苏教版 (2019)选择性必修第二册7.4二项式定理导学案

这是一份苏教版 (2019)选择性必修第二册7.4二项式定理导学案，共8页。学案主要包含了必备知识，典例10，过关检测等内容，欢迎下载使用。

【必备知识】
知识点1:二项式定理
1.二项式定理
一般地, 对于任意正整数 , 都有
该公式叫做二项式定理,等号右边的多项式叫做的二项展开式,其中各项的系数 叫做二项式系数,叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项: .
2.二项展开式的规律
(1) 二项展开式一共有项.
(2) 项按的降幕的升幂排列.
(3) 每一项中和的幂指数之和为.
【典例1】求的展开式．
【典例2】的二项展开式中，第4项是（ ）
A．B．C．D．
3.求二项式的特定项
【典例3】的展开式中含项的二项式系数为（ ）
A．B．C．D．
【典例4】的展开式中常数项是（ ）
A．60B．120C．160D．960
知识点2:二项式定理的性质
1.杨辉三角
当依次取时,观察的展开式的二项式系数:
从中我们可以看出,左侧三角是根据二项式定理得到的,右侧三角是算出对应的组合数的值后所得结果,由此我们可以发现以下性质:
(1)每一行中的二项式系数是对称的,如第一项与最后一项的二项式系数相等,第二项与倒数第二项的二项式系数相等.
(2)每一行两端都是1,而且从第二行起,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.
(3)从第二行起,每一行的二项式系数从两端向中间逐渐增大.
(4)第一行的两个数之和为,第二行的三个数之和为,第六行的各数之和为, 第行的个数之和为.
2.二项式系数的性质
(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即)
(2)增减性: 当时,二项式系数逐渐增大;当时,二项式系数逐渐减小,因此二项式系数在中间取得最大值
(3)最大值:当是偶数时,展开式的中间一项的二项式系数最大;当是奇数时,展开式的中间两项与 的二项式系数相等且最大
(4)二项式系数和:
3.二项式系数与项的系数的区别
二项式系数是指,它只与各项的项数有关,而与的值无关;而项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a, b的值有关.如 的二项展开式中,第项的二项式系数是,而该项的系数是.
【典例5】在的展开式中，只有第项的二项式系数最大，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
【典例6】已知的展开式中，第项和第项的系数相等，求这个展开式所有二项式系数之和．
【典例7】的展开式中系数最大的项为（ ）
A．第项B．第项C．第项D．第项
知识点3:特值法求各项系数和
【典例8】在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：
（1）二项式系数之和；
（2）各项系数之和；
（3）所有奇数项系数之和；
（4）系数绝对值的和.
知识点4:整除问题
【典例9】被7除后余数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【典例10】已知2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，则实数a的值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【过关检测】
一、单选题
1．二项式展开式中项的系数为（ ）
A．B．C．D．
2．的二项展开式中第项是（ ）
A． B． C． D．
3．二项式的展开式中的系数是，则（ ）
A．B．1C．D．
4．的展开式中，x的指数为偶数的项的系数之和为（ ）
A．64B．48C．32D．16
5．已知的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则的值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
6．若二项式的展开式中所有项的二项式系数和为128，则该二项式展开式中含有项的系数为（ ）
A．1344B．672C．336D．168
7．已知的展开式中的系数为，则该二项展开式中的常数项为（ ）
A．B．C．640D．320
8.若是11的倍数，则自然数为（ ）
A．奇数B．偶数C．3的倍数D．被3除余1的数
二、多选题
9．对于的展开式，下列说法正确的为（ ）
A．各项的系数之和为0B．第三项的系数为﹣55
C．第6项系数最小D．第6项与第7项的二项式系数相等且最大
10．关于二项式的展开式，下列选项正确的有（ ）
A．总共有6项B．存在常数项C．项的系数是40D．各项的系数之和为243
11．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．则下列结论正确的是（ ）．
A．
B．第2022行的第1011个数最大
C．第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数
D．第34行中从左到右第14个数与第15个数之比为2∶3
12．已知，下列命题中，正确的是（ ）
A．展开式中所有项的二项式系数的和为；
B．展开式中所有奇次项系数的和为；
C．展开式中所有偶次项系数的和为；
D．.
三、填空题
13．若的展开式中的系数是，则实数a的值是___________.
14.的展开式中含项的系数为，则实数______．
15．已知多项式，则___________，___________.
16．的展开式中的常数项为_________.
四、解答题
17．求证：在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
18．已知的二项展开式中所有项的二项式系数之和为，
(1)求的值；(2)求展开式的所有有理项(指数为整数)，并指明是第几项．
19．已知二项式展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大240，
(1)求n；(2)求展开式中所有含x的有理项.
20．在下面两个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答.条件①：展开式前三项的二项式系数的和等于37；条件②：第3项与第7项的二项式系数相等；问题：在二项式的展开式中，已知__________.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)设，求的值；
(3)求的展开式中的系数.
21．已知的展开式中前三项的二项式系数之和为46，
(1)求n；(2)求展开式中系数最大的项．
22．在(2x－3y)10的展开式中，求：
(1)二项式系数的和；
(2)各项系数的和；
(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
(4)奇数项系数和与偶数项系数和.