2021年北京昌平区北京市昌平区进修学校八年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京昌平区北京市昌平区进修学校八年级上期末数学试卷，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 下列说法中正确的是
A. 两个无理数的差一定是无理数
B. 两个无理数的商一定是无理数
C. 两个无理数的积一定是无理数
D. 有理数和无理数的和一定是无理数

2. 已知一个数的算术平方根是 7，则这个数是
A. 7B. ±7C. 49D. ±49

3. 在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 若分式 2y3x−3y 中的 x 和 y 都扩大 5 倍，那么分式的值
A. 不变B. 扩大 5 倍
C. 缩小到原来的 23D. 无法判断

5. 下列各式中，无论 x 取何值，分式都有意义的是
A. 12x+1B. x2x+1C. 3x+1x2D. x22x2+1

6. 若 2m=a，2n=b，则用 a，b 表示 22m−n 为
A. abB. a2bC. a2bD. ba2

7. 下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是
A. 瓮中捉鳖B. 守株待兔C. 旭日东升D. 夕阳西下

8. 如果两个图形全等，那么这两个图形必定是
A. 形状、大小均相同B. 形状相同，但大小不同
C. 大小相同，但形状不同D. 形状、大小均不相同

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 轴对称是 图形关于某条直线对称，指的是两个图形之间的对称关系．

10. 在如图所示的 2×2 方格中，连接 AB，AC，则 ∠1+∠2= 度．

11. （1）当 x 时，式子 x−2 有意义；
（2）当 x 时，式子 2x−4 有意义；
（3）当 x 时，式子 −2x 意义．

12. 请你写出一个介于 2 和 3 之间的无理数 ．

13. 三角形的三个外角的和是 ．

14. 如图，∠BOC=60∘，点 A 是 BO 延长线上的一点，OA=10 cm，动点 P 从点 A 出发沿 AB 以 2 cm/s 的速度移动，动点 Q 从点 O 出发沿 OC 以 1 cm/s 的速度移动，如果点 P，Q 同时出发，用 ts 表示移动的时间，当 t= 时，△POQ 是等腰三角形．

15. 一本 100 页的书，随手翻开 1 页，页码数是 5 的倍数的可能性为 %．

16. 已知：如图，AB∥DE，AC∥DF，点 B，F，C，E 在同一条直线上，若使 △ABC≌△DEF，则还需添加的一个条件是 （只填一个即可）．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：523−143+343+123．

18. x3a+25a+b⋅25a2−b24x2−9a2x2．

19. 计算：aa+1−a−1a÷a2−1a2+2a．

20. 某公司打算购买一批相同数量的玻璃杯和保温杯，计划用 2000 元购买玻璃杯，用 2800 元购买保温杯．已知一个保温杯比一个玻璃杯贵 10 元，求一个玻璃杯的价格．

21. 先化简，再求值：x2−3xyx2−6xy+9y2，其中 x=−1，y=23．

22. 如图，从一个大正方形中裁去面积为 15 cm2 和 24 cm2 的两个小正方形，求留下部分的面积．

23. 解分式方程：1x=x2−x．

24. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠C=90∘，
（1）画出以 A 为旋转中心，逆时针旋转 45∘ 后的图形；
（2）指出 △ABC 三边的对应线段．

25. 如图，在 △ABC 中，BD 平分 ∠ABC，EF 垂直平分 BD 交 CA 的延长线于 E，求证：∠EAB=∠EBC．

26. 解无理方程：
（1）x−2⋅2x−3=3；
（2）2x+3+x−2=4．

27. 如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB⊥BC，AB+DC=BC，点 P 为 AD 中点．
（1）求证：PB⊥PC；
（2）若 AB=2，CD=4，M 为 BC 边上点，且 AM⊥MD．求 BM 的长．

28. 操作与探究．
（1）对数轴上的点 P 进行如下操作：先把点 P 表示的数乘以 13，再把所得数对应的点向右平移 1 个单位长度，得到点 P 的对应点 Pʹ．点 A，B 在数轴上，对线段 AB 上的每个点进行上述操作后得到线段 AʹBʹ，其中点 A，B 的对应点分别为 Aʹ，Bʹ．如图 1，若点 A 表示的数是 −3，则点 Aʹ 表示的数是 ；若点 Bʹ 表示的数是 2，则点 B 表示的数是 ；已知线段 AB 上的点 E 经过上述操作后得到的对应点 Eʹ 与点 E 重合，则点 E 表示的数是 ．
（2）如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中，对正方形 ABCD 及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数 a，将得到的点先向右平移 m 个单位长度，再向上平移 n 个单位长度（m>0，n>0），得到正方形 AʹBʹCʹDʹ 及其内部的点，其中点 A，B 的对应点分别为 Aʹ，Bʹ．已知正方形 ABCD 内部的一个点 F 经过上述操作后得到的对应点 Fʹ 与点 F 重合，求点 F 的坐标．
答案
第一部分
1. D
2. C
3. C
4. A
5. D
6. C【解析】∵2m=a，2n=b，
∴22m−n=22m÷2n=2m2÷2n=a2÷b=a2b．
7. B
8. A【解析】能够完全重合的两个图形叫做全等形，所以如果两个图形全等，那么这两个图形必定是形状、大小均相同．故选A．
第二部分
9. 两个
10. 90
【解析】在 △ACM 和 △BAN 中，
AM=BN,∠AMC=∠BNA,CM=AN,
∴ △ACM≌△BAN，
∴ ∠2=∠CAM．
∵∠1+∠CAM=90∘，
∴ ∠1+∠2=90∘．
11. ≥2，≥2，≥0
12. 5（答案不唯一）
13. 360∘
14. 103 或 10
【解析】当 PO=QO 时，△POQ 是等腰三角形．
如图 1 所示，
∵PO=AO−AP=10−2tcm，OQ=t cm，
∴ 当 PO=QO 时，10−2t=t，解得 t=103．
当 PO=QO 时，△POQ 是等腰三角形．
如图 2 所示，
∵PO=AP−AO=2t−10cm，OQ=t cm，
∴ 当 PO=QO 时，2t−10=t，解得 t=10．
故当 t=103或10 时，△POQ 是等腰三角形．
15. 20
16. AB=DE 或 AC=DF 或 BC=EF
【解析】∵AB∥DE，
∴∠B=∠E，
∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，
当添加 AB=DE 或 AC=DF 时，由 AAS 可判定 △ABC≌△DEF，
当添加 BC=EF 时，由 ASA 可判定 △ABC≌△DEF．
第三部分
17. 723．
18. 5a−b2x−3ax．
19. 原式=aa+1−a−1a⋅aa+2a+1a−1=aa+1−a+2a+1=a−a−2a+1=−2a+1.
20. 设一个玻璃杯的价格是 x 元．
由题意，得：
2800x+10=2000x,
解这个方程，得：
x=25.
经检验，x=25 是原方程的解，且符合题意．
答：一个玻璃杯的价格是 25 元．
21. 原式=xx−3yx−3y2=xx−3y.
当 x=−1，y=23 时，原式=−1−1−3×23=13 .
22. 大正方形的边长为
15+24=15+26，
所以留下部分的面积为
15+262−15−24=1210cm2．
23. 两边乘以 x2−x，得 2−x=x2．
整理，得 x2+x−2=0．
解得 x1=1，x2=−2．
把 x1=1 代入 x2−x=1≠0，
把 x2=−2 代入 x2−x=−8≠0．
所以原方程的解是 x1=1，x2=−2．
24. （1） 所作图形如下：
（2） AB 与 ABʹ，AC 与 ACʹ，BC 与 BʹCʹ．
25. 由 ∠EAB=∠ABD+∠EDB，∠EBC=∠EBD+∠DBC 可得．
26. （1） x−2⋅2x−3=3；
两边平方，得
x−22x−3=3.
整理，得
2x2−7x+3=0.
解得
x1=12.
x2=3.
分别把 x1=12，x2=3 代入原方程；
经检验，x1=12 是增根，舍去．
∴x=3 是原方程的根．
（2） 2x+3+x−2=4，
移项，得
2x+3=4−x−2.
两边平方整理，得
8x−2=11−x.
再两边平方整理，得
x2−86x+249=0.
解得
x1=3.
x2=83.
分别把 x1，x2 代入原方程，
经检验，x2=83 是增根，舍去．
∴x=3 是原方程的根．
27. （1） 延长 PC 交 AB 的延长线于 G，得到 △APG≌△DPC，
∴AG=DC，PG=PC，
∴BG=BC，且 P 为 GC 中点，
∴BG⊥GC．
（2） 过点 A 向 DC 作垂线，
得到 AD=210，AM2+DM2=AD2=40，
设 BM=x，则 CM=6−x，解得 x=2 或 4，
∴BM=2 或 4．
28. （1） 0；3；32
（2） 设点 F 的坐标为 x,y，
由题意得 −3a+m=−1,3a+m=2,
解得 a=12,m=12,
n=2．
∵ 正方形 ABCD 内部的一个点 F 经过上述操作后得到的对应点 Fʹ 与点 F 重合，
∴12x+12=x,12y+2=y,
解得 x=1,y=4,
∴F1,4．