人教版八年级上册12.2 三角形全等的判定学案

全等三角形判定二（ASA，AAS）（提高）

【学习目标】

1．理解和掌握全等三角形判定方法3——“角边角”，判定方法4——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等．

2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．

【要点梳理】

要点一、全等三角形判定3——“角边角”

全等三角形判定3——“角边角”

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.

要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.

要点二、全等三角形判定4——“角角边”

1.全等三角形判定4——“角角边”

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）

要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.

2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.

如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.

要点三、判定方法的选择

1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：

2.如何选择三角形证全等

（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；

（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；

（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；

（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.

【典型例题】

类型一、全等三角形的判定3——“角边角” 

1、如图，G是线段AB上一点，AC和DG相交于点E.请先作出∠ABC的平分线BF，交AC于点F；然后证明：当AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝2∠ADG时，DE＝BF.

【思路点拨】通过已知条件证明∠DAC＝∠C，∠CBF＝∠ADG，则可证△DAE≌△BCF

【答案与解析】 

证明：    ∵AD∥BC，

∴∠DAC＝∠C

          ∵BF平分∠ABC

          ∴∠ABC＝2∠CBF

          ∵∠ABC＝2∠ADG

          ∴∠CBF＝∠ADG

在△DAE与△BCF中

∴△DAE≌△BCF（ASA）

∴DE＝BF

【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．

举一反三：

【变式】已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．

求证：HN＝PM.

【答案】

证明：∵MQ和NR是△MPN的高，

      ∴∠MQN＝∠MRN＝90°，

      又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4

      ∴∠1＝∠2

      在△MPQ和△NHQ中，

      ∴△MPQ≌△NHQ（ASA）

      ∴PM＝HN

类型二、全等三角形的判定4——“角角边” 

2、已知：如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是经过点C的一条直线，过点A、B 分别作AE⊥CD、BF⊥CD，垂足为E、F，

求证：CE＝BF.

【答案与解析】

证明：∵ AE⊥CD、BF⊥CD，

∴∠AEC＝∠BFC＝90°

∴∠BCF＋∠B＝90°

∵∠ACB＝90°，

∴∠BCF＋∠ACF＝90°

∴∠ACF＝∠B

在△BCF和△CAE中

∴△BCF≌△CAE（AAS）

∴CE＝BF

【总结升华】要证CE＝BF，只需证含有这两个线段的△BCF≌△CAE.同角的余角相等是找角等的好方法.

3、平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF＋BF＝2CE．当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．

【思路点拨】过B作BH⊥CE与点H，易证△ACE≌△CBH，根据全等三角形的对应边相等，即可证得AF＋BF＝2CE．

【答案与解析】

解：图2，AF＋BF＝2CE仍成立，

证明：过B作BH⊥CE于点H，

∵∠CBH＋∠BCH＝∠ACE＋∠BCH＝90°

∴∠CBH＝∠ACE

      在△ACE与△CBH中，

∴△ACE≌△CBH．（AAS）

∴CH＝AE，BF＝HE，CE＝EF，

∴AF＋BF＝AE＋EF＋BF＝CH＋EF＋HE＝CE＋EF＝2EC．

【总结升华】正确作出垂线，构造全等三角形是解决本题的关键.

举一反三：

【变式】已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB于E、F．当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图1），易证；当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明.

窗体底端【答案】

解：图2成立；

     证明图2：

     过点作

     则

在△AMD和△DNB中，

∴△AMD≌△DNB（AAS）

∴DM＝DN

∵∠MDE＋∠EDN＝∠NDF＋∠EDN＝90°，

∴∠ MDE＝∠NDF

在△DME与△DNF中，

∴△DME≌△DNF（ASA）

∴

∴

可知，

∴

类型三、全等三角形判定的实际应用　

4、在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为了炸掉敌军的碉堡，要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一名战士想出了这样一个办法：他面向碉堡站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部.然后，他转身向后，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己这岸的某一点上.接着，他用步测的办法量出了自己与该点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离.这名战士的方法有道理吗？请画图并结合图形说明理由.

【答案与解析】

设战士的身高为AB，点C是碉堡的底部，点D是被观测到的我军阵地岸上的点，由在观察过程中视线与帽檐的夹角不变，可知∠BAD＝∠BAC，∠ABD＝∠ABC＝90°.

在△ABD和△ABC中，

∴△ABD≌△ABC（ASA）

∴BD＝BC.

这名战士的方法有道理.

【总结升华】解决本题的关键是结合图形说明那名战士测出的距离就是阵地与碉堡的距离，可以先画出示意图，然后利用全等三角形进行说明.解决本题的关键是建立数学模型，将实际问题转化为数学问题并运用数学知识来分析和解决.