2020-2021学年北京市东城区九上期末数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市东城区九上期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A. 直角三角形B. 圆C. 等边三角形D. 四边形

2. 在平面直角坐标系 xOy 中，下列函数的图象上存在点 Pm,mm>0,n>0 的是
A. y=2xB. y=−x−1C. y=−x2−1D. y=−3x

3. 若关于 x 的方程 ax2−2ax+1=0 的一个根是 −1，则 a 的值是
A. 1B. −1C. −13D. −3

4. 若菱形的面积为定值，则它的一条对角线的长与另一条对角线的长满足的函数关系是
A. 正比例函数关系B. 反比例函数关系
C. 一次函数关系D. 二次函数关系

5. 在平面直角坐标系 xOy 中，△ABC 与 △AʹBʹCʹ 关于原点 O 成中心对称的是
A. B.
C. D.

6. 不透明的袋子里有 50 张 2022 年北京冬奥会宣传卡片，卡片上印有会徽，吉祥物冰墩墩、吉祥物雪容融图案，每张卡片只有一种图案，除图案不同外其余均相同，其中印有冰墩墩的卡片共有 n 张．从中随机摸出 1 张卡片，若印有冰墩墩图案的概率是 15，则 n 的值是
A. 250B. 10C. 5D. 1

7. 如图，在圆形花圃中有两条笔直的小径，两端都在花圃边界上，分别记为 AC，BD，设交点为 P，点 C，D 之间有一座假山．为了测量 C，D 之间的距离，小明已经测量了线段 AP 和 PD 的长度，只需再测量一条线段的长度，就可以计算 C，D 之间的距离．小明应该测量的是
A. 线段 BPB. 线段 CPC. 线段 ABD. 线段 AD

8. 如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型．若扇形的半径为 R，圆的半径为 r，则 R 与 r 满足的数量关系是
A. R=3rB. R=2rC. R=3rD. R=4r

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 写出一个二次函数，使其满足：①图象开口向下；②当 x>0 时，y 随着 x 的增大而减小．这个二次函数的解析式可以是 ．

10. 如图，点 A 在 ⊙O 上，弦 BC 垂直平分 OA，垂足为 D．若 OA=4，则 BC 的长为 ．

11. A盒中有 2 个黄球、 1 个白球，B盒中有 1 个黄球、 1 个白球，这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出 1 个球，取出的 2 个球都是白球的概率是 ．

12. 2017 年生产 1 吨某种商品的成本是 3000 元，由于原料价格上涨，两年后，2019 年生产 1 吨该商品的成本是 5000 元，求该种商品成本的年平均增长率．设年平均增长率为 x，则所列的方程应为 （不增加其它未知数）．

13. 在平面直角坐标系 xOy 中，将抛物线 y=x2 沿着 y 轴平移 2 个单位长度，所得抛物线的解析式为 ．

14. 如图，△ABC 是等边三角形．若将 AC 绕点 A 逆时针旋转角 α 后得到 ACʹ，连接 BCʹ 和 CCʹ，则 ∠BCʹC 的度数为 ．

15. 已知抛物线 y=x2−2x+c 与直线 y=m 相交于 A，B 两点，若点 A 的横坐标 xA=−1，则点 B 的横坐标 xB 的值为 ．

16. 如图 1，在 △ABC 中，AB>AC，D 是边 BC 上一动点，设 B，D 两点之间的距离为 x，A，D 两点之间的距离为 y，表示 y 与 x 的函数关系的图象如图 2 所示．则线段 AC 的长为 ，线段 AB 的长为 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 已知：如图，线段 AB．
求作：以 AB 为斜边的直角 △ABC，使得一个内角等于 30∘．
作法：①作线段 AB 的垂直平分线交 AB 于点 O；
②以点 O 为圆心，OA 长为半径画圆；
③以点 B 为圆心，OB 长为半径画弧，与 ⊙O 相交，记其中一个交点为 C；
④分别连接 AC，BC．
△ABC 就是所求作的直角三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）．
（2）完成下面的证明．
证明：连接 OC，
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ACB= ∘（ ）（填推理的依据）．
∴△ABC 是以 AB 为斜边的直角三角形．
∵OC=OB=BC，
∴△OBC 是等边三角形．
∴∠COB=60∘．
∴∠A= ∘．

18. 在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数的图象与 y 轴交于点 A0,−1，且过点 B1,4，C−2,1．
（1）求二次函数的解析式．
（2）当 −1≤x≤0 时，求 y 的取值范围．

19. 如图，AM 平分 ∠BAD，作 BF∥AD 交 AM 于点 F，点 C 在 BF 的延长线上，CF=BF,DC 的延长线交 AM 于点 E．
（1）求证：AB=BF．
（2）若 AB=1,AD=4，求 S△EFC:S△EAD 的值．

20. 关于 x 的一元二次方程 x2+mx+n=0．
（1）若方程有两个相等的实数根，用含 m 的代数式表示 n．
（2）若方程有两个不相等的实数根，且 m=−4．
①求 n 的取值范围．
②写出一个满足条件的 n 的值，并求此时方程的根．

21. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 y=kx 过点 A1,1，与直线 y=4x 交于 B，C 两点（点 B 的横坐标小于点 C 的横坐标）．
（1）求 k 的值．
（2）求点 B，C 的坐标．
（3）若直线 x=t 与双曲线 y=kx 交于点 Dt,y1，与直线 y=4x 交于点 Et,y2．当 y1
22. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AD 平分 ∠BAC，交 BC 于点 D，以点 D 为圆心，DC 长为半径画 ⊙D．
（1）补全图形，判断直线 AB 与 ⊙D 的位置关系，并证明．
（2）若 BD=5，AC=2DC，求 ⊙D 的半径．

23. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y=x2−2bx+1．
（1）若此抛物线经过点 −2,−2，求 b 值．
（2）求抛物线的顶点坐标（用含 b 的式子表示）．
（3）若抛物线上存在两点 Am,m 和 Bn,n 且 m>2，n<2，求 b 的取值范围．

24. 在 △ABC 中，AB=23，CD⊥AB 于点 D，CD=2．
（1）如图 1，当点 D 是线段 AB 的中点时．
① AC 的长为 ．
②延长 AC 至点 E，使得 CE=AC，此时 CE 与 CB 的数量关系是 ，∠BCE 与 ∠A 的数量关系是 ．
（2）如图 2，当点 D 不是线段 AB 的中点时，画 ∠BCE（点 E 与点 D 在直线 BC 的异侧），使 ∠BCE=2∠A，CE=CB，连接 AE．
①按要求补全图形．
②求 AE 的长．

25. 在平面直角坐标系 xOy 中，⊙O 的半径为 1．
给出如下定义：记线段 AB 的中点为 M，当点 M 不在 ⊙O 上时，平移线段 AB，使点 M 落在 ⊙O 上，得到线段 AʹBʹ（Aʹ，Bʹ 分别为点 A，B 的对应点）．线段 AAʹ 长度的最小值称为线段 AB 到 ⊙O 的“平移距离”．
（1）已知点 A 的坐标为 −1,0，点 B 在 x 轴上．
①点 B 与原点 O 重合，则线段 AB 到 ⊙O 的“平移距离”为 ．
②若线段 AB 到 ⊙O 的“平移距离”为 2，则点 B 的坐标为 ．
（2）若点 A，B 都在直线 y=43x+4 上，且 AB=2，记线段 AB 到 ⊙O 的“平移距离”为 d1，求 d1 的最小值．
（3）若点 A 的坐标为 3,4，且 AB=2，记线段 AB 到 ⊙O 的“平移距离”为 d2，直接写出 d2 的取值范围．
答案
第一部分
1. B【解析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 180∘，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
轴对称图形的定义为：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，直线叫做对称轴．根据中心对称图形和轴对称图形的定义可知：
A选项中直角既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意，故此选项错误；
B选项中圆既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意，故此选项正确；
C选项中等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意，故此选项错误；
D选项中四边形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意，故此选项错误．
2. A【解析】A选项：当 x=m 时，n=2m>0，满足题意．
B选项：当 x=m 时，n=−m−1<0，不满足题意．
C选项：当 x=m 时，n=−m2−1<0，不满足题意．
D选项：当 x=m 时，n=−3m<0，不满足题意．
3. C【解析】−1 是 ax2−2ax+1=0 的一个根，
将 −1 代入方程中，a+2a+1=0，解得 a=−13．
4. B【解析】设菱形的面积为 k，依题意可知，k 为定值；
设菱形两条对角线长度分别为 x，y，
则菱形面积 =xy÷2=k，即 xy=2k，2k 为定值，
∴x，y 满足反比例函数关系，
即菱形对角线长度满足比例函数关系．
5. D
【解析】∵△ABC 和 △AʹBʹCʹ 关于原点 O 成中心对称，
则点 A 与 Aʹ，点 B 与 Bʹ，点 C 与 Cʹ 关于原点 O 成中心对称，
观察图形可知A，B，C选项不符合题意，D选项符合题意．
6. B【解析】不透明的袋子里有 50 张 2022 年北京冬奥会宣传卡片，
其中印有冰墩墩的卡片共有 n 张．从中随机摸出 1 张卡片，
若印有冰墩墩图案的概率是 15．
则 n÷50=15，解得 n=10．
7. C【解析】如图，连接 AB，
由题可知：∠PCD=∠PBA，∠CPD=∠BPA，
∴△CPD∽△BPA，
∴PDPA=CDAB，
∴CD=PD⋅ABPA，
∵PA，PD 已知，
故小明测量出 AB 的长度，
则 C，D 之间距离就可计算出．
8. D【解析】扇形的弧长为：90πR180=πR2，圆的半径为 r，则底面圆的周长为 2πr，
∵ 圆锥的底面圆的周长等于侧面展开图的扇形弧长，则得到 πR2=2πr，
∴R2=2r，即：R=4r，
故 R 与 r 之间满足的数量关系为：R=4r．
第二部分
9. y=−x2+2
【解析】设二次函数解析式 y=ax2+bx+c，
∵ 图象开口向下，
∴a<0，
又 ∵ 当 x>0 时，y 随 x 的增大而减小，
∴−b2a=0，
则 b=0，c=2，
取 a=−1，b=0，c=2 时，二次函数解析式，为 y=−x2+2（答案不唯一）．
10. 43
【解析】如图所示，连接 OB，
∵ 点 A 在 ⊙O 上，
∴OA 为 ⊙O 的半径，
又弦 BC 垂直平分 OA，垂足为 D，OA=4，
∴OB=OA=4，OD=AD=12OA=2，OA⊥BC，
Rt△OBD 中由勾股定理得：OB2=BD2+OD2，
∴BD=OB2−OD2=42−22=23，
又 OD⊥BC，
∴ 由垂径定理得 BD=CD=12BC，
∴BC=2BD=2×23=43，
故 BC 长为 43．
11. 16
【解析】A盒中有 2 个黄球，1 个白球，
则取出 1 个球是白球的概率为 13；
B盒中有 1 个黄球，1 个白球，
则取出 1 个球是白球的概率为 12；
分别从每个盒中随机取出 1 个球，
取出的 2 个球都是白球的概率为：13×12=16．
12. 30001+x2=5000
【解析】设年平均增长率为 x，
2017 年生产 1 吨某种商品成本是 3000 元，
则 2018 年生产 1 吨该商品的成本为 30001+x，
则 2019 年生产 1 吨该商品的成本为 30001+x1+x=30001+x2，
而 2019 年生产 1 吨该商品的成本为 5000，可列方程为：30001+x2=5000．
13. y=x2+2 或 y=x2−2
【解析】当将抛物线 y=x2 沿着 y 轴向上平移 2 个单位长度时，
所得抛物线的解析式为：y=x2+2，
当将抛物线 y=x2 沿着 y 轴向下平移 2 个单位长度时，
所得抛物线的解析式为：y=x2−2，
∴ 综上，答案为：y=x2+2 或 y=x2−2．
14. 30∘
【解析】∵△ABC 为等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=60∘，
将 AC 绕点 A 逆时针旋转 α 后得到 ACʹ，
则 ∠CACʹ=α，ACʹ=AC，
∴△ABCʹ 为等腰三角形，顶角为 ∠BACʹ=60∘+α，
△ACCʹ 为等腰三角形，顶角为 ∠CACʹ=α，
∴2∠ACʹC=180∘−α，
2∠ACʹB=180∘−60∘+α=120∘−α，
∴2∠ACʹC−2∠ACʹB=2∠BCʹB=180∘−α−120∘−α=60∘，
∴∠BCʹB=30∘．
15. 3
【解析】由题可得：
联立 y=x2−2x+c,y=m,
所以 x2−2x+c−m=0，
因为由题可得，xA，xB 是方程 x2−2x+c−m=0 的两根，
所以 xA+xB=2，
又因为 xA=−1，
所以 xB=3．
16. 13，25
【解析】由图 2 知，BD=x 最大值为 7，
所以可得 BC=7，此时对应 AD=AC=y=13（此时 C，D 重合）．
再由图 2 中的点 1,3 可知 BD=1 时，AD=13，
过 A 作 AE⊥BC 于 E，
∵AD=AC=13，
∴DE=CB=12×7−1=3（等腰三角形三线合一），
AE=132−32=2，
在 Rt△ABE 中，∠AEB=90∘，AE=2，BE=4，
AB=22+42=25．
第三部分
17. （1） 补全图形如下：
△ABC 即为所求．
（2） 90；直径所对的圆周角是直角；30
【解析】连接 OC，
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=90∘（直径所对的圆周角是直角），
∴△ABC 是以 AB 为斜边的直角三角形，
∵OC=OB=BC，
∴△OBC 是等边三角形，
∴∠COB=60∘，
∴∠A=30∘．
18. （1） 设二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c，
将 A0,−1，B1,4，C−2,1 代入方程中，c=−1,a+b+c=4,4a−2b+c=1,
解得 a=2,b=3,c=−1.
∴ 二次函数的解析式 y=2x2+3x−1．
（2） 由（1）得二次函数和解析式 y=2x2+3x−1，
对称轴为 −32×2=−34，
函数图象开口向上，
∴ 当 −1≤x≤−34 时，y 随 x 的减小而减小，
当 −34令 x=−1，则 y=2−3−1=−2，
令 x=−34，则 y=2×−342+3×−34−1=−178，
令 x=0，则 y=−1，
∴ 当 −1≤x≤0 时，−178≤y≤−1．
19. （1） ∵AM 平分 ∠BAD，
∴∠BAM=∠DAM，
又 BF∥AD，
∴∠DAM=∠AFB，
∴∠BAM=∠AFB，
∴AB=BF．
（2） ∵BF∥AD，
∴∠DAM=∠CFM,∠ADC=∠BCE，
∴△EFC∽△EADAA，
又由（1）知 AB=BF=CF=1,AD=4，
∴CFAD=14，
∴ 由相似三角形的性质得，
S△EFC:S△EAD=1:16．
20. （1） 关于 x 的一元二次方程 x2+mx+n=0 中，a=1，b=m，c=n，
若关于 x 的一元二次方程 x2+mx+n=0 有两个相等的实数根，
则 Δ=b2−4ac=m2−4n=0，即 n=m24．
（2） ①若关于 x 的一元二次方程 x2+mx+n=0 有两个不相等的实数根，
则 Δ=m2−4n>0，
又 m=−4，则 16−4n>0，n<4，
故 n 的取值范围为：n<4．
②写出一个满足条件的 n 值，n=0 时（答案不唯一，符合题意即可），
关于 x 的一元二次方程为：x2−4x=0，
即 xx−4=0，
解得：x1=0，x2=4．
21. （1） ∵ 双曲线 y=kx 过点 A1,1，
∴ 把 x=1，y=1 代入得：1=k1，k=1，
故 k 的值为 1．
（2） 联立 y=1x,y=4x,
解得：4x=1x，4x2=1，x2=14，x=±12，
当 x1=12 时，y=2，
当 x2=−12 时，y=−2，
又 ∵ 点 B 的横坐标小于点 C 的横坐标，
∴B−12,−2，C12,2．
（3） 把 x=t 代入双曲线中得：y1=1t，
把 x=t 代入直线中得：y2=4t，
又 ∵y1 ∴1t<4t，
∵ 当 t<0 时，1>4t2，t2<14，−12 ∴−12 ∵ 当 t>0 时，1<4t2，t2>14，t<−12 或 t>12，
∴t>12，
故 t 的取值范围是 −1212．
22. （1） 过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，
∴∠DEA=∠DCA=90∘．
又 ∵AD 平分 ∠BAC，
∴DE=DC，
∴ 点 E 为 ⊙D 上一点，
∴ 直线 AB 与 ⊙D 相切．
（2） 设 CD=DE=x，
∴AC=2DC，
∴AC=2x．
∵BD=5，故 BC=5+x．
由（1）知 AB 与 ⊙D 相切，∠ACB=90∘，故 AC 与 ⊙D 相切，
∴AC=AE=2x，
∴DE⊥AB，
∴∠BED=∠ACB 且 ∠B=∠B，
∴△BED∽△BCA，
∴BEBC=DEAC，
∴BE=DE⋅BCAC=x⋅5+x2x=5+x2，
∴AB=AE+BE=2x+5+x2=5x+12．
在 Rt△ACB 中，
AB2=BC2+AC2，
5x+122=x+52+4x2，
x2+2x−15=0，
x−3x+5=0，
x1=3，x2=−5（舍去），
故 CD=3 即 ⊙D 的半径为 3．
23. （1） ∵ 抛物线经过点 −2,−2，
∴−2=−22−2b×−2+1，
解得 b=−74．
（2） y=x2−2b+1=x2−2bx+b2−b2+1=x−b2−b2+1,
∴ 顶点坐标为 b,1−b2．
（3） ∵m,m，n,n 在抛物线上，
∴m=m2−2bm+1⋯⋯①n=m2−2bn+1⋯⋯②，
① − ② 得 m−n=m+nm−n−2bm−n，
∴m+n−2b=1，
∴b=m+n−12，
又 ∵m>2，n<2，
∴m>2 或 m<−2，−2 ∴m+n>0 或 m+n<0，
∴m+n−12≠−12，
∴b 的取值为 b≠−12．
24. （1） ① 5
② CE=BC；∠BCE=2∠A
【解析】①当点 D 是线段 AB 的中点时，
∴AD=BD=12AB=3，
∵CD⊥AB，CD=2，
∴AC=AD2+CD2=5．
②当点 D 是线段 AB 的中点时，
AD=BD，
∵CD⊥AB，
∴AC=BC，
∴∠A=∠CBA，
∵CE=AC，
∴CE=BC
∵∠BCE=∠A+∠CBA，
∴∠BCE=2∠A．
（2） ①补全图如图所示：
②作 ∠ACM=2∠CAB，点 M 与点 D 在直线 AC 的异侧，且 CM=CA，
连接 AM，BM，过点 C 作 CN⊥AM 于点 N，
∵CA=CM，CN⊥AM，
∴MN=AN，CN 平分 ∠ACM，
∴∠ACN=12∠ACM=∠CAB，
∴CN∥AB，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠DCN=90∘，
∵∠ANC=90∘，
∴ 四边形 ANCD 是矩形，
∴AN=CD=2，∠NAD=90∘，
∴AM=2AN=22，
∵∠ACM=2∠CAB，
∠BCE=2∠CAB，
∴∠ACM=∠BCE，
∴∠ACM+∠MCE=∠BCE+∠MCE，
∴∠ACE=∠MCB，
在 △CAE 和 △CMB 中，
CA=CM,∠ACE=∠MCB,CE=CB,
∴△CAE≌△CMBSAS，
∴AE=BM，
在 Rt△MAB 中，
MB=AM2+AB2=222+232=25，
∴AE=BM=25．
25. （1） ① 12
② −5,0 或 7,0
【解析】①点 B 与原点 O 重合时，线段 AB 的中点 M 点的坐标为 −12,0,
将线段 AB 向左平移 12 个单位长度，则 M 点落在 ⊙O 上，
∴ 线段 AB 到 ⊙O 的“平移距离”为 12．
故答案为：12．
② ∵ 线段 AB 到 ⊙O 的“平移距离”为 2，AB 的中点 M 也在 x 轴上，
∴ 线段 AB 的中点 M 向左或向右平移 2 个单位长度时，点 M 即落在 ⊙O 上，
∴ 当 M 点坐标为 −3,0 时，则 B 点坐标为 −5,0,
当 M 点坐标为 3,0 时，则 B 点坐标为 7,0,
故 B 点坐标为 −5,0 或 7,0．
（2） 设直线 y=43x+4 与 x 轴交于点 P，与 y 轴交于点 Q，过点 O 作 OH⊥PQ 与点 H，交 ⊙O 与点 N，令 x=0，y=4，即 Q0,4，
令 y=0，43x+4=0，解得 x=−3，即 P−3,0，
∴OP=3，OQ=4，
∴PQ=OP2+OQ2=5，
∵S△OPQ=12OP⋅OQ=12PQ⋅OH，
∴OH=OP⋅OQPQ=125，
∴HN=OH−ON=125−1=75，
∴ 当 AB 的中点 M 与点 H 重合时，又需沿着垂直 PQ 的直线平移 75 个单位长度时，AB 的中点 M 即可落在 ⊙O 上，
∴d1 的最小值为 75．
（3） 3≤d2≤5．
【解析】连接 OA，
∵A 点坐标为 3,4，
∴OA=32+42=5，
∵AB=2，
∴ 点 B 在以 A 为圆心，2 为半径的圆上移动，
∴AB 的中点 M 在以 A 为圆心，1 为半径的圆上移动，
∴ 点 M 到 ⊙O 的最小距离为 5−1−1=3，点 M 到 ⊙O 的最大平移距离为 5−1+1=5，
∴ 线段 AB 的平移距离 d2 的取值范围是 3≤d2≤5．