2021年北京昌平区中国人民大学附属中学昌平学校九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京昌平区中国人民大学附属中学昌平学校九年级上期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 已知线段 a，b，c，如果 a:b:c=1:2:3，那么 a+bc+b 的值是
A. 13B. 23C. 35D. 53

2. 如图．BC 是 ⊙O 的直径，点 A，D 在 ⊙O 上，若 ∠ADC=48∘，则 ∠ACB 等于 度．
A. 42B. 48C. 46D. 50

3. 如图所示，下列说法错误的是
A. OA 的方向是西北方向B. OB 的方向是南偏西 60∘
C. OC 的方向是南偏东 60∘D. OD 的方向是北偏东 50∘

4. 下列四个选项中的表述，一定正确的是
A. 经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
B. 经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
C. 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
D. 经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线

5. 抛物线 y=2x−32+4 的顶点坐标是
A. 3,4B. −3,4C. 3,−4D. 2,4

6. 若点 2,5，4,5 是抛物线 y=ax2+bx+c 上的两个点，那么这条抛物线的对称轴是
A. 直线 x=1B. 直线 x=2C. 直线 x=3D. 直线 x=4

7. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，∠ABC=26∘，BC=5，若用科学计算器求边 AC 的长，则下列按键顺序正确的是
A. B.
C. D.

8. 如图，AB，AC，BC 都是 ⊙O 的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为 M，N，若 MN=1，则 BC 的值为
A. 1B. 2C. 3D. 4

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 如果抛物线 y=x2−a 经过点 2,0，那么 a 的值是 ．

10. 点 1,3 在反比例函数 y=kx 的图象上，则 k= ，在图象的每一支上，y 随 x 的增大而 ．

11. 正六边形的边长是 2 cm，那么它的外接圆的直径是 cm．

12. 如果直线 l 把 △ABC 分割后的两个部分面积相等，且周长也相等，那么就把直线 l 叫做 △ABC 的“完美分割线”，已知在 △ABC 中，AB=AC，△ABC 的一条“完美分割线”为直线 l，且直线 l 平行于 BC，若 AB=2，则 BC 的长等于 ．

13. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 H，若 AB=10，CD=8，则 OH 的长度为 ．

14. 如果一个二次函数图象开口向下，对称轴为 x=1，则该二次函数表达式可以为 ．（任意写出一个符合条件的即可）

15. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，PA 切 ⊙O 于点 A，线段 PO 交 ⊙O 于点 C，连接 BC，若 ∠P=36∘，则 ∠B= ．

16. 当 −3≤x≤2 时，函数 y=ax2−4ax+2（a≠0）的最大值是 8，则 a= ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 计算：sin30∘+3tan60∘−cs245∘．

18. 如图，在 △ABC 中，点 D 在 AB 边上，∠ABC=∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△ACD．
（2）若 AD=2，AB=5．求 AC 的长．

19. 如图，小山岗的斜坡 AC 的坡度是 tanα=34，在与山脚 C 距离 200 米的 D 处，测得山顶 A 的仰角为 26.6∘，求小山岗的高 AB（结果取整数，已知 sin26.6∘≈0.45，cs26.6∘≈0.89，tan26.6∘≈0.50）．

20. 已知二次函数 y=−x2+2x+3．
（1）求函数图象的顶点坐标，并画出这个函数的图象．
（2）根据图象，直接写出︰
①当函数值 y 为正数时，自变量 x 的取值范围．
②当 −2③若经过点 0,k 且与 x 轴平行的直线 l 与 y=−x2+2x+3 的图象有公共点，求 k 的取值范围．

21. 下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的切线”的尺规作图过程．
已知：⊙O 及 ⊙O 外一点 P．
求作：直线 PA 和直线 PB，使 PA 切 ⊙O 于点 A，PB 切 ⊙O 于点 B．
作法：如图，
①作射线 PO，与 ⊙O 交于点 M 和点 N；
②以点 P 为圆心，以 PO 为半径作 ⊙P；
③以点 O 为圆心，以 ⊙O 的直径 MN 为半径作圆，与 ⊙P 交于点 E 和点 F，连接 OE 和 OF，分别与 ⊙O 交于点 A 和点 B；
④作直线 PA 和直线 PB．
所以直线 PA 和 PB 就是所求作的直线．
（1）使用直尺和圆规，补全图形．（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接 PE 和 PF．
∵OE=MN，OA=OM=12MN，
∴ 点 A 是 OE 的中点．
∵PO=PE，
∴PA⊥OA 于点 A（ ）（填推理的依据）．
同理 PB⊥OB 于点 B．
∵OA，OB 为 ⊙O 的半径，
∴PA，PB 是 ⊙O 的切线．（ ）（填推理的依据）．

22. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，C 为 ⊙O 上的一点，AD 与过点 C 的直线互相垂直，垂足为 D，AC 平分 ∠DAB．
（1）求证：DC 为 ⊙O 的切线；
（2）若 AD=3，DC=3，求 ⊙O 的半径．

23. 已知抛物线 y=2x2−4x+c 与 x 轴有两个不同的交点．
（1）求 c 的取值范围；
（2）若抛物线 y=2x2−4x+c 经过点 A2,m 和点 B3,n，试比较 m 与 n 的大小，并说明理由．

24. 已知 △ABC 中，∠BAC=90∘，AB=AC，点 D 为直线 BC 上的一动点（点 D 不与点 B，C 重合），以 AD 为边作 △ADE，使 ∠DAE=90∘，AD=AE，连接 CE．
（1）发现问题：
如图 1，当点 D 在边 BC 上时，请写出 BD 和 CE 之间的位置关系为 ，并猜想 BC 和 CE，CD 之间的数量关系： ．
（2）尝试探究：
如图 2，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，（1）中 BD 和 CE 之间的位置关系，BC 和 CE，CD 之间的数量关系是否成立?若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由；
（3）拓展延伸：
如图 3，当点 D 在边 CB 的延长线上且其他条件不变时，若 BC=6，CE=2，求线段 ED 的长．

25. （1）如图1，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是 AD 延长线上一点，且 DF=BE．求证：CE=CF．
（2）如图2，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，G 是 AD 上一点，如果 ∠GCE=45∘，请你利用（1）的结论证明：GE=BE+GD．
答案
第一部分
1. C【解析】∵a:b:c=1:2:3，
∴ 设 a=k，b=2k，c=3kk≠0，
∴a+bc+b=k+2k3k+2k=3k5k=35．
2. A【解析】连接 AB，如图所示：
∵BC 是 ⊙O 的直径，
∴∠BAC=90∘，
∵∠B=∠ADC=48∘，
∴∠ACB=90∘−∠B=42∘．
3. C【解析】A、 OA 方向是西北方向，故本选项说法正确；
B、 OB 的方向是南偏西 60∘，故本选项说法正确；
C、 OC 方向是南偏东 30∘，故本选项说法错误；
D、 OD 方向是北偏东 50∘，故本选项说法正确．
4. C【解析】由切线的判定定理可知：经过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线，故A，B，D选项不正确，C选项正确，故选：C．
5. A
【解析】根据二次函数的顶点式 y=ax−h2+k 的顶点坐标为 h,k，可知此函数的顶点坐标为 3,4．
6. C
7. D【解析】由 tan∠B=ACBC，得 AC=BC⋅tanB=5×tan26．
8. B【解析】∵OM⊥AB，ON⊥AC 垂足分别为 M，N，
∴M，N 分别是 AB 与 AC 的中点，
∴MN 是 △ABC 的中位线，
∴BC=2MN=2．
第二部分
9. 4
10. 3，减小
11. 4
12. 42−4
【解析】如图，设直线 l 与 AB，CD 分别交于点 E，D，
则由“完美分割线”的定义可知，S△AED=S四边形BCDE，
∴S△AEDS△ABC=12，
∵l∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴AEAB=ADAC=12=22，
设 AE=AD=x，
则 x2=22，
∴x=2，
∴BE=CD=2−2，
∴BC=22−22−2=42−4．
13. 3
【解析】连接 OC，
Rt△OCH 中，OC=12AB=5，CH=12CD=4，
由勾股定理，得：OH=OC2−CH2=52−42=3，
即线段 OH 的长为 3．
14. y=−x2+2x
【解析】∵ 二次函数的对称轴为 x=1，
∴−b2a=1，
−b=2a．
又 ∵ 二次函数图象开口向下，
∴a 可以取为 −1，则 b=2．
∴ 二次函数表达式可以为 y=−x2+2x
15. 27∘
16. 27 或 −32
【解析】y=ax2−4ax+2=ax−22−4a+2，
对称轴为直线 x=2．
①当 a>0 时，开口向上，草图如下：
∵ 当 −3≤x≤2 时，x=−3，ymax=a−3−22−4a+2=21a+2=8，
∴a=27，
②当 a<0 时，开口向下，草图如下：
当 −3≤x≤2 时，x=2，ymax=−4a+2=8，
∴a=−32，
∴ 综上，a=27或−32．
第三部分
17. 原式=12+3×3−222=12+33−12=33.
18. （1） ∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD．
（2） ∵△ABC∽△ACD，
∴ACAD=ABAC，
∵AD=2，AB=5，
∴AC2=5AC，
∴AC=10．
19. 由 tanα=34 得 ABBC=34．
设 AB=3x，则 BC=4x，BD=200+4x．
∵tan26.6∘=ABBD，
∴0.50=3x200+4x，x=100，
∴AB=3×100=300（米），
∴ 小山岗的高为 300 米．
20. （1） ∵y=−x2+2x+3=−x−12+4，
∴ 函数图象的顶点坐标 1,4，
函数的图象如图：
（2） ①根据图象可知：当 −1②根据图象可知：当 −2③根据图象可知：k≤4．
21. （1） 画图见解析．

（2） 三线合一；经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【解析】
连接 PE 和 PF，
∵OE=MN，OA=OM=12MN，
∴ 点 A 是 OE 的中点．
∵PO=PE，
∴PA⊥OA 于点 A（三线合一）（填推理的依据）．
同理 PB⊥OB 于点 B．
∵OA，OB 为 ⊙O 的半径，
∴PA，PB 是 ⊙O 的切线．（经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）（填推理的依据）．
22. （1） 如图（1），连接 OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC 平分 ∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
又 OC 为 ⊙O 的半径，
∴DC 为 ⊙O 的切线．
（2） 如图（2），连接 BC，
在 Rt△ACD 中，∠ADC=90∘，AD=3，DC=3，
∴tan∠DAC=CDAD=33．
∴∠DAC=30∘．
∴∠CAB=∠DAC=30∘，AC=2CD=23．
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=90∘，
∴AB=ACcs∠CAB=4．
∴⊙O 的半径为 2．
23. （1） b2−4ac=−42−8c=16−8c．
由题意，得 b−4ac>0，
∴16−8c>0，
解得 c<2．
∴c 的取值范围是 c<2．
（2） m ∵ 抛物线的对称轴为直线 x=1，
又 ∵a=2>0，
∴ 当 x≥1 时，y 随 x 的增大而增大．
∵2<3，
∴m24. （1） BD⊥CE；BC=CD+CE
【解析】如图 1．
∵∠BAC=∠DAE=90∘，
∴∠BAD=∠CAE，
在 △ABD 和 △ACE 中，
AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△ABD≌△ACESAS，
∴BD=CE，∠B=∠ACE=45∘，
∴∠BCE=45∘+45∘=90∘，即 BD⊥CE；
由①可得 △ABD≌△ACE，
∴BD=CE，
∴BC=BD+CD=CE+CD．
（2） BD⊥CE 成立，数量关系不成立，关系为 BC=CE−CD．
理由：如图 2 中，由（1）同理可得，
∵∠BAC=∠DAE=90∘，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即 ∠BAD=∠CAE，
∴在△ABD 和 △ACE 中，
AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△ABD≌△ACESAS，
∴BD=CE，∠ACE=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45∘，
∴BD=BC+CD，即 CE=BC+CD，∠ACE+∠ACB=90∘，
∴BC=CE−CD，BD⊥CE．
（3） 如图 3 中，由（1）同理可得，
∵∠BAC=∠DAE=90∘，
∴∠BAC−∠BAE=∠DAE−∠BAE，即 ∠BAD=∠EAC，
易证 △ABD≌△ACESAS，
∴BD=CE=2，∠ACE=∠ABD=135∘，
∴CD=BC+BD=BC+CE=8，
∵∠ACB=45∘，
∴∠DCE=90∘，
在 Rt△DCE 中，由勾股定理得 DE2=DC2+CE2=82+22=68，
∴DE=217．
25. （1） 如图，在正方形 ABCD 中，
∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，
∴△CBE≌△CDF．
∴CE=CF．
（2） 如图，延长 AD 至 F，使 DF=BE，连接 CF．
由（1）知 △CBE≌△CDF．
∴∠BCE=∠DCF．
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即 ∠ECF=∠BCD=90∘．
又 ∠GCE=45∘，
∴∠GCF=∠GCE=45∘．
∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，
∴△ECG≌△FCG．
∴GE=GF．
∴GE=DF+GD=BE+GD．