2021年北京丰台区北京教育学院丰台分院八年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京丰台区北京教育学院丰台分院八年级上期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 如图将 1，2，3，6 按下列方式排列．若规定 m,n 表示第 m 排从左向右第 n 个数，则 5,4 与 15,8 表示的两数之积是
1第1排23第2排612第3排3612第4排36123第5排⋯⋯⋯⋯
A. 1B. 2C. 6D. 32

2. 下列图案不是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 下列不是必然事件的是
A. 角平分线上的点到角两边的距离相等
B. 三角形任意两边之和大于第三边
C. 面积相等的两个三角形全等
D. 三角形内心到三边距离相等

4. 下列分式中是最简分式的是
A. 2xx2+1B. 42xC. x−1x2−1D. 1−xx−1

5. 在一个不透明的袋子中装有 4 个除颜色外完全相同的小球，其中白球 1 个，黄球 1 个，红球 2 个，摸出一个球不放回， 再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是
A. 12B. 13C. 16D. 18

6. 如图，三角形纸片 ABC 中，∠B=2∠C，把三角形纸片沿直线 AD 折叠，点 B 落在 AC 边上的 E 处，那么下列等式成立的是
A. AC=AD+BDB. AC=AB+BDC. AC=AD+CDD. AC=AB+CD

7. 对于任意实数 k，关于 x 的方程 12x2−k+5x+k2+2k+25=0 的根的情况为
A. 有两个相等的实数根B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 无法判定

8. 如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=3，BC=4，将边 AC 沿 CE 翻折，使点 A 落在 AB 上的点 D 处；再将边 BC 沿 CF 翻折，使点 B 落在 CD 的延长线上的点 B′ 处，两条折痕与斜边 AB 分别交于点 E，F，则线段 BʹF 长为
A. 35B. 45C. 23D. 32

二、填空题（共4小题；共20分）
9. 在式子① −2，② −32，③ x+1x>−1，④ 2a−12，⑤ 34，⑥ a2+b2 中，是二次根式的有 （填写序号）．

10. 写出一个分母至少含有两项且能够约分的分式： ．

11. 方程 x2−3x+2=0 的根是 ．

12. 如图，在平面直角坐标系中有一个边长为 1 的正方形 OABC，边 OA，OC 分别在 x 轴、 y 轴上，如果以对角线 OB 为边作第二个正方形 OBB1C1，再以对角线 OB1 为边作第三个正方形 OB1B2C2，⋯⋯，照此规律作下去，则点 B2 的坐标为 ；点 B2014 的坐标为 ．

三、解答题（共13小题；共169分）
13. 如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90∘，分别以点 A，C 为圆心，大于 12AC 长为半径画弧，两弧相交于点 M，N，连接 MN，与 AC，BC 分别交于点 D，E，连接 AE．
（1）求 ∠ADE；（直接写出结果）
（2）当 AB=3，AC=5 时，求 △ABE 的周长．

14. 计算：12−418−3−8．

15. 先化简，再求值：xx2−1÷1+1x−1，其中 x=2−1．

16. 解方程：xx−1=4x2−1+1．

17. 一个矩形的长为 a，宽为 b（a>0，b>0），则矩形的面积为 a⋅b．代数式 xy（x>0，y>0）可以看作是边长为 x 和 y 的矩形的面积．我们可以由此解一元二次方程：x2+x−6=0（x>0）．具体过程如下：
①方程变形为 xx+1=6；
②画四个边长为 x+1，x 的矩形如图放置；
③由面积关系求解方程．
∵SABCD=x+x+12，又 S△ABCD=4xx+1+12．
∴x+x+12=4xx+1+1，又 xx+1=6，
∴2x+12=25，
∵x>0，
∴x=2．
参照上述方法求关于 x 的二次方程 x2+mx−n=0 的解（x>0，m>0，n>0）．（要求：画出示意图，标注相关线段的长度，写出解题步骤）

18. 如图，若 E 在 BC 的延长线上，其他条件不变，试探究 AE 与 EF 的数量关系．

19. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个小正方形的顶点叫做格点．以格点为顶点画三角形，使三角形的三边长分别为 3，22，5．

20. 在 3×3 的正方形格点图中，有格点 △ABC 和 △DEF，且 △ABC 和 △DEF 关于某直线成轴对称，请在图中画出 4 个这样的 △DEF．

21. 新冠肺炎疫情期间，工厂需加工一种口罩 250 万个，在加工了 100 万个后，采用了新技术，使每天比原来多加工 2.5 万个，结果提前了 3 天完成任务，求工厂原来每天加工多少万个口罩?

22. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，点 M，N 分别在 BC，AB 上，将矩形 ABCD 沿 MN 折叠，设点 B 的对应点是点 E．
（1）若点 E 在 AD 边上，BM=72，求 AE 的长；
（2）若点 E 在对角线 AC 上，请直接写出 AE 的取值范围： ．

23. 如图，点 A 的坐标为 5,0，试在第一象限内网格的格点（网格线的交点）上找一点 B，使其与点 O 、 A 构成等腰三角形，请写出图中所有满足条件的点 B 的坐标．

24. 不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1）2x2+x−1=0；
（2）m−1x2+2x+3=0（其中 x 是未知数，且 m≠1）．

25. 已知：如图，D 为线段 AB 上一点（不与点 A，B 重合），CD⊥AB，且 CD=AB，AE⊥AB，BF⊥AB，且 AE=BD，BF=AD．
（1）如图 1，当点 D 恰是 AB 的中点时，请你猜想并证明 ∠ACE 与 ∠BCF 的数量关系；
（2）如图 2，当点 D 不是 AB 的中点时，你在（1）中所得的结论是否发生变化，写出你的猜想并证明；
（3）若 ∠ACB=α，直接写出 ∠ECF 的度数（用含 α 的式子表示）．
答案
第一部分
1. B【解析】5,4 表示第 5 排从左向右第 4 个数是 2．
15,8 表示第 15 排从左向右第 8 个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是 1，
第 15 排是奇数排，最中间的也就是这排的第 8 个数是 1．
2. D
3. C
4. A
5. C
6. B【解析】∵△ADE 是由 △ADB 沿直线 AD 折叠而成，
∴AB=AE，BD=DE，∠B=∠AED．
又 ∵∠B=2∠C，∠AED=∠C+∠EDC，
∴∠EDC=∠C，
∴DE=EC．
∵AC=AE+EC=AE+BD，则当 AD≠AE 时，AC≠AD+BD，故A错误；
∵AE+EC=AB+BD，
∴AC=AB+BD．
7. B【解析】由题可得 Δ=−k+52−4×12×k2+2k+25=−k2+6k−25=−k−32=−16，
∵ 无论 k 为何值，−k−32≤0，
∴Δ=−k−32−16<0，
∴ 方程没有实数根．
故选B．
8. B【解析】据翻折得，
△AEC≌△DEC，
∴ CE⊥AB．
又 ∠ACE=∠DCE，∠BʹCF=∠BCF，∠ACB=90∘，
∴ ∠ECF=45∘，
∴ △ECF 为等腰直角三角形．
∵ AC=3，BC=4，
∴ CE=EF=125，AE=95，
∴ EB=165，
∴ FB=45，
∴ FBʹ=45．
第二部分
9. ①③④⑥
10. a2−b2a2−2ab+b2
11. x=1 或 x=2
12. −2,2，21007,−21007
【解析】由图可知，前后两个正方形的边长之比为 2．
∵ 对角线 OB 为边作第二个正方形 OBB1C1，再以对角线 OB1 为边作第三个正方形 OB1B2C2，⋯⋯，
∴OB=2，OB1=2，OB2=22，
以此类推，OBn=2n+1，
∵ 当 n 为偶数时，Bn 在象限的角平分线上，即 Bn 的横纵坐标的绝对值相等，
∴B2−2,2，
根据图中 B 点所在的位置可知：B1 与 B9 都在 y 轴的正半轴，
可以找到规律 B8n−7（n 为正整数）都在 y 轴的正半轴上，
∴B2014 在第四象限的角平分线上，
∴B201422014,−22014 即 21007,−21007．
第三部分
13. （1） ∠ADE=90∘．
（2） ∵ 在 Rt△ABC 中，∠B=90∘，AB=3，AC=5，
∴BC=52−32=4 ．
∵MN 是线段 AC 的垂直平分线，
∴AE=CE ．
∴△ABE 的周长为 AB+AE+BE=AB+BC=3+4=7．
14. 原式=23−2−3−22=23−2−3+22=3+2.
15. 原式=xx+1x−1÷x−1+1x−1=xx+1x−1×x−1x=1x+1.
当 x=2−1 时，原式=12−1+1=12=22．
16.
xx−1=4x2−1+1.
方程两边都乘 x−1x+1，得
xx+1=4+x−1x+1.
解得
x=3.
检验：当 x=3 时，x−1x+1=8≠0．
故 x=3 是原方程的解．
17. ①方程变形为 xx+m=n；
②画四个边长为 x+m，x 的矩形如图放置；
③由面积关系求解方程．
∵SABCD=x+x+m2，又 SABCD=4xx+m+m2．
∴x+x+m2=4xx+m+m2，又 xx+m=n，
∴2x+m2=4n+m2，
∵x>0，
∴x=124n+m2−m（m>0，n>0）．
18. AE=EF，
在 BA 的延长线上截取 AG=CE，
证 △AGE≌△ECF．
19. 由于 222=8=22+22，因此可以构造一个两直角边长均为 2 的直角三角形，这个直角三角形的斜边长就是 22．要构造一条长度为 5 的线段，可构造一个直角边长分别为 2 和 1 的直角三角形，然后通过平移线段得到三角形．如图所示，△ABC 即为所求作的三角形．
20. 提供以下六种方案供参考（如图所示）．
21. 设原来每天加工 x 万个口罩，采用了新技术后，每天加工 x+2.5 万个口罩，
根据题意得：
100x+150x+2.5+3=250x.
整理得：
x2+2.5x−125=0.
解得：
x1=10,x2=−12.5.
经检验，x1=10，x2=−12.5 均是原方程的解，
但 x1=−12.5 不符合题意，舍去．
答：该厂原来每天加工 10 万个口罩．
22. （1） 由题意，△BMN 沿 MN 折叠得到 △EMN，
∴△BMN≌△EMN，
∴EM=BM=72．
过点 M 作 MH⊥AD 交 AD 于点 H，则四边形 ABMH 为矩形，MH=AB=3，AH=BM=72．
Rt△EHM 中，EH=EM2−HM2=722−32=132，
∴AE=7−132．
（2） 1≤AE≤3
【解析】由勾股定理得，AC=5．
点 M 在 C 处时，CE=CB=4，所以 AE=AC−BC=1；
点 N 在 A 处时，AE=AB=3．
23. 如图．

当 OA=OB 时，以 O 点为圆心，以 OA 的长为半径作圆，交第一象限内网格的格点有 2 个，分别为：B23,4 、 B34,3．
当 AO=AB 时，以 A 点为圆心，以 OA 的长为半径作圆，交第一象限内网格的格点有 4 个，分别为：B15,5 、 B42,4 、 B51,3 、 B68,4．
OA 是底边时，OA 垂直平分线上的点均不在格点上．
所以，满足条件的 B 点有 =6 个，分别为 5,5 、 3,4 、 4,3 、 2,4 、 1,3 、 8,4．
24. （1） 在方程 2x2+x−1=0 中，Δ=12−4×2×−1=9>0，
∴ 方程 2x2+x−1=0 有两个不相等的实数根．
（2） 在方程 m−1x2+2x+3=0（其中 x 是未知数，且 m≠1）中，Δ=4−4m−1×3=16−12m，
当 Δ>0，即 16−12m>0 时，m<43 且 m≠1，此时方程 m−1x2+2x+3=0 有两个不相等的实数根；
当 Δ=0，即 16−12m=0 时，m=43，此时方程 m−1x2+2x+3=0 有两个相等的实数根；
当 Δ<0，即 16−12m<0 时，m>43，此时方程 m−1x2+2x+3=0 没有实数根．
25. （1）
猜想：∠ACE=∠BCF．
证明：∵D 是 AB 中点，
∴AD=BD，
又 AE=BD，BF=AD，
∴AE=BF．
∵CD⊥AB，AD=BD，
∴CA=CB．
∴∠1=∠2．
∵AE⊥AB，BF⊥AB，
∴∠3=∠4=90∘．
∴∠1+∠3=∠2+∠4．
即 ∠CAE=∠CBF．
∴△CAE≌△CBF．
∴∠ACE=∠BCF．
（2）
∠ACE=∠BCF 仍然成立．
证明：连接 BE，AF．
∵CD⊥AB，AE⊥AB，
∴∠CDB=∠BAE=90∘．
又 BD=AE，CD=AB，△CDB≌△BAE．
∴CB=BE，∠BCD=∠EBA．
在 Rt△CDB 中，
∵∠CDB=90∘，
∴∠BCD+∠CBD=90∘．
∴∠EBA+∠CBD=90∘．
即 ∠CBE=90∘．
∴△BCE 是等腰直角三角形．
∴∠BCE=45∘．
同理可证：△ACF 是等腰直角三角形．
∴∠ACF=45∘．
∴∠ACF=∠BCE．
∴∠ACF−∠ECF=∠BCE−∠ECF．
即 ∠ACE=∠BCF．
（3） ∠ECF 的度数为 90∘−α．