3,4)·(3x)3，故第四项的系数为Ceq \\al(3,4)33＝108.
5．已知(1＋ax)6＝1＋12x＋bx2＋…＋a6x6，则实数b的值为( )
A．60 B．40 C．20 D．15
答案 A
解析 其展开式的通项为Tr＋1＝Ceq \\al(r,6)arxr，则x的系数为Ceq \\al(1,6)a1＝12，解得a＝2，从而求得b＝Ceq \\al(2,6)22＝60.
6．(多选)在(ax＋1)7的展开式中，若x3的系数是x2的系数和x5的系数的等比中项，则下列说法正确的是( )
A．a＝eq \f(25,9)
B．展开式中含x2的系数为eq \f(4 375,27)
C．展开式中含x3的二项式系数为35
D．展开式中含x5的系数为21
答案 ABC
解析 (ax＋1)7的二项展开式的通项为Tr＋1＝Ceq \\al(r,7)(ax)7－r，∴x3的系数是Ceq \\al(4,7)a3，x2的系数是Ceq \\al(5,7)a2，x5的系数是Ceq \\al(2,7)a5.∵x3的系数是x2的系数与x5的系数的等比中项，∴(Ceq \\al(4,7)a3)2＝Ceq \\al(5,7)a2×Ceq \\al(2,7)a5，∴a＝eq \f(25,9)，A正确，故展开式中含x2的系数为Ceq \\al(5,7)·a2＝eq \f(4 375,27)，B正确，故展开式中含x3的二项式系数为Ceq \\al(4,7)＝35，C正确，展开式中含x5的系数为Ceq \\al(2,7)·a5≠21，D不正确．
7．若二项式(1＋2x)n展开式中x3的系数等于x2的系数的4倍，则n＝________.
答案 8
解析 (1＋2x)n的展开式的通项为Tr＋1＝Ceq \\al(r,n)(2x)r＝Ceq \\al(r,n)2rxr，又x3的系数等于x2的系数的4倍，所以Ceq \\al(3,n)23＝4Ceq \\al(2,n)22，所以n＝8.
8．已知n为等差数列－4，－2,0，…的第六项，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2,x)))n的二项展开式的常数项是________．
答案 160
解析 由题意得n＝6，
∴Tr＋1＝Ceq \\al(r,6)x6－r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)))r＝2rCeq \\al(r,6)x6－2r，
令6－2r＝0，得r＝3，∴常数项为Ceq \\al(3,6)23＝160.
9．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(x)－\f(1,\r(x))))6的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
(2)含x2的项．
解 (1)第3项的二项式系数为Ceq \\al(2,6)＝15，
又T3＝Ceq \\al(2,6)(2eq \r(x))4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,\r(x))))2＝24·Ceq \\al(2,6)x，
所以第3项的系数为24Ceq \\al(2,6)＝240.
(2)Tr＋1＝Ceq \\al(r,6)(2eq \r(x))6－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,\r(x))))r＝(－1)r26－rCeq \\al(r,6)x3－r，
令3－r＝2，得r＝1.
所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.
10．已知(eq \r(x)＋eq \r(3,x))n(其中n<15)的展开式中第9项与第11项的二项式系数和是第10项的二项式系数的2倍．
(1)求n的值；
(2)写出它的展开式中的所有有理项．
解 (1)(eq \r(x)＋eq \r(3,x))n(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是Ceq \\al(8,n)，Ceq \\al(9,n)，Ceq \\al(10,n).
依题意得eq \f(n！,8！n－8！)＋eq \f(n！,10！n－10！)＝2·eq \f(n！,9！n－9！)，
化简得90＋(n－9)(n－8)＝20(n－8)，
即n2－37n＋322＝0，
解得n＝14或n＝23，
因为n<15，所以n＝14.
(2)展开式的通项Tr＋1＝
展开式中的有理项当且仅当r是6的倍数，
又0≤r≤14，r∈N，
所以展开式中的有理项共3项，分别是
r＝0，T1＝Ceq \\al(0,14)x7＝x7；
r＝6，T7＝Ceq \\al(6,14)x6＝3 003x6；
r＝12，T13＝Ceq \\al(12,14)x5＝91x5.
11．对任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为( )
A．3 B．6 C．9 D．21
答案 B
解析 ∵x3＝(x－2＋2)3＝Ceq \\al(0,3)(x－2)3＋Ceq \\al(1,3)(x－2)2·2＋Ceq \\al(2,3)(x－2)·22＋Ceq \\al(3,3)·23＝8＋12(x－2)＋6(x－2)2＋(x－2)3，∴a2＝6.
12．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x2－\f(1,2x3)))n的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 B
解析 Tr＋1＝Ceq \\al(r,n)(3x2)n－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2x3)))r＝Ceq \\al(r,n)3n－r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))rx2n－5r，令2n－5r＝0，∴n＝eq \f(5,2)r.
∴正整数n的最小值为5.
13．(多选)对于二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋x3))n(n∈N*)，下列判断正确的有( )
A．存在n∈N*，展开式中有常数项
B．对任意n∈N*，展开式中没有常数项
C．对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项
D．存在n∈N*，展开式中有一次项
答案 AD
解析 二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋x3))n的展开式的通项公式为Tr＋1＝Ceq \\al(r,n)x4r－n，由通项公式可知，当n＝4r(r∈N*)和n＝4r－1(r∈N*)时，展开式中分别存在常数项和一次项．
14．已知在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x2－\f(1,\r(x))))n的展开式中，第9项为常数项，则：
(1)n的值为________；
(2)含x的整数次幂的项有________个．
答案 (1)10 (2)6
解析 二项展开式的通项为Tr＋1＝Ceq \\al(r,n)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x2))n－r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,\r(x))))r＝(－1)req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－r
(1)因为第9项为常数项，所以当r＝8时，2n－eq \f(5,2)r＝0，
解得n＝10.
(2)要使20－eq \f(5,2)r为整数，需r为偶数，由于r＝0，1,2,3，…，9,10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项．
15．(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中的项数为________．
答案 eq \f(n＋2n＋1,2)
解析 (a＋b＋c)n＝Ceq \\al(0,n)(a＋b)n＋Ceq \\al(1,n)(a＋b)n－1c＋…＋Ceq \\al(n,n)cn，所以其展开式中的项数为(n＋1)＋n＋(n－1)＋…＋2＋1＝eq \f(n＋2n＋1,2).
16．已知数列{an}(n为正整数)是首项为a1，公比为q的等比数列．
(1)求和：a1Ceq \\al(0,2)－a2Ceq \\al(1,2)＋a3Ceq \\al(2,2)，a1Ceq \\al(0,3)－a2Ceq \\al(1,3)＋a3Ceq \\al(2,3)－a4Ceq \\al(3,3)；
(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明．
解 (1)a1Ceq \\al(0,2)－a2Ceq \\al(1,2)＋a3Ceq \\al(2,2)＝a1－2a1q＋a1q2＝a1(1－q)2，
a1Ceq \\al(0,3)－a2Ceq \\al(1,3)＋a3Ceq \\al(2,3)－a4Ceq \\al(3,3)＝a1－3a1q＋3a1q2－a1q3
＝a1(1－q)3.
(2)归纳概括的结论为：
若数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，则
a1Ceq \\al(0,n)－a2Ceq \\al(1,n)＋a3Ceq \\al(2,n)－a4Ceq \\al(3,n)＋…＋(－1)nan＋1·Ceq \\al(n,n)
＝a1(1－q)n，n为正整数．
证明：a1Ceq \\al(0,n)－a2Ceq \\al(1,n)＋a3Ceq \\al(2,n)－a4Ceq \\al(3,n)＋…＋(－1)nan＋1·Ceq \\al(n,n)
＝a1Ceq \\al(0,n)－a1qCeq \\al(1,n)＋a1q2Ceq \\al(2,n)－a1q3Ceq \\al(3,n)＋…＋(－1)na1qnCeq \\al(n,n)
＝a1[Ceq \\al(0,n)－qCeq \\al(1,n)＋q2Ceq \\al(2,n)－q3Ceq \\al(3,n)＋…＋(－1)nqnCeq \\al(n,n)]
＝a1(1－q)n.