2019-2020学年北京市东城区九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年北京市东城区九上期末数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 我国是一个多民族国家，民俗文化丰富多彩，下面是几幅具有浓厚民族特色的图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 如图，在平行四边形 ABCD 中，F 为 BC 的中点，延长 AD 至点 E，使 DE:AD=1:3，连接 EF 交 DC 于点 G，则 S△DEG:S△CFG 等于
A. 4:9B. 2:3C. 9:4D. 3:2

3. 抛物线 y=ax2−2ax−3aa≠0 的对称轴是 ．
A. 直线 x=aB. 直线 x=2aC. 直线 x=1D. 直线 x=−1

4. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 C，D 是圆上两点，若 ∠AOC=126∘，则 ∠CDB 等于
A. 27∘B. 37∘C. 54∘D. 64∘

5. 将抛物线 y=2x2−1 向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得抛物线的解析式为
A. y=2x−12+1B. y=2x+12−3
C. y=2x−12−3D. y=2x+12+1

6. 根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的图形是
A. B.
C. D.

7. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标是 −2,0，点 B 的坐标是 0,6，将线段 AB 绕点 B 逆时针旋转 90∘ 后得到线段 AʹB．若反比例函数 y=kx 的图象恰好经过 Aʹ 点，则 k 的值是
A. 9B. 12C. 15D. 24

8. ，如图，将 △ABC 绕点 C 顺时针旋转得到 △DEC，使点 A 的对应点 D 恰好落在边 AB 上，点 B 的对应点为 E，连接 BE，下列四个结论：
① AC=AD；
② AB⊥EB；
③ BC=EC；
④ ∠A=∠EBC．
其中一定正确的是 ．
A. ①②B. ②③C. ③④D. ②③④

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 写出一个二次函数，其图象满足；①开口向下；②与 y 轴交于点 0,2，这个二次函数的解析式可以是 ．

10. 扬州煤毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质量抽检的结果如下：
抽取的毛绒玩具数n2050100200500100015002000优等品的频数m19479118446292113791846优等品的频率重
从这批毛绒玩具中，任意抽取一个毛绒玩具是优等品的概念的估计值是 ．（精确到 0.01）

11. 在数学拓展课上，小聪发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．下图是由 5 个边长为 1 的小正方形拼成的图形，P 是其中 4 个小正方形的公共顶点．请你在小聪的启发下，经过点 P 画一条直线，把下图分成面积相等的两部分．（画出直线，保留画图痕迹）

12. 在平面直角坐标系 xOy，若点 A−1,y1，B2,y2，C3,y3 在反比例函数 y=kxk<0 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是 ．

13. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何?意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸，则竹竿的长为： 尺 .（1 丈 =10 尺，1 尺 =10 寸）

14. 如图，⊙O 上三点 A，B，C，半径 OC=1，∠ABC=30∘，⊙O 的切线 PA 交 OC 延长线于点 P，从现图中选取一条以 P 为端点的线段，此线段长为 ．（注明选取的线段）

15. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，∠ABC=60∘，AB=2，分别以点 A 、点 C 为圆心，以 AO 的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留 π）

16. 如图，在 ⊙O 中，半径 OC=6，D 是半径 OC 上一点，且 OD=4，A，B 是 ⊙O 上的两个动点，∠ADB=90∘，F 是 AB 的中点，则 OF 的长的最大值等于 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 如图，在 △ABC 中，点 D 是 AB 边上的一点．
（1）请用尺规作图法，在 △ABC 内，作出 ∠ADE，使 ∠ADE=∠B，DE 交 AC 于点 E；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若 ADDB=2，AC=6，求 AE 的长．

18. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 H，∠A=30∘，CD=23，求 ⊙O 的半径长．

19. 二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）的自变量 x 与函数值 y 的部分对应值如下表：
x⋯−2−1012⋯y=ax2+bx+c⋯tm−2−2n⋯
根据以上列表，回答下列问题：
（1）直接写出 c 的值和该二次函数图象的对称轴．
（2）写出关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=t 的根．
（3）若 m=−1，求此二次函数的解析式．

20. 北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于 2019 年 4 月 29 日至 10 月 7 日在北京市延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了 4 条各具特色的游玩路线，如下表：
ABCD漫步世园会爱家乡,爱园艺清新园艺之旅车览之旅
（1）求小美选择路线“清新园艺之旅”的概率．
（2）用画树状图或列表的方法，求小美和小红怡好选择同一条路线的概率．

21. 如图，在正方形网格中；将格点 ABC 绕某点顺时针旋转角 α0∘<α<180∘ 得到格点 ΔA1B1C1，点 A 与点 A1，点 B 与点 B1，点 C 与点 C1，是对应点．
（1）请通过画图找到旋转中心，将其标记为 O．
（2）直接写出旋转角 α 的度数．

22. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y=kxx>0 的图象和 △ABC 都在第一象限内，AB=AC=52，BC∥x 轴，且 BC=4，点 A 的坐标为 3,5．
（1）若反比例函数 y=kxx>0 的图象经过点 B，求此反比例函数的解析式．
（2）若将 △ABC 向下平移 mm>0 个单位长度，A，C 两点的对应点同时落在反比例函数图象上，求 m 的值．

23. 为迎接国庆节，某商店购进了一批成本为每件 30 元的纪念商品，经调查发现，该商品每天的销售量 y （件）与销售单价 x （元）满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求该商品每天的销售量 y 与销售单价 x 的函数关系式．
（2）若商店按不低于成本价，且不高于 60 元的单价销售，则销售单价定为多少元，才能使销售该商品每天获得的利润 w （元）最大?最大利润是多少?

24. 如图，在 Rt△ACB 中，∠C=90∘，AC=3，BC=4，O 是 BC 的中点，到点 O 的距离等于 12BC 的所有点组成的图形记为 G，图形 G 与 AB 交于点 D．
（1）补全图形并求线段 AD 的长．
（2）点 E 是线段 AC 上的一点，当点 E 在什么位置时，直线 ED 与图形 G 有且只有一个交点?请说明理由．

25. 如图，P 是直径 AB 上的一点，AB=6，CP⊥AB 交半圆 AB 于点 C，以 BC 为直角边构造等腰 Rt△BCD，∠BCD=90∘，连接 OD．
小明根据学习函数的经验，对线段 AP，BC，OD 的长度之间的关系进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．
（1）对于点 P 在 AB 上的不同位置，画图，测量；得到了线段 AP，BC，OD 的长度的几组值，如下表：
位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置⋯⋯⋯⋯
在 AP，BC，OD 的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数．
（2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，画出 1 中所确定的函数的图象．
（3）结合函数图象，推断：当 OD=2BC 时，线段 AP 的长度约为 ．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2−4ax 与 x 轴交于 A，B 两点（A 在 B 的左侧）．
（1）求点 A，B 的坐标．
（2）已点 C2,1，P1,−32a，点 Q 在直线 PC 上，且 Q 点的横坐标为 4．
①求 Q 点的纵坐标（用含 a 的式子表示）．
②若抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围．

27. 在 △ABC 中，∠BAC=45∘，CD⊥AB 于点 D，AE⊥BC 于点 E，连接 DE．
（1）如图 1，当 △ABC 为锐角三角形时，
①依题意补全图形，猜想 ∠BAE 与 ∠BCD 之间的数量关系并证明．
②用等式表示线段 AE，CE，DE 的数量关系，并证明．
（2）如图 2，当 ABC 为钝角时，依题意补全图形并直接写出线段 AE，CE，DE 的数量关系．

28. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，过 ⊙T 外一点 P 引它的两条切线，切点分别为 M，N，若 60∘≤∠MPN<180∘，则称 P 为 ⊙T 的环绕点．
（1）当 ⊙O 半径为 1 时，
①在 P11,0，P21,1，P30,2 中，⊙O 的环绕点是 ．
②直线 y=2x+b 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，若线段 AB 上存在 ⊙O 的环绕点，求 b 的取值范围．
（2）⊙T 的半径为 1，圆心为 0,t，以 m,33mm>0 为圆心，33m 为半径的所有圆构成图形 H，若在图形 H 上存在 ⊙T 的环绕点，直接写出 t 的取值范围．
答案
第一部分
1. D
2. A【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC．
∵DE:AD=1:3，
∴DE=13AD．
∵F 是 BC 中点，
∴CF=12BC=12AD，
∴DECF=23．
∵DE∥CF，
∴△DEG∽△CFG，
∴S△DEGS△CFG=DECF2=49．
即 S△DEG:S△CFG=4:9．
3. C【解析】y=ax2−2ax−3a 中，对称轴为直线 x=−−2a2a=1．故选 C．
4. A【解析】∵∠AOC=126∘，∠AOC+∠BOC=180∘，
∴∠BDC=54∘，
∴∠CDB=12∠BDC=27∘．
5. B
【解析】由函数图象平移可知，左加右减，上加下减，
将抛物线 y=2x2−1 向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得抛物线的解析式为 y=2x+12−3．
故选B．
6. B【解析】三角形内心是三角形角平分线的交点，
∴ 能找到三角形内心的图形是选项B中的图形，
7. D【解析】过 Aʹ 作 AʹC⊥y 轴于 C，

∵ 线段 AB 绕点 B 逆时针旋转 90∘ 得线段 AʹB，
∴AB=AʹB，∠ABAʹ=90∘，
∴∠ABO+∠AʹBC=90∘，
∵AʹC⊥BC，
∴∠AʹCB=90∘，
∴∠AʹBC+∠BAʹC=90∘，
∴∠ABO=∠BAʹC，
在 △AOB 和 △BCAʹ 中
∠AOB=∠BCAʹ,∠ABO=∠BAʹC,AB=AʹB,
∴△AOB≌△BCAʹ ，
∴OA=BC，OB=AʹC，
∵A−2,0，B0,6 ，
∴OA=BC=2，OB=AʹC=6，
∴OC=OB−BC=4，
∴Aʹ6,4，
∵ 反比例函数 y=kx 的图象恰好经过 Aʹ，
∴k=6×4=24．
故选D．
8. C【解析】∵△ABC 绕点 C 顺时针旋转得到 △DEC，
∴△ABC≌△DEC，
∴CA=CD，CB=CE，
∠ACD=∠BCE，
∴∠A=∠CDA=∠CBE=∠CEB，
∴ ③④一定正确．
只有当 ∠A=60∘ 时，AC 才能与 AD 相等．
只有当 ∠ACB=90∘ 时，AB 才能与 BE 垂直，
∴ ①②不一定正确．
故选C．
第二部分
9. y=−x2+2
【解析】一个二次函数，其图象满足；①开口向下；②与 y 轴交于点 0,2，这个二次函数的解析式可以是
y=−x2+2，
故答案为：y=−x2+2（答案不唯一）．
10. 0.92
【解析】从这批毛绒玩具中，任意抽取一个毛绒玩具是优等品的概念的估计值是 0.92．
故答案为：0.92．
11.
【解析】∵ 若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则该直线平分平行四边形的面积，
∴ 取左侧小正方形的对角线交点为 Q，连接 PQ 即为所求．
12. y2>y3>y1
【解析】y=kxk<0 中，
∵k>0，
∴ 在个象限为 y 随 x 增大而减小，
∵−1<0，0<2<3．
∴y1<0，y2>y3>y1．
∴y2>y3>y1．
故答案为：y2>y3>y1．
13. 45
【解析】设竹竿长 x 尺，根据题意可知：竹竿的影长为 1 丈五尺 =15 尺，标杆一尺五寸 =1.5 尺，标杆的影长五寸 =0.5 尺，则 1.5x=0.515，解得 x=45．故竹竿的长为 45 尺．
14. PA=3
【解析】连接 OA，
∵PA 是 ⊙O 的切线，
∴∠OAP=90∘，
∵∠ABC=30∘，
∴∠AOC=2∠ABC=60∘，
∴∠P=30∘，
∴PO=2OA=2OC=2 .
∴AP=3AO=3，
∴PA=3，PO=2，PC=1．
故答案为：PA=3（答案不唯一）．
15. 23−23π
【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AC⊥BD，∠ABO=12∠ABC=30∘，∠BAD=∠BCD=120∘，
∴ AO=12AB=1，
由勾股定理得，OB=AB2−OA2=3，
∴ AC=2，BD=23，
∴ 阴影部分的面积 =12×2×23−120π×12360×2=23−23π．
16. 2+14
【解析】取 OD 中点 E，连接 EF，连接 DF，在 △ODF 中，
由中线定理有：
OF2+DF2=12OD2+2EF2，
⇒OF2+DF2=2OE2+2EF2，
又由垂径定理得：OF2=OB2−BF2，
又在 Rt△ABD 中，F 为 AB 中点，有 BF=DE，
且 OB=6，
⇒EF=14，
又 OF≤OE+EF，
=2+14，
∴OF最大值为2+14．
第三部分
17. （1） 如图所示，∠ADE 为所作．
（2） 因为 ∠ADE=∠B，
所以 DE∥BC，
所以 AEEC=ADDB，
因为 ADDB=2，AC=6，
所以 AE=4．
18. 如图，连接 OC，
∵∠A=30∘，
∴∠COH=60∘，
∵CD⊥AB，CD=23 且 AB 是 ⊙O 直径，
∴CH=12CD=3，
∴OC=CHsin∠COH=3sin60∘=2．
故 ⊙O 的半径长为 2．
19. （1） c=−2，x=12．
【解析】∵ 当 x=0 时，
y=−2，
∴c=−2，
∵ 当 x=0 时，
y=−2，
且当 x=1 时，
y=−2，
∴ 对称轴为 x=0+12，
即为 x=12．
（2） x1=−2，x2=3．
【解析】∵ 当 x=−2 时，
y=t，
且对称轴为 x=12，
∴ 当 x=3 时，
y=t，
∴ 一元二次方程 ax2+bx+c=t 的根为：
x1=−2，x2=3．
（3） 由（1）可知 c=−2，−b2a=12，
将当 x=−1 时，y=m=−1 代入，
得 a−b+c=−1，
联立方程组
c=−2,−b2a=12,a−b+c=−1,
解得
a=12,b=−12,c=−2,∴
二次函数解析式为：y=12x2−12x−2．
20. （1） 在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同．
所以在四条路线中，小美选择路线“园艺小清新之旅”的概率是 14．
（2） 画树状图分析如下：
共有 16 种等可能的结果，小美和小红恰好选择同一条路线的结果有 4 种，
所以小美和小红恰好选择同一条路线的概率为 416=14．
21. （1）
【解析】如图，连接 CC1，AA1，作 CC1，AA1 的垂直平分线交于点 E，连接 AE，A1E
∵ CC1，AA1 的垂直平分线交于点 E，
∴ 点 E 是旋转中心．
（2） 90∘
【解析】∵ ∠AEA1=90∘
∴ 旋转角 α=90∘
故答案为：90∘
22. （1） 因为 AB=AC=52，BC=4，点 A3,5，
所以 B1,72，C5,72，
因为反比例函数 y=kxx>0 的图象经过点 B，
所以此反比例函数的解析式为 y=72xx>0．
（2） 将 △ABC 向下平移 m 个单位长度，设 A，C 的对应点分别为 Aʹ，Cʹ，
所以 Aʹ3,5−m，Cʹ5,72−m，
因为 Aʹ，Cʹ 两点同时落在反比例函数图象上，
所以 35−m=572−m，
所以 m=54．
23. （1） 设函数关系式为 y=kx+b，
由图象得 30,100，45,70，
代入，得 100=30k+b,70=45k+b,
解得 k=−2,b=160,
∴ 该商品每天的销售量 y 与销售单价 x 的函数关系式为 y=−2x+160．
（2） 由题意得：
w=x−30−2x+160=−2x2+220x−4800=−2x−552+1250
∵30≤x≤60，
∴ 当 x=55 时，w 有最大值，最大值为 1250，
答：销售单价定位 55 元时，能使销售该商品每天的利润最大，最大利润是 1250 元．
24. （1） 依题意画出 ⊙O，如图所示，
在 Rt△ACB 中，
∵AC=3，BC=4，∠ACB=90∘，
∴AB=5，
连接 CD，
∵BC 为直径，
∴∠ADC=∠BDC=90∘，
∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴ACAB=ADAC，
∴AD=AC2AB=95．
（2） 当点 E 是 AC 的中点时，ED 与图形 G⊙O 有且只有一个交点．
连接 OD，
∵DE 是 Rt△ADC 斜边上的中线，
∴ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∵OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90∘，
∴ED⊥OD，
∴ED 与 ⊙O 相切，
∴ 直线 ED 与图形 G⊙O 有且只有一个交点．
25. （1） AP；BC；OD
【解析】在 AP，BC，OD 的长度这三个变量中，确定 AP 的长度是自变量，BC 的长度和 OD 的长度是这个变量的函数．
（2） 如图所示两条曲线为所求函数图象．
（3） 4.7
【解析】结合函数图象，当 OD=2BC 时，线段 AP 的长度约为 4.7．
26. （1） 令 y=0，则 ax2−4ax=0．
解得 x1=0，x2=4．
∴ A0,0，B4,0．
（2） ①设直线 PC 的解析式为 y=kx+b．
将点 P1,−32a，C2,1．
解得 k=1+32a，b=−1−3a．
∴ y=1+32ax−1−3a．
∵ 点 Q 在直线 PC 上，且 Q 点的横坐标为 4，
∴ Q 点的纵坐标为 3+3a．
②当 a>0 时，如图 1，不合题意．
当 a<0 时，由图 2，图 3 可知，3+3a≥0．
∴ a≥−1．
∴ 符合题意的 a 的取值范围是 −1≤a<0．
27. （1） ①依题意，补全图形，如图 1 所示，
∵CD⊥AB，AE⊥BC ，
∴∠BAE+∠B=90∘，
∠BCD+∠B=90∘，
∴∠BAE=∠BCD．
②如图 2，在 AE 上截取 AF=CE，
连接 DF，
∵∠BAC=45∘，CD⊥AB，
∴△ACD 是等腰直角三角形，
∴AD=CD，
又 ∠BAE=∠BCD，
∴△ADF≌△CDESAS，
∴DF=DE，∠ADF=∠CDE，
∵AB⊥CD，
∴∠ADF+∠FDC=90∘，
∴∠CDE+∠FDC=∠EDF=90∘，
∴△EDF 是等腰直角三角形，
∴EF=2DE，
∵AF+EF=AE，
∴CE+2DE=AE．
（2） 依题意补全图形，如图 3 所示，
在 CE 上截取 CF=AE，连接 DF，
∵∠AEC=∠ADC=90∘，
∠EBA=∠DBC，
∠EBA+∠EAB=90∘，
∠DCF+∠DBC=90∘，
∴∠EAD=∠DCF，
∵∠BAC=45∘，
∴∠DCA=45∘，
∴DA=DC，
∴△DFC≌△DAESAS，
∴DF=DE，
∠ADE=∠FDC，
∵∠ADC=∠FDC+∠FDA=90∘，
∴∠EDF=∠ADE+∠FDA=90∘，
∴△EDF 为等腰直角三角形，
∴EF=2DE，
∵CE=EF+FC，
FC=AE，
∴CE−2DE=AE．
28. （1） ① P2，P3；
②由①中分析已知，半径为 1 的 ⊙O 的所有环绕点，
在以 O 为圆心，半径为 1 和 2 的两圆之间，
含大圆不含小圆，
①当 B 在 y 轴正半轴上时，如图 1，图 2 所示，
考虑两种特殊情况，
线段 AB 与半径为 2 的 ⊙O 相切时，OB=25，
当点 B 经过半径为 1 的 ⊙O 时，OB=1，
因为线段 AB 上存在 ⊙O 的环绕点，
故 b 的取值范围为 1②同理，当 B 在 y 轴负半轴时，
可得 b 的取值范围为 −25≤b<−1，
综上所述 b 的取值范围为 1【解析】① P1 在 ⊙O 上，不能引切线，
故不是 ⊙O 的环绕点，
P2 引两切线，已知分别为 P2M，P2P1，
此时 ∠MP2P1=90∘，
故 P2 是 ⊙O 的环绕点，
P3 引两切线分别为 P3N，P3M3，
连接 ON，OM3，
则 ON=OM3=1，
而 P30,2，已证 ∠OP3N=30∘，
则 ∠NP3M3=60∘，
故 P3 是 ⊙O 的环绕点．
（2） m,33mm>0 在 y=33x 这条直线上，取 x>0 部分，
若以 33m 为半径，以 m,33m 为圆心画圆，如图，
已证 ∠AOB=30∘，
根据对称性知 y=3x 与 ⊙A 相切，
则 H 为 y=3xx>0 与 x 轴正半轴所夹的第一象限的区域，
由（1）②已知半径为 1 的 ⊙T 的环绕点分布 ⊙T（半径为 1）与 ⊙T（半径为 2）之间，含大圆，不含小圆，
若 H 上存在 ⊙T 的环绕点，则临界为上图，
当半径为 2 的 ⊙T 过 0,0 时，此时 t=−2，
当半径为 2 的 ⊙T 与 y=3xx>0 相切时，此时 t=4，
故 t 的取值范围为 −2