2021年北京昌平区北师大二附中未来科技城学校九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京昌平区北师大二附中未来科技城学校九年级上期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=6，sinB=23，那么 AB 的长是
A. 4B. 9C. 35D. 25

2. 如图，△ABC 中 DE∥BC，若 AD=2，DE=3，BC=6，则 BD 的长为
A. 2B. 3C. 4D. 5

3. 下列关于 y=x2 和 y=−x2 的关系的说法错误的是
A. 它们有共同的顶点和对称轴B. 它们的形状相同，开口方向相反
C. 它们都关于 y 轴对称D. 它们都经过点 −2,4

4. 如图，AB 为 ⊙O 直径，已知为 ∠DCB=20∘，则 ∠DBA 为
A. 50∘B. 20∘C. 60∘D. 70∘

5. 已知 y 与 x 成反比例，当 x 增加 20% 时，y 将
A. 减少 20%B. 增加 20%C. 减少 80%D. 约减少 16.7%

6. 如图，在半径为 5 cm 的 ⊙O 中，圆心 O 到弦 AB 的距离为 3 cm，则弦 AB 的长是
A. 4 cmB. 6 cmC. 8 cmD. 10 cm

7. 如图，已知梯形 ABCD 中，AB∥CD，如果 S△ODC:S△BDC=1:3．那么 S△ODC:S△ABC 为
A. 1:5B. 1:6C. 1:7D. 1:9

8. 烟花厂为扬州 4.18 烟花三月经贸旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度 hm 与飞行时间 ts 的关系式是 h=−52t2+20t+1 ，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为
A. 3sB. 4sC. 5sD. 6s

二、填空题（共4小题；共20分）
9. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 上，连接 DE．
（1）若 ADDB=AEEC，则 DE BC（填“∥”或“=”）；
（2）若 ACAB= ，则 DE∥BC．

10. 如图，正三角形 ABC 的边长为 2，D，E，F 分别为 BC，CA，AB 的中点，以 A，B，C 三点为圆心，半径为 1 作圆，则圆中阴影部分的面积是 ．

11. 如图，直线 AB 与半径为 2 的 ⊙O 相切于点 C，点 D，E，F 是 ⊙O 上三个点，EF∥AB，若 EF=2 3，则 ∠EDC 的度数为 ．

12. 如图，一段抛物线：y=−xx−3（0≤x≤3），记为 C1，它与 x 轴交与点 O，A1：
将 C1 绕点 A1 旋转 180∘ 得 C2，交 x 轴于点 A2；
将 C2 绕点 A2 旋转 180∘ 得 C3，交 x 轴于点 A3；
⋯
如此进行下去，直至得 C13．若 P37,m 在第 13 段抛物线 C13 上，则 m= ．

三、解答题（共13小题；共169分）
13. 如图，BC=6，∠ABC=45∘，∠ACB=30∘，求 △ABC 的高 AD 的长．

14. 计算：−13−1−2sin60∘+3−1+3−π0．

15. 如图，在正方形网格中有两个三角形 △A1B1C1 和 △A2B2C2，试说明 △A1B1C1∽△A2B2C2．

16. 已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点 1,0 和 0,1．求这个二次函数的解析式，并求出它的图象的顶点坐标．

17. 如图所示，在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧 A，B 两个凉亭之间的距离，现测得 AC=30 m，BC=70 m，∠CAB=120∘，请计算 A，B 两个凉亭之间的距离．

18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于 A，B 两点．
（1）根据图象，分别写出点 A，B 的坐标．
（2）求出这两个函数的解析式．

19. 已知：抛物线 y=ax2+a−2x−2 过点 A3,4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线 y=ax2+a−2x−2 在直线 y=−1 下方的部分沿直线 y=−1 翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新图象记为 G．点 Mm,y1 在图象 G 上，且 y1≤0．
① 求 m 的取值范围；
②若点 Nm+k,y2 也在图象 G 上，且满足 y2≥4 恒成立，则 k 的取值范围为 ．

20. 已知 AB 是 ⊙O 的直径，CD 是 ⊙O 的弦，AB 与 CD 交于 E，CE=DE，过 B 作 BF∥CD，交 AC 的延长线于点 F，求证：BF 是 ⊙O 的切线．

21. 如图，已知 AB 是 ⊙O 的直径，BC⊥AB，连接 OC，弦 AD∥OC，直线 CD 交 BA 的延长线于点 E．
（1）求证：直线 CD 是 ⊙O 的切线；
（2）若 DE=2BC，求 AD:OC 的值．

22. 现规定一种新的运算“ ⋇ ”：a⋇b=ab，如 3⋇2=32=9，计算：
（1）12⋇3；
（2）−3.5÷−78×−34⋇−2+4．

23. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，O 是坐标原点，一次函数 y=kx+b 的图象与 x 轴交于点 A−3,0，与 y 轴交于点 B，且与正比例函数 y=43x 的图象的交点为 Cm,4．
（1）求一次函数 y=kx+b 的解析式；
（2）D 是平面内一点，以 O 、 C 、 D 、 B 四点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点 D 的坐标．（不必写出推理过程）．

24. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，C 为圆周上的一点，过点 C 的直线 MN 满足 ∠MCA=∠CBA．
（1）求证：直线 MN 是 ⊙O 的切线；
（2）过点 A 作 AD⊥MN 于点 D，交 ⊙O 于点 E．已知 AB=6，BC=3，求阴影部分的面积．

25. 已知抛物线 y=12x2−m−3x+5−4m2．
（1）求证：无论 m 为任何实数，抛物线与 x 轴总有两个交点；
（2）若 An−3, n2+2 、 B−n+1, n2+2 是抛物线上的两个不同点，求抛物线的解析式和 n 的值；
（3）若反比例函数 y=kxk>0, x>0 的图象与（2）中的抛物线在第一象限内的交点的横坐标为 x0，且满足 2答案
第一部分
1. B
2. A【解析】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=DEBC，
即 2AB=36，解得 AB=4，
∴BD=AB−AD=2．
3. D
4. D
5. D
6. C【解析】连接 OA，
∵OD⊥AB，如图，
∴AD=BD，OD=3 cm，
在 Rt△AOD 中，OA=5 cm，OD=3 cm，
∴AD=OA2−OD2=4 cm，
∴AB=2AD=8 cm．
7. B
8. B
第二部分
9. ∥，AE，AD
【解析】（1）因为 ADDB=AEEC，
所以 △ADE∽△ABC，
所以 ∠ADE=∠B，
所以 DE∥BC．
（2）若 DE∥BC，则可得 △ADE∽△ABC，
所以 AEAC=ADAB，
即 ACAB=AEAD．
10. 3−π2
【解析】S△ABC−3S扇形AEF=12×2×2×sin60∘−3×60π×12360=3−π2
11. 30∘
【解析】
12. 2
【解析】∵C1:y=−xx−3（0≤x≤3），
∴ 图象与 x 轴交点坐标为 0,0，3,0．
∵ 将 C1 绕点 A1 旋转 180∘ 得 C2，交 x 轴于点 A2；
将 C2 绕点 A2 旋转 180∘ 得 C3，交 x 轴于点 A3；
⋯
如此进行下去，直至得 C13，
∴C13 的图象与 x 轴的交点坐标为 36,0，39,0，且图象在 x 轴上方．
∴C13 的解析式为：y13=−x−36x−39．
当 x=37 时，y=−37−36×37−39=2．
第三部分
13. 设 AD=BD=x，则 DC=6−x．
在 Rt△ACD 中，∠C=30∘，
∴tan30∘=ADDC，
∴33=x6−x，
∴ 解得 x=33−3，即 AD=33−3．
14. −13−1−2sin60∘+3−1+3−π0=−3−2×32+3−1+1=−3−3+3=−3.
15. 设小正方形的边长为 1，由勾股定理可知
A1B1=12+22=5；
A2B2=12+12=2；
A1C1=12+32=10；
B2C2=12+32=10．
∵B1C1=5，A2C2=2，
∴A1B1A2B2=52=102，B1C1B2C2=510=102，A1C1A2C2=102．
∴A1B1A2B2=B1C1B2C2=A1C1A2C2．
∴△A1B1C1∽△A2B2C2．
16. 根据题意，得 1+b+c=0,c=1. 解得 b=−2,c=1.
所以所求的二次函数的解析式为 y=x2−2x+1．
又因为 y=x2−2x+1=x−12，
所以函数图象的顶点坐标是 1,0．
17.
如图所示，过 C 点作 CD⊥AB，垂足为 D．
∵∠CAB=120∘，
∴∠CAD=60∘．
∵cs∠CAD=ADAC，
∴AD=AC⋅cs∠CAD=30×cs60∘=15m，
∴CD=AC2−AD2=302−152=153m，
∴BD=BC2−CD2=702−1532=65m，
∴AB=BD−AD=65−15=50m．
答：A 、 B 两个凉亭之间的距离为 50 m．
18. （1） A−6,−1，B3,2．
（2） y=6x，y=13x+1．
19. （1） ∵ 抛物线 y=ax2+a−2x−2 过点 A3,4，
∴9a+3a−2−2=4．
解得 a=1．
∴ 抛物线的解析式 为y=x2−x−2．
（2） ①当 y=0 时，x2−x−2=0．
∴x=−1 或 2．
∴ 抛物线与 x 轴交于点 A−1,0，B2,0．
当 y=−2 时，x2−x−2=−2．
∴x=0 或 1．
∴ 抛物线与直线 y=−2 交于点 C0,−2，D1,−2．
∴C，D 关于直线 y=−1 的对称点 Cʹ0,0，Dʹ1,0．
∴ 根据图象可得 −1≤m≤0 或 1≤m≤2．
② k 的取值范围为 k≥4 或 k≤−4．
20. ∵AB 是 ⊙O 的直径，CE=DE，
∴AB⊥CD．
又 BF∥CD，
∴BF⊥AB，
∴BF 是 ⊙O 的切线．
21. （1）
连接 DO．
∵AD∥OC，
∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO，
∴∠COD=∠COB．
在 △COD 和 △COB 中，
CO=CO,∠COD=∠COB,OD=OB,
∴△COD≌△COB（SAS）．
∴∠CDO=∠CBO=90∘．
∵ 点 D 在 ⊙O 上，
∴CD 是 ⊙O 的切线．
（2） ∵△COD≌△COB．
∴CD=CB．
∵DE=2BC，
∴ED=2CD．
∵AD∥OC，
∴△EDA∽△ECO．
∴ADOC=DECE=23．
22. （1） 12⋇3=123=18.
（2） −3.5÷−78×−34⋇−2+4=−72×−87×−342=−32=9.
23. （1） ∵ 点 Cm,4 在直线 y=43x 上，
∴4=43m，解得 m=3．
∵ 点 A−3,0 与 C3,4 在直线 y=kx+bk≠0 上，
∴0=−3k+b,4=3k+b.
解得 k=23,b=2.
∴ 一次函数的解析式为 y=23x+2．
（2） 点 D 的坐标为 −3,−2 或 3,6 、 3,2．
【解析】
以 OB 为平行四边形的对角线，可得 D1−3,−2；
以 BC 为平行四边形的对角线，可得 D23,6;
以 OC 为平行四边形的对角线，可得 D33,2．
24. （1） 连接 OC，
∵AB 是 ⊙O 的直径，C 为圆周上的一点，
∴∠ACB=90∘，即 ∠ACO+∠OCB=90∘．
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
又 ∠MCA=∠ABC，故 ∠MCA=∠OCB，
∴∠ACO+∠MCA=90∘，即 OC⊥MN，直线 MN 过点 C，
∴ 直线 MN 是 ⊙O 的切线．
（2） 连接 OE，CE，由（1）知 OC⊥MN，AD⊥MN，得 OC∥AE，
在 Rt△ACB 中，csB=BCAB=12，
∴∠B=60∘，故 OC=OB=BC=3，
∴∠EAO=∠COB=60∘，故 OE=OA=EA=3，∠EOC=60∘，
∴OC=AE，四边形 AOCE 是平行四边形，故 S△EAC=S△EOC．
于是，S阴=S△ADC−S扇形EOC．
在 Rt△ACB 中，BC=3，AB=6，
∴AC=33．
在 Rt△ADC 中，AC=33，∠DCA=∠B=60∘，
∴DC=332，AD=92，
∴S△ADC=12AD⋅DC=2738，而 S扇形EOC=60⋅π⋅32360=3π2．
于是 S阴=S△ADC−S扇形EOC=273−12π8．
25. （1） 令 12x2−m−3x+5−4m2=0．得
Δ=−m−32−4×12×5−4m2=m2−2m+4=m−12+3.
∵ 不论 m 为任何实数，都有 m−12+3>0，即 Δ>0．
∴ 不论 m 为任何实数，抛物线与 x 轴总有两个交点．
（2） 抛物线 y=12x2−m−3x+5−4m2 的对称轴为 x=−−m−32×12=m−3．
∵ 抛物线上两个不同点 An−3, n2+2 、 B−n+1, n2+2 的纵坐标相同，
∴ 点 A 和点 B 关于抛物线的对称轴对称，则 m−3=n−3+−n+12=−1．
∴m=2．
∴ 抛物线的解析式为 y=12x2+x−32．
∵An−3, n2+2 在抛物线 y=12x2+x−32 上，
∴12n−32+n−3−32=n2+2．
化简，得 n2+4n+4=0．
∴n=−2．
（3） 当 2对于 y=12x2+x−32，y 随着 x 的增大而增大，
对于 y=kxk>0, x>0，y 随着 x 的增大而减小．
所以当 x0=2 时，由反比例函数图象在二次函数图象上方，
得 k2>12×22+2−32，解得 k>5．
当 x0=3 时，由二次函数图象在反比例函数图象上方，
得 12×32+3−32>k3，解得 k<18．
所以 k 的取值范围为 5