2021年北京东城区二十四中九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京东城区二十四中九年级上期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 如图，在 △ABC 中，∠A=90∘，若 AB=8，AC=6，则 csC 的值为
A. 35B. 45C. 34D. 43

2. 下列各点中，抛物线 y=x2−4x−4 经过的点是
A. 0,4B. 1,−7C. −1,−1D. 2,8

3. 反比例函数 y=3x 的图象经过点 −1,y1，2,y2，则下列关系正确的是
A. y1y2C. y1=y2D. 不能确定

4. 抛物线 y=x−12+t 与 x 轴的两个交点之间的距离为 4，则 t 的值是
A. −1B. −2C. −3D. −4

5. 当温度不变时，气球内气体的气压 P（单位：kPa）是气体体积 V（单位：m3）的函数，如表记录了一组实验数据，则 P 与 V 的函数关系式可能是
V单位单位:kPa96644838.432
A. P=96VB. P=−16V+112
C. P=16V2−96V+176D. P=96V

6. 抛物线 y=2x+12−3 的顶点坐标为
A. 1,3B. 1,−3C. −1,3D. −1,−3

7. 一元二次方程 x2−25=0 的解是
A. x=5B. x=−5C. x1=5，x2=−5D. x1=0，x2=5

8. 如图，△ABC 是边长为 6 cm 的等边三角形，被一平行于 BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积为
A. 4 cm2B. 23 cm2C. 33 cm2D. 43 cm2

9. 如图，AB 是半圆 O 的直径，∠BAC=40∘，则 ∠D 的度数为
A. 140∘B. 135∘C. 130∘D. 125∘

10. 如果一个扇形的圆心角扩大为原来的 2 倍，半径长缩小为原来的 12，那么所得扇形的面积与原来扇形的面积的比值是
A. 1B. 2C. 12D. 4

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 如图，在 △ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=20∘，则 ∠C= ．

12. 如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚 AD 和 BC 交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度 3 的地方（即同时使 OA=3OD，OB=3OC），然后张开两脚，使 A，B 两个尖端分别在线段 l 的两个端点上，若 CD=3.2 cm，则 AB 的长为 cm．

13. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以原点为位似中心，线段 AB 与线段 AʹBʹ 是位似图形，若 A−1,2，B−1,0，Aʹ−2,4，则 Bʹ 的坐标为 ．

14. 若关于 x 的方程 x2−mx+m=0 有两个相等实数根，则代数式 2m2−8m+1 的值为 ．

15. 下面是“用三角板画圆的切线”的画图过程．
如图 1，已知圆上一点 A，画过 A 点的圆的切线．
画法：
（1）如图 2，将三角板的直角顶点放在圆上任一点 C（与点 A 不重合）处，使其一直角边经过点 A，另一条直角边与圆交于 B 点，连接 AB；
（2）如图 3，将三角板的直角顶点与点 A 重合，使一条直角边经过点 B，画出另一条直角边所在的直线 AD．
所以直线 AD 就是过点 A 的圆的切线．
请回答：该画图的依据是 ．

16. 若反比例函数 y=k−2x 的图象经过第一、三象限，则 k 的取值范围是 ．

三、解答题（共13小题；共169分）
17. 计算：22−2sin30∘−π−30+∣−3∣．

18. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，E 是 BC 上一点，ED⊥AB，垂足为 D．求证：△ABC∽△EBD．

19. 若二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过 0,1 和 1,−2 两点，求此二次函数的表达式．

20. 已知蓄电池的电压 U 为定值，使用蓄电池时，电流 I（单位：A）与电阻 R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过 10 A，那么用电器的可变电阻 R 应控制在什么范围?请根据图象，直接写出结果 ．

21. 已知矩形的一边长为 x，且相邻两边长的和为 10．
（1）求矩形面积 S 与边长 x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）求矩形面积 S 的最大值．

22. 如图，热气球探测器显示，从热气球 A 处看一栋楼顶部 B 处的仰角为 30∘，看这栋楼底部 C 处的俯角为 60∘，热气球与楼的水平距离 AD 为 100 米，试求这栋楼的高度 BC．

23. 在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=6，P 为 BC 边上一点，△APD 为等腰三角形．
（1）小明画出了一个满足条件的 △APD，其中 PA=PD，如图 1 所示，则 tan∠BAP 的值为 ；
（2）请你在图 2 中再画出一个满足条件的 △APD（与小明的不同），并求此时 tan∠BAP 的值．

24. 如图，直线 y=ax−4a≠0 与双曲线 y=kx 只有一个公共点 A1,−2．
（1）求 k 与 a 的值；
（2）若直线 y=ax+ba≠0 与双曲线 y=kx 有两个公共点，请直接写出 b 的取值范围．

25. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，AM 是 △ACD 的外角 ∠DAF 的平分线．
（1）求证：AM 是 ⊙O 的切线；
（2）若 ∠D=60∘，AD=2，射线 CO 与 AM 交于 N 点，请写出求 ON 长的思路．

26. 有这样一个问题：探究函数 y=12x−1x−2x−3+x 的性质．
（1）先从简单情况开始探究：
①当函数 y=12x−1+x 时，y 随 x 增大而 （填“增大”或“减小”）；
②当函数 y=12x−1x−2+x 时，它的图象与直线 y=x 的交点坐标为 ；
（2）当函数 y=12x−1x−2x−3+x 时，如表为其 y 与 x 的几组对应值．
x⋯−1201322523492⋯y⋯−11316−312716237163717716⋯
①如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象；
②根据画出的函数图象，写出该函数的一条性质： ．

27. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=mx2−4mx+4m+3 的顶点为 A．
（1）求点 A 的坐标；
（2）将线段 OA 沿 x 轴向右平移 2 个单位长度得到线段 OʹAʹ．
① 直接写出点 Oʹ 和 Aʹ 的坐标；
② 若抛物线 y=mx2−4mx+4m+3 与四边形 AOOʹAʹ 有且只有两个公共点，结合函数的图象，求 m 的取值范围．

28. 在 △ABC 中，AB=AC，∠BAC=α，点 P 是 △ABC 内一点，且 ∠PAC+∠PCA=α2，连接 PB，试探究 PA，PB，PC 满足的等量关系．
（1）当 α=60∘ 时，将 △ABP 绕点 A 逆时针旋转 60∘ 得到 △ACPʹ，连接 PPʹ，如图 1 所示．由 △ABP≌△ACPʹ 可以证得 △APPʹ 是等边三角形，再由 ∠PAC+∠PCA=30∘ 可得 ∠APC 的大小为 度，进而得到 △CPPʹ 是直角三角形，这样可以得到 PA，PB，PC 满足的等量关系为 ；
（2）如图 2，当 α=120∘ 时，参考（1）中的方法，探究 PA，PB，PC 满足的等量关系，并给出证明；
（3）PA，PB，PC 满足的等量关系为 ．

29. 定义：点 P 为 △ABC 内部或边上的点，若满足 △PAB，△PBC，△PAC 至少有一个三角形与 △ABC 相似（点 P 不与 △ABC 顶点重合），则称点 P 为 △ABC 的自相似点．例如：如图 1，点 P 在 △ABC 的内部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，则 △BCP∽△ABC，故点 P 为 △ABC 的自相似点．在平面直角坐标系 xOy 中．
（1）点 A 坐标为 2,23，AB⊥x 轴于 B 点，在 E2,1，F32,32，G12,32 这三个点中，其中是 △AOB 自相似点的是 （填字母）；
（2）若点 M 是曲线 C:y=kxk>0,x>0 上的一个动点，N 为 x 轴正半轴上一个动点；
①如图 2，若 k=33，M 点横坐标为 3，且 NM=NO，点 P 是 △MON 的自相似点，求点 P 的坐标；
②若 k=1，点 N 为 2,0，且 △MON 的自相似点有 2 个，则曲线 C 上满足这样条件的点 M 共有 个，请在图 3 中画出这些点（保留必要的画图痕迹）．
答案
第一部分
1. A【解析】因为 ∠A=90∘，AB=8，AC=6，
所以 BC=AB2+AC2=10，
所以 csC=ACBC=610=35．
2. B【解析】当 x=0 时，y=x2−4x−4=−4；当 x=1 时，y=x2−4x−4=−7；当 x=−1 时，y=x2−4x−4=1；当 x=2 时，y=x2−4x−4=−8，所以点 1,−7 在抛物线 y=x2−4x−4 上．
3. A【解析】∵ 反比例函数 y=3x 的图象经过点 −1,y1，2,y2，
∴y1=−3，y2=32，
∵−30）．
（2） R≥3.6
【解析】∵ I≤10，I=36R，
∴ I=36R≤10，
∴ R≥3.6，
即用电器可变电阻应控制在 3.6 Ω 以上的范围内．
21. （1） ∵ 矩形的一边长为 x，则另一边长为 10−x，
则 S=x10−x=−x2+10x00，
∴y 随 x 增大而增大．
②解方程组 y=12x−1x−2+x,y=x, 得：x=1,y=1 或 x=2,y=2.
∴ 两函数的交点坐标为 1,1，2,2．
（2） ①
② y 随 x 增大而增大（答案不唯一）
【解析】该函数的性质有多条，举例如下：
Ⅰ．y 随 x 的增大而增大；
Ⅱ．函数的图象经过第一、三、四象限；
Ⅲ．函数的图象与 x 轴 y 轴各有一个交点．
从以上性质中任选一条或其他合理答案均可．
27. （1） ∵y=mx2−4mx+4m+3=mx2−4x+4+3=mx−22+3.
∴ 抛物线的顶点 A 的坐标为 2,3．
（2） ①Aʹ4,3，Oʹ2,0；
② 如图，
∵ 抛物线 y=mx2−4mx+4m+3 与四边形 AOOʹAʹ 有且只有两个公共点，
∴m