2021年北京昌平区昌平二中北校区九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京昌平区昌平二中北校区九年级上期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 函数 y=−2xx>0 的图象位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

2. 已知 AB 为 ⊙O 的直径，C 为 ⊙O 上一点，过点 C 作 CD⊥AB，垂足为点 D，延长 CD 至点 E，使 DE=CD，那么点 E 的位置是
A. 在 ⊙O 内B. 在 ⊙O 上C. 在 ⊙O 外D. 不能确定

3. 如果一种变换是将抛物线向右平移 2 个单位或向上平移 1 个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换．已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是 y=x2+1，则原抛物线的解析式不可能是
A. y=x2−1B. y=x2+6x+5C. y=x2+4x+4D. y=x2+8x+17

4. 在 △ABC 中，∠C=90∘，AC=BC，则 sinA 等于
A. 12B. 22C. 32D. 1

5. 下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方体包装盒的是
A. B.
C. D.

6. 已知反比例函数 y=axa≠0．当 x>0 时，它的图象 y 随 x 的增大而减小，那么二次函数 y=ax2−ax 的图象只可能是
A. B.
C. D.

7. 在一个密闭不透明的袋子里有若干个白球．为估计白球个数，小何向其中投入 8 个黑球，搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复摸球 400 次，其中 88 次摸到黑球，则估计袋中大约有白球
A. 18 个B. 28 个C. 36 个D. 42 个

8. 如图，点 A，B，C 是 ⊙O 上的三点，若 ∠OBC=50∘，则 ∠A 的度数是
A. 40∘B. 50∘C. 80∘D. 100∘

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 若 sinα=22，则锐角 α 的度数是 ．

10. 如图，正方形 ABCD 的边长为 3 cm，以直线 AB 为轴，将正方形旋转一周，所得几何体从左面看到的图形的面积是 ．

11. 对于函数 y=2x，当 x>0 时，y 0，这部分图象在第 象限．

12. 如图，△ABC 是 ⊙O 的内接三角形，若 ⊙O 的半径为 2，∠BOC 与 ∠A 互补，则 BC 的长为 ．

13. 如图，当太阳光与地面上的树影成 45∘ 角时，树影投射在墙上的影高 CD 等于 2 米，若树根到墙的距离 BC 等于 8 米，则树高 AB 等于 米．

14. 利用试验估计数目时应注意的问题：
（1）不同的试验者估计的结果可能 ；
（2）要使估计值较为准确，要 ，或将几个所做的试验集中起来取 值．

15. 某种商品每件进价为 20 元，调查表明：在某段时间内若以每件 x 元（20≤x≤30，且 x 为整数）出售，可卖出 30−x 件．若使利润最大，每件的售价应为 元．

16. 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图，对称轴是直线 x=−1，有以下结论：
① abc>0；
② 4ac③ 2a−b=0；
④ a−b+c>0；
⑤ 9a−3b+c>0．
其中正确的结论有 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：−12−2−23×0.125+20170+∣−1∣．

18. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
（1）y=x2−3x+1．
（2）y=12x2−x+1．

19. 如图，在 △ABC 中，AB=4 cm，AC=6 cm．
（1）作图：作 BC 边的垂直平分线分别交与 AC，BC 于点 D，E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接 BD，求 △ABD 的周长．

20. 在如图所示的方格纸（每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形）中建立平面直角坐标系，△ABC 的三个顶点都在格点上，点 A 的坐标为 2,4，请解答下列问题：
（1）画出 △ABC 关于 x 轴对称的 △A1B1C1，并写出点 B1 的坐标；
（2）画出 △ABC 绕原点 O 逆时针旋转 90∘ 后得到的 △A2B2C2；
（3）求出（2）中 C 点旋转到 C2 点所经过的路径长（结果保留根号和 π）

21. 数学课上，静静将一副三角板如图摆放，点 A，B，C 三点共线，其中 ∠FAB=∠ECD=90∘，∠D=45∘，∠F=30∘，且 DE∥AC．
（1）若 AB=2，求 AF 的长．
（2）若 ED=4，求 BC 的长．

22. 关于 x 的一元二次方程 x2+mx−m+1=0．
（1）求证：方程必有两个实数根；
（2）若方程有一个根为负数，求 m 的取值范围．

23. 如图，四边形 ABCD 内接于半径为 5 的 ⊙O，且 AB=AD，若 tan∠ABD=12，求 BD 的长．

24. 如果设 fx=x2x2+1，那么 fa 表示当 x=a 时，x2x2+1 的值，即 fa=a2a2+1．
如：f1=1212+1=12．
（1）求 f2+f12 的值；
（2）求 fx+f1x 的值；
（3）计算：f1+f2+f12+f3+f13+⋯+fn+f1n（结果用含有 n 的代数式表示，n 为正整数）．

25. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y=x2−2bx+1．
（1）若此抛物线经过点 −2,−2，求 b 值．
（2）求抛物线的顶点坐标（用含 b 的式子表示）．
（3）若抛物线上存在两点 Am,m 和 Bn,n 且 m>2，n<2，求 b 的取值范围．

26. 如图，△ABC 中，AB=AC，∠EAF=12∠BAC，BF⊥AE 于 E 交 AF 于点 F，连接 CF．
（1）如图 1 所示，当 ∠EAF 在 ∠BAC 内部时，求证：EF=BE+CF．
（2）如图 2 所示，当 ∠EAF 的边 AE，AF 分别在 ∠BAC 外部、内部时，求证：CF=BF+2BE．

27. 如图所示，已知 D 是 △ABC 的边 AB 上一点，DE∥BC 交 AC 于点 E，延长 DE 至点 F，使 EF=DE，连接 BF 交 AC 于点 G．求证 AEAC=EGCG．

28. 如图，一次函数 y=x+4 的图象分别交 x 轴、 y 轴于 A，B 两点，点 P 是线段 AB 上的一动点，以 P 为圆心，r 为半径画圆．
（1）若点 P 的横坐标为 −3，当 ⊙P 与 x 轴相切时，求半径 r 的值并判断此时 ⊙P 与 y 轴的位置关系．
（2）若 r=52，当 ⊙P 与坐标轴有且只有 3 个公共点时，求点 P 的坐标．
答案
第一部分
1. D
2. B
3. B【解析】因为抛物线 y=x2−1 可以向上平移两次得到 y=x2+1，所以 A可能．
因为抛物线 y=x2+4x+4=x+22 可以先向右平移一次再向上平移一次得到 y=x2+1，所以C可能．
因为抛物线 y=x2+8x+17=x+42+1 可以向右平移两次得到 y=x2+1，所以D可能．
因为抛物线 y=x2+6x+5=x+32−4，所以经过任意两次简单变换都不能得到 y=x2+1．
4. B
5. C
6. B
7. B【解析】白球的个数大约为：8÷88400−8≈28．
8. A【解析】∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=50∘，
∴∠BOC=180∘−50∘−50∘=80∘，
∴∠A=12∠BOC=40∘．
第二部分
9. 45∘
10. 18 cm2
【解析】正方形选转一周，变为了圆柱，左视图长为 6，宽为 3 的长方形，S=6×3=18 cm2．
11. >，一
12. 23
【解析】过点 O 作 OD⊥BC 于 D，则 BC=2BD，
∵△ABC 内接于 ⊙O，∠BAC 与 ∠BOC 互补，
∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180∘，
∴∠BOC=120∘，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=12180∘−∠BOC=30∘，
∵⊙O 的半径为 2，
∴BD=OB⋅cs∠OBC=2×32=3，
∴BC=23．
13. 10
【解析】作 DH⊥AB 于 H，如图，
则 DH=BC=8 m，CD=BH=2 m，
根据题意得 ∠ADH=45∘，
∴△ADH 为等腰直角三角形，
∴AH=DH=8 m，
∴AB=AH+BH=8 m+2 m=10 m．
14. 不一样，多做几次试验，平均值
15. 25
【解析】利润 y=30−xx−20=−x2+50x−600=−x−252+25，
因为 20≤25≤30，
所以若使利润最大，每件的售价应为 25 元．
16. ①②③④
【解析】由图象可知：a<0，c>0，
又 ∵ 对称轴是直线 x=−1，
∴ 根据对称轴在 y 轴左侧，a，b 同号，可得 b<0，
∴abc>0，故①正确；
∵ 抛物线与 x 轴有两个交点，
∴Δ=b2−4ac>0，
∴4ac ∵ 对称轴是直线 x=−1，
∴−b2a=−1，
∴b=2a，
∴2a−b=0，故③正确；
∵ 当 x=−1 时，y>0，
∴a−b+c>0，故④正确；
∵ 对称轴是直线 x=−1，且由图象可得：当 x=1 时，y<0，
∴ 当 x=−3 时，y<0，
∴9a−3b+c<0，故⑤错误．
综上，正确的有①②③④．
第三部分
17. 原式=4−1+1+1=5.
18. （1） 开口向上，顶点 32,−54，对称轴为直线 x=32．
（2） 开口向下，顶点 1,12，对称轴为直线 x=1．
19. （1） 如图1．
（2） 如图2，
∵DE 是 BC 边的垂直平分线，
∴BD=DC，
∵AB=4 cm，AC=6 cm．
∴△ABD 的周长 =AB+BD+AD=AB+AC=4+6=10 cm．
20. （1） 如图，△A1B1C1 为所作，点 B1 的坐标；
（2） 如图，△A2B2C2 为所作；
（3） OC=32+52=34，
所以 C 点旋转到 C2 点所经过的路径长 =90⋅π⋅34180=342π．
21. （1） 在 Rt△ABF 中，∠F=30∘，AB=2，
所以 FB=2AB=4，
因为 AF2+AB2=FB2，
所以 AF=FB2−AB2=42−22=23．
（2） 过 E 作 EH⊥AB 于 H，
设 BH=x，
因为 EH⊥AB，
所以 ∠EHB=90∘=∠FAC，
所以 EH∥FA，
所以 ∠HEB=∠F=30∘，
所以 EB=2HB=2x，
所以 EH=EB2−HB2=3x，
因为 ∠ECD=90∘，∠D=45∘，
所以 ∠CED=45∘，
因为 ED∥AC，
所以 ∠ECH=∠CED=45∘，
所以 ∠HEC=45∘，
所以 HE=HC=3x，
所以 EC=HE2+HC2=6x，
因为 CE=CD，∠ECD=90∘，ED=4，
所以 CE2+CD2=ED2，
所以 6x2+6x2=16，
所以 x=233，
所以 HC=2，HB=233，
所以 BC=HC−HB=2−233．
22. （1） ∵Δ=m2+4m+1=m+22≥0，
∴ 方程必有两个实数根．
（2） ∵x=−m±m+22，
∴x1=1，x2=−m−1，
∵x1=1>0，
∴x2=−m−1<0，解得：m>−1．
23. 连接 OA，OB，OA 交 BD 于点 E，
∵AB=AD，
∴ 易证 OA⊥BD，
∴tan∠ABD=AEBE=12，
∴ 可设 AE=a，则 BE=2a，OE=5−a，
∴ 在 Rt△BOE 中，2a2+5−a2=52，
∴a=2，
∴BD=2BE=4a=8．
24. （1） 当 x=2 时，f2=45．
当 x=12 时，f12=15，
∴f2+f12=45+15=1．
（2） fx+f1x=x2x2+1+1x2+1=1．
（3） f1+f2+f12+f3+f13+⋯+fn+f1n=12+1×n−1=n−12．
25. （1） ∵ 抛物线经过点 −2,−2，
∴−2=−22−2b×−2+1，
解得 b=−74．
（2） y=x2−2b+1=x2−2bx+b2−b2+1=x−b2−b2+1,
∴ 顶点坐标为 b,1−b2．
（3） ∵m,m，n,n 在抛物线上，
∴m=m2−2bm+1⋯⋯①n=m2−2bn+1⋯⋯②，
① − ② 得 m−n=m+nm−n−2bm−n，
∴m+n−2b=1，
∴b=m+n−12，
又 ∵m>2，n<2，
∴m>2 或 m<−2，−2 ∴m+n>0 或 m+n<0，
∴m+n−12≠−12，
∴b 的取值为 b≠−12．
26. （1） 如图，在 EF 上截取 EH=BE，连接 AH，
∵EB=EH，AE⊥BF，
∴AB=AH，
∵AB=AH，AE⊥BH，
∴∠BAE=∠EAH，
∵AB=AD，
∴AC=AH，
∵∠EAF=12∠BAC，
∴∠BAE+∠CAF=∠EAF，
∴∠BAE+∠CAF=∠EAH+∠FAH，
∴∠CAF=∠HAF，
在 △ACF 和 △AHF 中，
AC=AH,∠CAF=∠HAF,AF=AF,
∴△ACF≌△AHFSAS，
∴CF=HF，
∴EF=EH+HF=BE+CF．
（2） 如图，在 BE 的延长线上截取 EN=BE，连接 AN，
∵AE⊥BF，BE=EN，AB=AC，
∴AN=AB=AC，
∵AN=AB，AE⊥BN，
∴∠BAE=∠NAE，
∵∠EAF=12∠BAC，
∴∠EAF+∠NAE=12∠BAC+2∠NAE，
∴∠FAN=12∠CAN，
∴∠FAN=∠CAF，
在 △ACF 和 △ANF 中，
AC=AN,∠CAF=∠NAF,AF=AF,
∴△ACF≌△ANFSAS，
∴CF=NF，
∴CF=BF+2BE．
27. ∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG，
∴AEAC=DEBC，EFBC=EGCG．
∵EF=DE，
∴DEBC=EFBC，
∴AEAC=EGCG．
28. （1） 把 x=−3 代入 y=x+4，得 y=1，
∴P−3,1，即此时点 P 到 x 的距离为 1，到 y 轴的距离为 3，
∴ 当 ⊙P 与 x 轴相切时，r 的值为 1，此时 ⊙P 与 y 轴相离．
（2） 当 ⊙P 与 x 轴相切，与 y 轴相交时，则点 P 的纵坐标时 52，
把 y=52 代入 y=x+4，得 x=−32，
∴ 点 P 的坐标为 −32,52．
当 ⊙P 与 y 轴相切，与 x 轴相交时，点 P 的横坐标是 −52．
把 x=−52 代入 y=x+4，得 y=32，
∴ 点 P 的坐标为 −52,32．