2021年北京大兴区北京市爱莲舞蹈学校八年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京大兴区北京市爱莲舞蹈学校八年级上期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 2017 年 6 月北京国际设计周面向社会公开征集“二十四节气”标识系统设计，以期通过现代设计的手段，尝试推动我国非物质文化遗产创新传承与发展．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 下列计算正确的是
A. 3a3⋅2a2=6a6B. 2x2⋅3x2=6x4C. 3x2⋅4x2=12x2D. 5y3⋅3y5=8y8

3. 下列式子为最简二次根式的是
A. 13B. 30C. 0.3D. 20

4. 如果把分式 2xx+y 中的 x 和 y 时扩大 3 倍，则分式的值
A. 扩大 3 倍B. 扩大 9 倍C. 缩小 9 倍D. 不变

5. 在平面直角坐标系中，点 A，点 B 关于 y 轴对称，点 A 的坐标是 2,−8，则点 B 的坐标是
A. −2,−8B. 2,8C. −2,8D. 8,2

6. 下列四个多项式中，不能因式分解的是
A. ab−ab2+bB. a2+9C. a2−4b2D. 2a2+12a+18

7. 如图所示，点 C 在 ∠AOB 的 OB 边上，用尺规作出了 CN∥OA，作图痕迹中，FG 是
A. 以点 C 为圆心，OD 为半径的弧B. 以点 C 为圆心，DM 为半径的弧
C. 以点 E 为圆心，OD 为半径的弧D. 以点 E 为圆心，DM 为半径的弧

8. 如图，在等边 △ABC 中，D 是边 AC 上一点，连接 BD，将 △BCD 绕点 B 逆时针旋转 60∘，得到 △BAE，连接 ED，若 BC=10，BD=9，则 △ADE 的周长为
A. 19B. 20C. 27D. 30

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 一种细菌的半径为 0.0004 m，用科学记数法表示为 m．

10. 若分式 x2−42x−4 的值为零，则 x= ．

11. 已知等腰三角形的两边长分别为 2 和 5，则这个等腰三角形的周长为 ．

12. 若 x2+kxy+49y2 是一个完全平方式，则 k= ．

13. 某小区购买了银杏树和玉兰树共 150 棵用来美化小区环境，购买银杏树用了 12000 元，购买玉兰树用了 9000 元．已知玉兰树的单价是银杏树单价的 1.5 倍，求银杏树和玉兰树的单价．设银杏树的单价为 x 元，可列方程为 ．

14. 若 a=2b，那么 a2−3b22ab 的值是 ．

15. 若 y=x−12+12−x−6，则 xy= ．

16. 若分式方程：2+1−kxx−2=12−x 有增根，则 k= ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. “世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场，顺风车行经营的A型车 2015 年 12 月份销售总额为 32000 元，2016 年经过改造升级后A型车每辆销售价比 2015 年增加 400 元，现统计发现，2016 年 12 月份与 2015 年 12 月份卖出的A型车数量相同，但是 2016 年 12 月份销售总额为 40000 元，那么，2016 年A型车每辆销售价多少元?

18. 如图，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，AB=AD，请你添加一个边或角的条件，使得 AC⊥BD．
（1）添加的条件是 ；
（2）根据已知及添加的条件证明：AC⊥BD．

19. 计算：3−10+−13−2−−22+1−2．

20. 如图，在四边形 ABCD 中，点 E 在 AD 上，∠BCE=∠ACD=90∘，∠BAC=∠D，BC=EC．求证：△ABC≌△DEC．

21. 解分式方程．
（1）2x=3x−2．
（2）34−x+2=1−xx−4．

22. 先化简，再求值：1a−1b÷a2−b2ab，其中 a=2+1，b=2−1．

23. 如图，在平面直角坐标系中，A−3,2，B−4,−3，C−1,−1．
（1）在图中作出 △ABC 关于 y 轴对称的 △A1B1C1．
（2）写出点 C1 的坐标（直接写答案）：C1 ．
（3）△A1B1C1 的面积为 ．
（4）在 y 轴上画出点 P，使 PB+PC 最小．

24. 已知 ∠MON=α，P 为射线 OM 上的点，OP=1．A，B 均为射线 ON 上的点．
（1）如图 1，若 α=60∘，OA=1，OB>OA，△PBC 为等边三角形，且 O，C 两点位于直线 PB 的异侧，连接 AC．
①依题意补全图 1；
②判断直线 AC 与 OM 的位置关系并加以证明．
（2）若 α=45∘，PA=1，OB>OA，△PBC 为以 P 为直角顶点的直角等腰三角形，且 O，C 两点位于直线 PB 的异侧，连接 AC．上题结论还成立吗?若成立请画图证明，若不成立，说明理由（求出两条直线的夹角度数）．

25. 阅读材料：
关于 x 的方程：
x+1x=c+1c 的解为：x1=c，x2=1c，
x−1x=c−1c（可变形为 x+−1x=c+−1c）的解为：x1=c，x2=−1c，
x+2x=c+2c 的解为：x1=c，x2=2c，
x+3x=x+3c 的解为：x1=c，x2=3c，
⋯，
根据以上材料解答下列问题：
（1）①方程 x+1x=2+12 的解为 ；
②方程 x−1+1x−1=2+12 的解为 ．
（2）解关于 x 的 方程：x−3x−2=a−3a−2a≠2．

26. （1）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，∠B=∠D=90∘，E，F 分别是边 BC，CD 上的点，且 ∠EAF=12∠BAD．求证：EF=BE+FD；
（2）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，∠B+∠D=180∘，E，F 分别是边 BC，CD 上的点，且 ∠EAF=12∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立?
（3）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，∠B+∠ADC=180∘，E，F 分别是边 BC，CD 延长线上的点，且 ∠EAF=12∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

27. 计算：
（1）3+x+y2；
（2）a+b+7a+b−7；
（3）12m+n−512m−n+5．

28. 在正方形 ABCD 中，点 P 是边 BC 上一个动点，连接 PA，PD，点 M，N 分别为 BC，AP 的中点，连接 MN 交直线 PD 于点 E．
（1）如图 1，当点 P 与点 B 重合时，△EPM 的形状是 ；
（2）当点 P 在点 M 的左侧时，如图 2．
①依题意补全图 2；
②判断 △EPM 的形状，并加以证明．
答案
第一部分
1. D
2. B【解析】A选项：3a3⋅2a2=6a3+2=6a5，故A选项不正确；
B选项：2x2⋅3x2=6x2+2=6x4，故B选项正确；
C选项：3x2⋅4x2=12x2+2=12x4，故C选项不正确；
D选项：5y3⋅3y5=15y3+5=15y8，故D选项不正确．
3. B【解析】A、 13=33，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、 30 是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、 0.3=3010，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、 20=25，不是最简二次根式，故本选项不符合题意．
4. D【解析】x，y 都扩大 3 倍，故 原式=2×3x3x+3y=6x3x+y=2xx+y，故分式的值不变．
5. A
【解析】∵ 点 A，点 B 关于 y 轴对称，点 A 的坐标是 2,−8，
∴ 点 B 的坐标是 −2,−8．
6. B【解析】A. ab−ab2+b=ba−ab+1，能因式分解，不符合题意；
B. a2+9 不能因式分解，符合题意；
C. a2−4b2=a+2ba−2b，能因式分解，不符合题意；
D. 2a2+12a+18=2a+32，能因式分解，不符合题意．
7. D【解析】本题考查了基本作图，根据题意，判断出题目实质是作一个角等于已知角是解题的关键．
8. A【解析】∵ 将 △BCD 绕点 B 逆时针旋转 60∘，得到 △BAE，
∴BD=BE，CD=AE，∠DBE=60∘，
∴△BDE 是等边三角形，
∴DE=BD=BE=9，
∵△ABC 是等边三角形，
∴BC=AC=10，
∵△ADE 的周长 =AE+AD+DE=AD+CD+DE=AC+BD，
∴△ADE 的周长 =19．
第二部分
9. 4×10−4
10. −2
【解析】由分式的值为零的条件得 x2−4=0，2x−4≠0，
由 x2−4=0，得 x=2 或 x=−2，
由 2x−4≠0，得 x≠2，
综上，得 x=−2．
11. 12
【解析】当边长为 2 的边是等腰三角形的底边时，三边的长度分别为 2，5，5，符合组成三角形的条件，则三角形的周长为 2+5+5=12；
当边长为 2 的边是等腰三角形的腰时，三边的长度分别为 2，2，5，不符合组成三角形的条件．
12. ±14
13. 12000x+90001.5x=150
14. 14
15. −3
【解析】由二次根式有意义的条件得 x−12≥0,12−x≥0, 解得 x=12，代入 y=x−12+12−x−6 得 y=−6，所以 xy=12×−6=−3．
16. 1
【解析】分式方程去分母后得 2x−2+1−kx=−1．
由分式方程有增根，可得增根为 x=2．
代入上述整式方程，可得 k=1．
第三部分
17. 设 2016 年A型车每辆销售价 x 元，
根据题意得
32000x−400=40000x,
解得
x=2000,
经检验，x=2000 是所列方程的解，且符合题意．
答：2016 年A型车每辆销售价 2000 元．
18. （1） CB=CD
【解析】添加的条件是 CB=CD，
故答案为：CB=CD；
（2） ∵AB=AD，CB=CD，
∴AC 垂直平分 BD，
∴AC⊥BD．
19. 原式=1+9−2+2−1=9.
20. ∵∠BCE=∠ACD=90∘，
∴∠BCE−∠ACE=∠ACD−∠ACE，即 ∠ACB=∠DCE．
在 △ABC 和 △DEC 中，
∠ACB=∠DCE,∠BAC=∠D,BC=EC,
∴△ABC≌△DECAAS．
21. （1）
2x=3x−2,
方程两边乘 xx−2，得
2x−2=3x,
解得
x=−4.
检验：当 x=−4 时，xx−2≠0．
所以，原分式方程的解为 x=−4．
（2）
34−x+2=1−xx−4,
方程两边乘 x−4，得
−3+2x−4=1−x,
解得
x=4.
检验：当 x=4 时，x−4=0，
因此 x=4 不是原分式方程的解，
所以，原分式方程无解．
22. 原式=b−aab⋅aba+ba−b=−1a+b.
当 a=2+1，b=2−1 时，
原式=−12+1+2−1=−122=−24.
23. （1） 如图，△A1B1C1 即为所求．
（2） 1,−1
（3） 132
【解析】S=3×5−12×1×5−12×2×3−12×2×3=132．
（4） 如图，连接 BC1 与 y 轴的交点为 P，点 P 即为所求．
24. （1） ①依题意，将图 1 补全：
② AC∥OM．
证明：连接 AP，
∵OA=OP=1，α=60∘，
∴△OAP 是等边三角形，
∴OP=PA，∠OPA=∠OAP=60∘，
∵△PBC 是等边三角形，
∴PB=PC，∠BPC=60∘，
∴∠OPA+∠APB=∠BPC+∠APB，
即 ∠OPB=∠APC，
∴△OBP≌△ACP，
∴∠PAC=∠O=60∘，
∴∠OPA=∠PAC，
∴AC∥OM．
（2） 变化．夹角为 45 度．
25. （1） ① x1=2，x2=12；
② x1=3，x2=32
（2） 两边同时减 2 变形为 x−2−3x−2=a−2−3a−2，
解得：x−2=a−2 或 x−2=−3a−2，
即 x1=a，x2=2a−7a−2．
26. （1） 延长 EB 到 G，使 BG=DF，连接 AG．
在 △ABG 和 △ADF 中，
AB=AD,∠ABG=∠ADF=90∘,BG=DF,
∴ △ABG≌△ADF．
∴ AG=AF，∠1=∠2．
∴ ∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=12∠BAD．
∴ ∠GAE=∠EAF．
在 △AEG 和 △AEF 中，
AE=AE,∠GAE=∠EAF,AG=AF,
∴ △AEG≌△AEF．
∴ EG=EF．
∵ EG=BE+BG，
∴ EF=BE+FD．
（2） （1）中的结论 EF=BE+FD 仍然成立．
（3） 结论 EF=BE+FD 不成立，应当是 EF=BE−FD．
证明：在 BE 上截取 BG，使 BG=DF，连接 AG．
∵ ∠B+∠ADC=180∘，∠ADF+∠ADC=180∘，
∴ ∠B=∠ADF．
在 △ABG 和 △ADF 中，
AB=AD,∠ABG=∠ADF,BG=DF,
∴ △ABG≌△ADF．
∴ ∠BAG=∠DAF，AG=AF．
∴ ∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=12∠BAD．
∴ ∠GAE=∠EAF．
在 △AEG 和 △AEF 中，
AE=AE,∠GAE=∠EAF,AG=AF,
∴ △AEG≌△AEF．
∴ EG=EF．
∵ EG=BE−BG，
∴ EF=BE−FD．
27. （1） 原式=3+x+y2=3+x2+2y3+x+y2=9+6x+x2+6y+2xy+y2.
（2） 原式=a+b+7a+b−7=a+b2−72=a2+2ab+b2−49.
（3） 原式=12m+n−512m−n−5=12m2−n−52=14m2−n2−10n+25=14m2−n2+10n−25.
28. （1） 等腰直角三角形
（2） ①补全图形，如图 3所示．
② △EPM 的形状是等腰三角形．
在 MC 上截取 MF，使 MF=PM，连接 AF，
如图 4 所示．
因为 N 是 AP 的中点，PM=MF，
所以 MN 是 △APF 的中位线．
所以 MN∥AF．
所以 ∠1=∠2．
因为 M 是 BC 的中点，PM=MF，
所以 BM+MF=CM+PM．
即 BF=PC．
因为四边形 ABCD 是正方形，
所以 ∠B=∠C=90∘，AB=DC．
所以 △ABF≌△DCP．
所以 ∠2=∠3．
所以 ∠1=∠3．
所以 EP=EM．
所以 △EPM 是等腰三角形．
【解析】（或）取 PD 的中点 F，连接 NF，FC．如图 5 所示，
可证四边形 MCFN 是平行四边形，从而得 ∠1=∠2．再证 ∠2=∠3，等量代换得 ∠1=∠3．