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2021年北京丰台区北京教育学院丰台分院七年级下期末数学试卷
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这是一份2021年北京丰台区北京教育学院丰台分院七年级下期末数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题；共50分）
1. PM2.5 也称为可入肺颗粒物，是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物．2.5 微米等于 0.0000025 米，把 0.0000025 用科学记数法表示为
A. 2.5×106B. 0.25×10−5C. 25×10−7D. 2.5×10−6
2. 已知 aA. 12a<12bB. −2a<−2bC. a−3>b−3D. a+4>b+4
3. 下列计算正确的是
A. 2a+3a=6aB. a2+a3=a5C. a8÷a2=a6D. a34=a7
4. x=1,y=3 是二元一次方程 2x+ay=5 的一个解，则 a 的值为
A. 1B. 13C. 3D. −1
5. 下列因式分解正确的是
A. x+2x−2=x2−4B. x2−2x+1=x−12
C. a2−2a+2=a−12+1D. 4a2−8a=2a2a−4
6. 小文统计了本班同学一周的体育锻练情况，并绘制了直方图．
①小文同学一共统计了 60 人；
②这个班同学一周参加体育锻炼时间的众数是 8；
③这个班同学一周参加体育锻炼时间的中位数是 9；
④这个班同学一周参加体育锻炼时间的平均值为 8．
根据图中信息，上述说法中正确的是
A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④
7. 某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如表：
一户居民每月用电量x单位:度电费价格单位:元/度04000.78
七月份是用电高峰期，李叔计划七月份电费支出不超过 200 元，直接写出李叔家七月份最多可用电的度数是
A. 100 度B. 396 度C. 397 度D. 400 度
8. 在不等式 2+x3<2x−15 的变形中，错误的步骤是
A. 52+x<32x−1B. 10+5x<6x−3
C. 5x−6x<−3−10D. x<13
9. 如图所示，直线 a，b 被直线 c 所截，下列说法正确的是
A. 当 ∠1=∠2 时，一定有 a∥b
B. 当 a∥b 时，一定有 ∠1=∠2
C. 当 a∥b 时，一定有 ∠1+∠2=90∘
D. 当 ∠1+∠2=180∘ 时，一定有 a∥b
10. 文文设计了一个关于实数运算的程序，按此程序，输入一个数后，输出的数比输入的数的平方小 1，若输入 7，则输出的结果为
A. 5B. 6C. 7D. 8
二、填空题（共6小题；共30分）
11. 如图，在 △ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=20∘，则 ∠C= ．
12. 一个角的补角等于这个角的 3 倍，则这个角的度数为 ．
13. 已知 x，y 是有理数，且 x2+2x+y2−6y+10=0，则 xy= ．
14. 两个同样的直角三角板如图所示摆放，使点 F，B，E，C 在一条直线上，则有 DF∥AC，理由是 ．
15. 《 九章算术 》 是中国古代的数学专著，下面这道题是 《 九章算术 》 中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何?”译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出 8 钱，则多了 3 钱；如果每人出 7 钱，则少了 4 钱．问有多少人，物品的价格是多少?”设有 x 人，物品价格为 y 钱，可列方程组为 ．
16. 在日常生活中，如用银行的 ATM 机取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码方便记忆．例如对于多项式 x3y2+6xy3，因式分解的结果是 xy2x2+6y，若取 x=9，y=9 时，x=9，y2=81，x2+6y=135，于是可以把“981135”作为一个密码．对于多项式 4x3−xy2，因式分解的结果是 x2x+y2x−y．如果取 x=10，y=10，用上述方法产生的密码是 ．（写出一个即可）
三、解答题（共10小题；共130分）
17. 计算：−12017+π−3.140+12−2−32．
18. 完成下面的证明：
如图，已知 DE∥BC，∠DEB=∠GFC，试说明 BE∥FG．
解：∵ DE∥BC，
∴ ∠DEB= （ ）．
∵ ∠DEB=∠GFC，
∴ =∠GFC（ ）．
∴ BE∥FG（ ）．
19. 解方程组 x+2y=3,2x−3y=13.
20. 解不等式组 3x−1<5x+1,x−12≥2x−4, 并求出它的非负整数解．
21. 某单位有职工 200 人，其中青年职工（20∼35 岁），中年职工（35∼50 岁），老年职工（50 岁及以上）所占比例如扇形统计图所示．
为了解该单位职工的健康情况，小张、小王和小李各自对单位职工进行了抽样调查，将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表 1 、表 2 和表 3．根据上述材料回答问题：
表 1：小张抽样调查单位 3 名职工的健康指数
年龄264257健康指数977972
表 2：小王抽样调查单位 10 名职工的健康指数
年龄23252632333739424852健康指数93899083797580696860
表 3：小李抽样调查单位 10 名职工的健康指数
年龄22293136394043465155健康指数94908885827872766260
（1）扇形统计图中老年职工所占部分的圆心角度数为 ；
（2）小张、 小王和小李三人中， 的抽样调查的数据能够较好地反映出该单位职工健康情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处．
22. 已知：如图，DE 平分 ∠BDF，∠A=12∠BDF，DE⊥BF，求证：AC⊥BF．
23. 列方程组解应用题
新年联欢会上，同学们组织了猜谜活动，并采取每答对一题得分，每答错一题扣分记分方法．王强答对 7 道题，答错 3 道题共获得 50 分；李想答对 8 道题，答错 1 道题，共获得 62 分．问答对一题得多少分，答错一题扣多少分．
24. 阅读下面材料：
通过整式运算一章的学习，我们发现要验证一个结论的正确性可以有两种方法：
例如：要验证结论 a+b2−a−b2=4ab，
方法 1：几何图形验证：如图，我们可以将一个边长为 a+b 的正方形上裁去一个边长为 a−b 的小正方形，则剩余图形的面积为 4ab，验证该结论正确．
方法 2：代数法验证：
等式左边=a+b2−a−b2=a2+2ab+b2−a2−2ab+b2=a2+2ab+b2−a2+2ab−b2=4ab,
所以，左边 = 右边，结论成立．
观察下列各式：
22−12=2×1+1，
32−22=2×2+1，
42−32=2×3+1，
⋯⋯
（1）按规律，请写出第 n 个等式 ；
（2）试分别用两种方法验证这个结论的正确性．
25. 学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．
（1）小明遇到了下面的问题：如图 1，l1∥l2，点 P 在 l1，l2 内部，探究 ∠A，∠APB，∠B 的关系．小明过点 P 作 l1 的平行线，可证 ∠APB，∠A，∠B 之间的数量关系是：∠APB= ．
（2）如图 2，若 AC∥BD，点 P 在 AC，BD 外部，∠A，∠B，∠APB 的数量关系是否发生变化?
请你补全下面的证明过程．
过点 P 作 PE∥AC．
∴∠A= ．
∵AC∥BD，
∴ ∥ ．
∴∠B= ．
∵∠BPA=∠BPE−∠EPA，
∴ ．
（3）随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途．试构造平行线解决以下问题：
已知：如图 3，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180∘．
26. 先化简，再求值：1+x1−x+xx+2−1，其中 x=12．
答案
第一部分
1. D
2. A
3. C
4. A
5. B
6. B
7. B【解析】0.48×200+0.53×200=96+106=202（元），
故七月份电费支出不超过 200 元时，电费不超过 400 度，
依题意有 0.48×200+0.53x−200≤200，
解得 x≤3961253．
答：李叔家七月份最多可用电的度数是 396 度．
8. D
9. D
10. B
第二部分
11. 40∘
【解析】∵AB=AD，∠BAD=20∘，
∴∠B=12180∘−∠BAD=12180∘−20∘=80∘．
∵∠ADC 是 △ABD 的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80∘+20∘=100∘．
∵AD=DC．
∴∠C=12180∘−∠ADC=12180∘−100∘=40∘．
12. 45∘
13. −1
14. 内错角相等两直线平行或（垂直于同一条直线的两直线平行）
【解析】由题可得：△ABC≌△DEF，
∴∠C=∠F．
又点 C，E，B，F 在一条直线上，
∴DF∥AC．
15. 8x−3=y,7x+4=y.
【解析】由题意可得，8x−3=y,7x+4=y.
16. 答案不唯一，如 103010
第三部分
17. −12017+π−3.140+12−2−32=−1+1+4−9=−5.
18. ∠EBC；两直线平行内错角相等；∠EBC；等量代换；同位角相等两直线平行
19. 解方程组
x+2y=3, ⋯⋯①2x−3y=13, ⋯⋯②①×2−②
得
7y=−7.
得
y=−1.
将 y=−1 代入 ① 得：
x=5.
所以方程组的解为
x=5,y=−1.
20.
3x−1<5x+1, ⋯⋯①x−12≥2x−4, ⋯⋯②
解不等式 ①，得
x>−2.
解不等式 ②，得
x≤73,∴
原不等式组的解集是
−2 原不等式组的非负整数解为 0，1，2．
21. （1） 72∘
（2） 小李；
小张的抽样调查的数据只有 3 个，样本容量太少．
小王的抽样调查的数据主要集中在中青年职工，样本不够全面．
22.
∵DE⊥BF，
∴∠2=90∘．
∵DE 平分 ∠BDF，
∴∠1=12∠BDF．
∵∠A=12∠BDF，
∴∠A=∠1，
∴DE∥AC，
∴∠3=∠2=90∘，
∴AC⊥BF．
23. 设答对一道题得 x 分，答错一道题扣 y 分．
7x−3y=50,8x−y=62,
解得：
x=8,y=2.
答：答对道题得 8 分，答错一道题扣 2 分．
24. （1） n+12−n2=2n+1
（2） 法 1：
法 2：
等式左边=n+12−n2=n2+2n+1−n2=2n+1,
所以，左边 = 右边，结论成立．
25. （1） ∠A+∠B
（2） 会发生变化．
∠EPA；PE；BD；∠EPB；∠APB=∠B−∠A
（3） 方法不唯一，
证明：过点 A 作 MN∥BC，如图．
∴∠B=∠1，∠C=∠2．
∵∠BAC+∠1+∠2=180∘，
∴∠BAC+∠B+∠C=180∘．
26. 原式=1−x2+x2+2x−1=2x,
当 x=12 时，
原式=2×12=1．
一、选择题（共10小题；共50分）
1. PM2.5 也称为可入肺颗粒物，是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物．2.5 微米等于 0.0000025 米，把 0.0000025 用科学记数法表示为
A. 2.5×106B. 0.25×10−5C. 25×10−7D. 2.5×10−6
2. 已知 a
3. 下列计算正确的是
A. 2a+3a=6aB. a2+a3=a5C. a8÷a2=a6D. a34=a7
4. x=1,y=3 是二元一次方程 2x+ay=5 的一个解，则 a 的值为
A. 1B. 13C. 3D. −1
5. 下列因式分解正确的是
A. x+2x−2=x2−4B. x2−2x+1=x−12
C. a2−2a+2=a−12+1D. 4a2−8a=2a2a−4
6. 小文统计了本班同学一周的体育锻练情况，并绘制了直方图．
①小文同学一共统计了 60 人；
②这个班同学一周参加体育锻炼时间的众数是 8；
③这个班同学一周参加体育锻炼时间的中位数是 9；
④这个班同学一周参加体育锻炼时间的平均值为 8．
根据图中信息，上述说法中正确的是
A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④
7. 某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如表：
一户居民每月用电量x单位:度电费价格单位:元/度0
七月份是用电高峰期，李叔计划七月份电费支出不超过 200 元，直接写出李叔家七月份最多可用电的度数是
A. 100 度B. 396 度C. 397 度D. 400 度
8. 在不等式 2+x3<2x−15 的变形中，错误的步骤是
A. 52+x<32x−1B. 10+5x<6x−3
C. 5x−6x<−3−10D. x<13
9. 如图所示，直线 a，b 被直线 c 所截，下列说法正确的是
A. 当 ∠1=∠2 时，一定有 a∥b
B. 当 a∥b 时，一定有 ∠1=∠2
C. 当 a∥b 时，一定有 ∠1+∠2=90∘
D. 当 ∠1+∠2=180∘ 时，一定有 a∥b
10. 文文设计了一个关于实数运算的程序，按此程序，输入一个数后，输出的数比输入的数的平方小 1，若输入 7，则输出的结果为
A. 5B. 6C. 7D. 8
二、填空题（共6小题；共30分）
11. 如图，在 △ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=20∘，则 ∠C= ．
12. 一个角的补角等于这个角的 3 倍，则这个角的度数为 ．
13. 已知 x，y 是有理数，且 x2+2x+y2−6y+10=0，则 xy= ．
14. 两个同样的直角三角板如图所示摆放，使点 F，B，E，C 在一条直线上，则有 DF∥AC，理由是 ．
15. 《 九章算术 》 是中国古代的数学专著，下面这道题是 《 九章算术 》 中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何?”译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出 8 钱，则多了 3 钱；如果每人出 7 钱，则少了 4 钱．问有多少人，物品的价格是多少?”设有 x 人，物品价格为 y 钱，可列方程组为 ．
16. 在日常生活中，如用银行的 ATM 机取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码方便记忆．例如对于多项式 x3y2+6xy3，因式分解的结果是 xy2x2+6y，若取 x=9，y=9 时，x=9，y2=81，x2+6y=135，于是可以把“981135”作为一个密码．对于多项式 4x3−xy2，因式分解的结果是 x2x+y2x−y．如果取 x=10，y=10，用上述方法产生的密码是 ．（写出一个即可）
三、解答题（共10小题；共130分）
17. 计算：−12017+π−3.140+12−2−32．
18. 完成下面的证明：
如图，已知 DE∥BC，∠DEB=∠GFC，试说明 BE∥FG．
解：∵ DE∥BC，
∴ ∠DEB= （ ）．
∵ ∠DEB=∠GFC，
∴ =∠GFC（ ）．
∴ BE∥FG（ ）．
19. 解方程组 x+2y=3,2x−3y=13.
20. 解不等式组 3x−1<5x+1,x−12≥2x−4, 并求出它的非负整数解．
21. 某单位有职工 200 人，其中青年职工（20∼35 岁），中年职工（35∼50 岁），老年职工（50 岁及以上）所占比例如扇形统计图所示．
为了解该单位职工的健康情况，小张、小王和小李各自对单位职工进行了抽样调查，将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表 1 、表 2 和表 3．根据上述材料回答问题：
表 1：小张抽样调查单位 3 名职工的健康指数
年龄264257健康指数977972
表 2：小王抽样调查单位 10 名职工的健康指数
年龄23252632333739424852健康指数93899083797580696860
表 3：小李抽样调查单位 10 名职工的健康指数
年龄22293136394043465155健康指数94908885827872766260
（1）扇形统计图中老年职工所占部分的圆心角度数为 ；
（2）小张、 小王和小李三人中， 的抽样调查的数据能够较好地反映出该单位职工健康情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处．
22. 已知：如图，DE 平分 ∠BDF，∠A=12∠BDF，DE⊥BF，求证：AC⊥BF．
23. 列方程组解应用题
新年联欢会上，同学们组织了猜谜活动，并采取每答对一题得分，每答错一题扣分记分方法．王强答对 7 道题，答错 3 道题共获得 50 分；李想答对 8 道题，答错 1 道题，共获得 62 分．问答对一题得多少分，答错一题扣多少分．
24. 阅读下面材料：
通过整式运算一章的学习，我们发现要验证一个结论的正确性可以有两种方法：
例如：要验证结论 a+b2−a−b2=4ab，
方法 1：几何图形验证：如图，我们可以将一个边长为 a+b 的正方形上裁去一个边长为 a−b 的小正方形，则剩余图形的面积为 4ab，验证该结论正确．
方法 2：代数法验证：
等式左边=a+b2−a−b2=a2+2ab+b2−a2−2ab+b2=a2+2ab+b2−a2+2ab−b2=4ab,
所以，左边 = 右边，结论成立．
观察下列各式：
22−12=2×1+1，
32−22=2×2+1，
42−32=2×3+1，
⋯⋯
（1）按规律，请写出第 n 个等式 ；
（2）试分别用两种方法验证这个结论的正确性．
25. 学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．
（1）小明遇到了下面的问题：如图 1，l1∥l2，点 P 在 l1，l2 内部，探究 ∠A，∠APB，∠B 的关系．小明过点 P 作 l1 的平行线，可证 ∠APB，∠A，∠B 之间的数量关系是：∠APB= ．
（2）如图 2，若 AC∥BD，点 P 在 AC，BD 外部，∠A，∠B，∠APB 的数量关系是否发生变化?
请你补全下面的证明过程．
过点 P 作 PE∥AC．
∴∠A= ．
∵AC∥BD，
∴ ∥ ．
∴∠B= ．
∵∠BPA=∠BPE−∠EPA，
∴ ．
（3）随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途．试构造平行线解决以下问题：
已知：如图 3，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180∘．
26. 先化简，再求值：1+x1−x+xx+2−1，其中 x=12．
答案
第一部分
1. D
2. A
3. C
4. A
5. B
6. B
7. B【解析】0.48×200+0.53×200=96+106=202（元），
故七月份电费支出不超过 200 元时，电费不超过 400 度，
依题意有 0.48×200+0.53x−200≤200，
解得 x≤3961253．
答：李叔家七月份最多可用电的度数是 396 度．
8. D
9. D
10. B
第二部分
11. 40∘
【解析】∵AB=AD，∠BAD=20∘，
∴∠B=12180∘−∠BAD=12180∘−20∘=80∘．
∵∠ADC 是 △ABD 的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80∘+20∘=100∘．
∵AD=DC．
∴∠C=12180∘−∠ADC=12180∘−100∘=40∘．
12. 45∘
13. −1
14. 内错角相等两直线平行或（垂直于同一条直线的两直线平行）
【解析】由题可得：△ABC≌△DEF，
∴∠C=∠F．
又点 C，E，B，F 在一条直线上，
∴DF∥AC．
15. 8x−3=y,7x+4=y.
【解析】由题意可得，8x−3=y,7x+4=y.
16. 答案不唯一，如 103010
第三部分
17. −12017+π−3.140+12−2−32=−1+1+4−9=−5.
18. ∠EBC；两直线平行内错角相等；∠EBC；等量代换；同位角相等两直线平行
19. 解方程组
x+2y=3, ⋯⋯①2x−3y=13, ⋯⋯②①×2−②
得
7y=−7.
得
y=−1.
将 y=−1 代入 ① 得：
x=5.
所以方程组的解为
x=5,y=−1.
20.
3x−1<5x+1, ⋯⋯①x−12≥2x−4, ⋯⋯②
解不等式 ①，得
x>−2.
解不等式 ②，得
x≤73,∴
原不等式组的解集是
−2
21. （1） 72∘
（2） 小李；
小张的抽样调查的数据只有 3 个，样本容量太少．
小王的抽样调查的数据主要集中在中青年职工，样本不够全面．
22.
∵DE⊥BF，
∴∠2=90∘．
∵DE 平分 ∠BDF，
∴∠1=12∠BDF．
∵∠A=12∠BDF，
∴∠A=∠1，
∴DE∥AC，
∴∠3=∠2=90∘，
∴AC⊥BF．
23. 设答对一道题得 x 分，答错一道题扣 y 分．
7x−3y=50,8x−y=62,
解得：
x=8,y=2.
答：答对道题得 8 分，答错一道题扣 2 分．
24. （1） n+12−n2=2n+1
（2） 法 1：
法 2：
等式左边=n+12−n2=n2+2n+1−n2=2n+1,
所以，左边 = 右边，结论成立．
25. （1） ∠A+∠B
（2） 会发生变化．
∠EPA；PE；BD；∠EPB；∠APB=∠B−∠A
（3） 方法不唯一，
证明：过点 A 作 MN∥BC，如图．
∴∠B=∠1，∠C=∠2．
∵∠BAC+∠1+∠2=180∘，
∴∠BAC+∠B+∠C=180∘．
26. 原式=1−x2+x2+2x−1=2x,
当 x=12 时，
原式=2×12=1．
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