2021年北京大兴区大兴三中（初中部）八年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京大兴区大兴三中（初中部）八年级上期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 如果分式 x+2x−3 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是
A. x≠3B. x>3C. x≥3D. x<3

2. 下列各式中，最简二次根式是
A. 0.2B. 18C. x2+1D. x2

3. 计算 −2ab3 的结果是
A. −2a3b3B. −6a3b3C. −8a3b3D. 8a3b3

4. 一个等腰三角形的两边长分别是 2 和 5，则它的周长为
A. 7B. 9C. 12D. 9 或 12

5. 若分式 a⋅ba−b 中的 a，b 都同时扩大 10 倍，则该分式的值
A. 不变B. 扩大 10 倍C. 缩小 10 倍D. 扩大 100 倍

6. 下列运算错误的是
A. −32=3B. 3×2=6C. 6÷3=2D. 3+2=5

7. 若 m=13，估计 m 的值所在的范围是
A. 0
8. 如图，AB+AC=9，D 是 AB 上一点，若点 D 在 BC 的垂直平分线上，则 △ACD 的周长为
A. 7B. 9C. 11D. 13

9. 用矩形纸片折出直角的平分线，下列折法正确的是
A. B.
C. D.

10. 下列事件中必然事件的是
A. 任意买一张电影票，座位号是偶数
B. 正常情况下，将水加热到 100∘C 时水会沸腾
C. 三角形的内角和是 360∘
D. 打开电视机，正在播动画片

11. 对于命题：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含；②如果一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离．
下列判断正确的是
A. ①是真命题，②是假命题B. ①是假命题，②是真命题
C. ①、②都是真命题D. ①、②都是假命题

12. 在 △ABC 中，若 ∠B+∠C=90∘，则
A. BC=AB+ACB. AC2=AB2+BC2
C. AB2=AC2+BC2D. BC2=AB2+AC2

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 如图，在 △ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=20∘，则 ∠C= ．

14. 如图，结合数轴上的两点 a，b，化简 a2−a−b2 的结果是 ．

15. 如图，在 Rt△ACB 中，∠C=90∘，AB=4，AC=2，现操作如下：过点 C 作 CP1⊥AB 于点 P1，得到 Rt△CP1B，过点 P1 作 P1P2⊥CB 于点 P2，得到 Rt△P1P2B，按照相同的方法一直操作下去，则 P1P2= ；PnPn+1= ．

16. 若分式 x2−9x+3 的值为 0，则 x= ．

17. 在式子① −2，② −32，③ x+1x>−1，④ 2a−12，⑤ 34，⑥ a2+b2 中，是二次根式的有 （填写序号）．

18. 如图，在 △ABC 中，∠CAB=90∘，AB=AC，DE 经过 A 点，且 CE⊥ED，BD⊥ED．若 CE=5，BD=1，则 ED= ．

三、解答题（共14小题；共182分）
19. 计算：π−3.140+∣3−2∣−48+13−2．

20. 已知 x2+2x−8=0，求代数式 1x2−1÷x+1x2−2x+1−1x+1 的值．

21. 如图，电信部门要在两条公路之间及海岸线围成的 S 区域内修建一座电视信号发射塔 P，按照设计要求，发射塔 P 到区域 S 内的两个城镇 A，B 的距离必须相等，到两条公路的距离也必须相等．发射塔 P 建在什么位置?
（1）在图中用尺规作图的方法作出它的位置并标出（不写作法但保留作图痕迹）．
（2）简单说明你作图的依据．

22. b3n−1c3a2n+1⋅a2nb3n−2．

23. 甲口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为 2 和 5，乙口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为 4 和 9，丙口袋中装有三个相同的小球，它们的标号分别为 1，6，7．从这 3 个口袋中各随机取出一个小球．
（1）用树形图表示所有可能出现的结果；
（2）若用取出的三个小球的标号分别表示三条线段的长，求这些线段能构成三角形的概率．

24. 计算
（1）27−12+13；
（2）−22+105−13×6

25. 11−x+11+x+21+x2+41+x4 ．

26. 解方程：x+1x−1−4x2−1=1．

27. 学校美术社团为学生外出写生配备如图①所示的折叠凳，图②是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿 AB 和 CD 的长度相等，O 是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度 AD 设计为 36 cm，由以上信息能求出 CB 的长度吗?如果能，请求出 CB 的长度；如果不能，请说明理由．

28. 如图，在 △ABC 中，∠B=∠C，D 为 BC 边上一点，E 点在 AC 边上，∠ADE=∠AED，若 ∠BAD=24∘，求 ∠CDE 的度数．

29. 为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的 1200 件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 10 天；
信息二：乙工厂每天加工产品的数量是甲工厂每天加工产品数量的 1.5 倍．
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品?

30. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，点 M，N 分别在 BC，AB 上，将矩形 ABCD 沿 MN 折叠，设点 B 的对应点是点 E．
（1）若点 E 在 AD 边上，BM=72，求 AE 的长；
（2）若点 E 在对角线 AC 上，请直接写出 AE 的取值范围： ．

31. 解下列不等式组：
（1）2x−72.
（2）x−1≤1,2x−x−1≥5.
（3）13x<12x−1,3x+2<4x−1.

32. 我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．
（1）如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 上，设 CD，BE 相交于点 O，若 ∠A=60∘，∠DCB=∠EBC=12∠A，请你写出图中一个与 ∠A 相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形?
（2）在 △ABC 中，如果 ∠A 是不等于 60∘ 的锐角，点 D，E 分别在 AB，AC 上，且 ∠DCB=∠EBC=12∠A．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．
答案
第一部分
1. A【解析】因为分式 x+2x−3 在实数范围内有意义，所以 x−3≠0，则 x 的取值范围是：x≠3．
2. C【解析】A、 0.2=55，故 0.2 不是最简二次根式，本选项错误；
B、 18=32，故 18 不是最简二次根式，本选项错误；
C、 x2+1 是最简二次根式，本选项正确；
D、 x2=∣x∣，故 x2 不是最简二次根式，本选项错误．
3. C【解析】原式=−2a3b3=−8a3b3.
4. C
5. B
【解析】10a⋅10b10a−10b=100ab10a−b=10×aba−b，
∴ 该分式的值扩大了 10 倍．
6. D【解析】A、 原式=3，所以A选项的计算正确；
B、 原式=3×2=6，所以B选项的计算正确；
C、 原式=6÷3=2，所以C选项的计算正确；
D、 2 与 3 不能合并，所以D选项的计算错误．
7. D【解析】因为 9<13<16，
所以 9<13<16，
所以 3<13<4，
所以 m 的值所在的范围是：38. B【解析】因为 AB+AC=9，D 是 AB 上一点，点 D 在 BC 的垂直平分线上，
所以 BD=CD，
所以 △ACD 的周长为 AD+CD+AC=AD+BD+AC=AB+AC=9．
9. D
10. B
【解析】A、是随机事件，可能发生也可能不发生，故选项错误；
B、必然事件，故选项正确；
C、是不可能发生的事件，故选项错误；
D、是随机事件，可能发生也可能不发生，故选项错误．
11. A【解析】①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含，是真命题；
②如果第一个圆上的点都在第二个圆的外部，那么这两个圆外离或内含，原命题是假命题．
12. D【解析】∵ 在 △ABC 中，若 ∠B+∠C=90∘，
∴∠A=90∘，
∴BC2=AB2+AC2，
故选：D．
第二部分
13. 40∘
【解析】∵AB=AD，∠BAD=20∘，
∴∠B=12180∘−∠BAD=12180∘−20∘=80∘．
∵∠ADC 是 △ABD 的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80∘+20∘=100∘．
∵AD=DC．
∴∠C=12180∘−∠ADC=12180∘−100∘=40∘．
14. b
【解析】如图所示：a>0，a−b>0，
∴a2−a−b2=a−a−b=b．
15. 32，32n⋅3
【解析】在 Rt△ABC 中，
∵ AB=4，AC=2，
∴ sinB=ACAB=12，
∴ ∠B=30∘，∠A=60∘，
∵ CP1⊥AB，
∴ CP1=ACsinA=2×32=3，∠ACP1=30∘，
∵ P1P2⊥CB，
∴ P1P2∥AC，
∴ ∠CP1P2=∠ACP1=30∘，
∴ P1P2=CP1cs30∘=32×3=32，
∵ P2P3⊥AB，
∴ CP1∥P2P3，
∴ ∠CP1P2=∠P1P2P3=30∘，
∴ P2P3=P1P2cs30∘=32×3×32=322⋅3，
⋯
∴ PnPn+1=32n⋅3．
16. 3
17. ①③④⑥
18. 6
【解析】∵CE⊥ED，BD⊥ED，
∴∠E=∠D=∠CAB=90∘，
∴∠ACE+∠EAC=90∘，∠BAD+∠ABD=90∘，∠EAC+∠BAD=90∘，
∴∠ACE=∠BAD，∠EAC=∠ABD．
在 △AEC 和 △BDA 中，∠EAC=∠DBA,AC=BA,∠ACE=∠BAD,
∴△AEC≌△BDAASA，
∴CE=AD，AE=BD．
∵ED=AD+EA=CE+BD，CE=5，BD=1，
∴ED=5+1=6．
第三部分
19. π−3.140+∣3−2∣−48+13−2=1+2−3−43+9=12−53.
20. 原式=1x+1x−1×x−12x+1−1x+1=x−1x+12−1x+1=x−1x+12−x+1x+12=−2x+12=−2x2+2x+1,
∵x2+2x−8=0，
∴x2+2x=8，
∴原式=−29．
21. （1） 如图所示：
（2） 依据：角平分线上的点到角的两边的距离相等；线段的中垂线上的点到线段两个端点的距离相等．
22. bc3a．
23. （1） 如图所示：

所以共有 12 种可能出现的结果；
（2） 这些线段能够成三角形（记为事件 A）的结果有 4 种：5,4,6；5,4,7；5,9,6；5,9,7，
所以 PA=412=13．
24. （1） 27−12+13=33−23+33=433.
（2） −22+105−13×6=2+2−2=2.
25. 81−x8
【解析】题可采用逐步通分的方法，即先算 11−x+11+x ，用其结果再与 21+x2 相加，依次类推．
26. 去分母，得
x+12−4=x2−1.
去括号，得
x2+2x+1−4=x2−1.
移项合并，得
2x=2.
解得
x=1.
检验：当 x=1 时，x2−1=0，
∴ x=1 是增根，应舍去．
∴ 原分式方程无解．
27. 能求出 CB 的长度．
∵O 是 AB，CD 的中点，
∴OA=OB，OC=OD，
在 △AOD 和 △BOC 中，
OA=OB,∠AOD=∠BOC,OD=OC,
∴△AOD≌△BOCSAS，
∴AD=BC，
∵AD=36 cm，
∴CB=36 cm．
28. ∵∠ADC 是 △ABD 的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+24∘．
∴∠ADE=∠ADC−∠CDE=∠B+24∘−∠CDE．
∵∠AED 是 △CDE 的外角，∠B=∠C，
∴∠AED=∠C+∠CDE=∠B+∠CDE．
∵∠ADE=∠AED，
∴∠B+24∘−∠CDE=∠B+∠CDE．
∴∠CDE=12∘．
29. 设甲工厂每天加工 x 件新产品，则乙工厂每天加工 1.5x 件新产品．依题意，得
1200x−12001.5x=10.
解得
x=40.
经检验，x=40 是所列方程的解，且符合实际问题的意义．
当 x=40 时，1.5x=60．
答：甲、乙两个工厂每天分别能加工新产品 40 件、 60 件．
30. （1） 由题意，△BMN 沿 MN 折叠得到 △EMN，
∴△BMN≌△EMN，
∴EM=BM=72．
过点 M 作 MH⊥AD 交 AD 于点 H，则四边形 ABMH 为矩形，MH=AB=3，AH=BM=72．
Rt△EHM 中，EH=EM2−HM2=722−32=132，
∴AE=7−132．
（2） 1≤AE≤3
【解析】由勾股定理得，AC=5．
点 M 在 C 处时，CE=CB=4，所以 AE=AC−BC=1；
点 N 在 A 处时，AE=AB=3．
31. （1） −1 （2） 无解．
（3） x>10．
32. （1） ∵∠A=60∘，∠DCB=∠EBC=12∠A，
∴∠OBC=∠OCB=30∘，
∴∠BOD=∠COE=∠OBC+∠OCB=30∘+30∘=60∘，
∴ 与 ∠A 相等的角是 ∠BOD，∠COE，
四边形 DBCE 是等对边四边形，证明如下：
如图，作 CG⊥BE 于 G 点，作 BF⊥CD 交 CD 延长线于 F 点．
∴∠BFC=∠CGB=∠CGE=90∘，
∵∠DCB=∠EBC=12∠A，BC=BC，
∴△BCF≌△CBG，
∴BF=CG，
∵∠BDF=∠ABE+∠DOB，∠BEC=∠ABE+∠A，∠A=∠BOD，
∴∠BDF=∠BEC，
又 ∵∠BFD=∠CGE=90∘，BF=CG，
∴△BDF≌△CEG，
∴BD=CE，
∴ 四边形 DBCE 是等对边四边形．
（2） 存在等对边四边形 DBCE，理由如下：
如图，作 CG⊥BE 于 G 点，作 BF⊥CD 交 CD 延长线于 F 点．
∴∠BFC=∠CGB=∠CGE=90∘，
∵∠DCB=∠EBC=12∠A，BC=BC，
∴△BCF≌△CBG，
∴BF=CG，
∵∠DCB=∠EBC=12∠A，
∴∠BOD=∠OBC+∠OCB=12∠A+12∠A=∠A，
∴∠A=∠BOD，
∵∠BDF=∠ABE+∠DOB，∠BEC=∠ABE+∠A，
∴∠BDF=∠BEC，
又 ∵∠BDF=∠CGE=90∘，BF=CG，
∴△BDF≌△CEG，
∴BD=CE，
∴ 四边形 DBCE 是等对边四边形．