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2021年北京顺义区北京鼎石国际学校七年级下期末数学试卷
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这是一份2021年北京顺义区北京鼎石国际学校七年级下期末数学试卷，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 一个不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组的解集是
A. −1−1D. x≤2
2. 墨迹覆盖了等式“（x≠0）”中的运算符号，则覆盖的是
A. +B. −C. ×D. ÷
3. 已知 1 纳米 =0.000000001 米，则 26 纳米用科学记数法表示为
A. 2.6×10−9 米B. 2.6×10−8 米C. 2.6×10−10 米D. 2.6×108 米
4. ∠AOB+∠BOC=180∘，又 ∠BOC 与 ∠COD 互补，那么 ∠AOB 与 ∠COD 的关系
A. 互余B. 互补C. 相等D. 不能确定
5. 若关于 x 的不等式 m−1x>m−1 的解集是 x<1，则 m 的取值范围是
A. m>1B. m≥−1C. m<1D. m≤1
6. 若不等式组 2x−1>3,x≤a 的整数解共有三个，则 a 的取值范围是
A. 5≤a<6B. 5
7. 方程组 3x+2y=7,6x−2y=11 的解是
A. x=−1,y=5B. x=1,y=2C. x=3,y=−1D. x=2,y=12
8. 下列四个多项式中，不能因式分解的是
A. ab−ab2+bB. a2+9C. a2−4b2D. 2a2+12a+18
9. 下列运算正确的是
A. a+2a=3a2B. a2⋅a3=a5
C. ab3=ab3D. −a32=−a6
10. 不论 a，b 为何实数，a2+b2−2a−4b+8 的值
A. 总是正数B. 总是负数C. 可以是零D. 是正数或负数
二、填空题（共10小题；共50分）
11. 如图，直线 AD，BC 被 AC 所截，∠ 与 ∠ 是内错角. ∠1 与 ∠4 是直线 ， 被 所截构成的内错角.
12. 分解因式：
（1）x2+6x+9= ．
（2）m2−8m+16= ．
（3）a2−23a+19= ．
（4）36+12y+y2= ．
13. 已知二元一次方程 3x+y=10．
（1）用含 x 的代数式表示 y： ．
（2）用含 y 的代数式表示 x： ．
（3）写出这个方程的三个解：
① x=2,y= ; ② x=−13,y= ; ③ x= ,y=2.
14. 已知 2x6y2 和 −13x3myn 是同类项，则 m−n 的值是 ．
15. 《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人和车各几何?”其大意是：今有若干人乘车，每 3 人乘一车，最终剩余 2 辆空车；若每 2 人同乘一车，最终剩下 9 人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车?设有 x 辆车，y 个人，根据题意，可列方程组为 ．
16. 根据图①到图②的变化过程可以写出一个整式的乘法公式，这个公式是 ．
17. 方程组 x+y=5,2x+y=8 的解是 ．
18. 如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有 3 个菱形，第②个图形中一共有 7 个菱形，第③个图形中一共有 13 个菱形，⋯，按此规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为 ．
19. 某种型号汽车每行驶 100 km 耗油 10 L，其油箱容量为 40 L．为了有效延长汽车使用寿命，厂家建议每次加油时油箱内剩余油量不低于油箱容量的 18，按此建议，一辆加满油的该型号汽车最多行驶的路程是 km．
20. 已知关于 x 的不等式组 x−a>0,1−x>0 的整数解共有 3 个，则 a 的取值范围是 ．
三、解答题（共12小题；共156分）
21. 计算：−a3−2⋅−a−3−2．
22. 解不等式：23x+6>1−x，并在数轴上表示解集．
23. 解方程组 2x+4y=5,x=1−y.
24. 过点 P 作 AB 的垂线，垂足为 C．
25. 先化简，再求值：3a2−ab−212a2−3ab，其中 a=−2，b=3．
26. 计算：a3⋅a5+3a42÷a2．
27. 完成下面的证明：
已知：如图，AB∥CD，AD 和 BC 交于点 O，E 为 OA 上一点，作 ∠AEF=∠AOB，交 AB 于点 F．
求证：∠EFA=∠C．
证明：∵∠AEF=∠AOB．
∴ ∥ （ ）．
∴∠EFA=∠B．
∵AB∥CD，
∴∠B=∠C ．
∴∠EFA=∠C ．
28. 计算：m+3m+5m+⋯+2021m−2m+4m+6m+⋯+2022m．
29. 先化简，再求值：3x+23x−2+x−22−5xx−1，其中 x=−1．
30. 如图，电讯公司由西向东埋设通讯电缆线，他们从点 A 埋设到点 B 时突然碰到了一个具有研究价值的古墓，不得不改变方向绕开古墓，于是改为沿南偏东 40∘ 方向埋设到点 O，再沿古墓边缘埋设到点 C 处，并测得 ∠BOC=60∘，现已恢复到原来的正东方向，则 ∠OCD 等于多少度?
31. 某中学准备从体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买 4 个足球和 3 个篮球共需 360 元，购买 2 个足球和 5 个篮球共需 390 元．
（1）求购买一个足球、一个篮球各需多少元．
（2）该中学根据实际情况，决定从该体育用品商店一次性购买足球和篮球共 80 个，要求购买足球和篮球的总费用不超过 3990 元，这所中学最多可以购买多少个篮球?
32. 计算下列各题：
（1）a−2b2⋅−3a−3b36a−4b−5；
（2）2x2y22⋅−3x−1y36x−2y−3⋅3x2y3．
答案
第一部分
1. B
2. D
3. B
4. C【解析】因为 ∠AOB+∠BOC=180∘，又 ∠BOC 与 ∠COD 互补，
所以 ∠AOB 与 ∠COD 的关系是相等．
5. C
【解析】∵m−1x>m−1 的解集是 x<1，
∴m−1<0，
∴m<1．
6. A【解析】2x−1>3, ⋯⋯①x≤a. ⋯⋯②
∵ 解不等式 ① 得：x>2，
又 ∵ 不等式组的整数解共有三个，
∴5≤a<6．
7. D【解析】观察方程组可以发现，两个方程中 y 的系数互为相反数，所以可以选择加减消元法，将两个方程相加，消去未知数 y，可解得 x=2，从而求出 y=12．
8. B【解析】A. ab−ab2+b=ba−ab+1，能因式分解，不符合题意；
B. a2+9 不能因式分解，符合题意；
C. a2−4b2=a+2ba−2b，能因式分解，不符合题意；
D. 2a2+12a+18=2a+32，能因式分解，不符合题意．
9. B
10. A
【解析】a2+b2−2a−4b+8=a2−2a+1+b2−4b+4+3=a−12+b+22+3,
∵ a−12≥0，b+22≥0，
∴ a−12+b+22+3≥3，
则不论 a，b 为何实数，式子 a2+b2−2a−4b+8 的值总不小于 3．
第二部分
11. 2，3，AB，CD，AC
12. x+32，m−42，a−132，6+y2
13. y=10−3x，x=10−y3，4，11，83
14. 0
【解析】根据题意知 3m=6，n=2，即 m=2，n=2，
所以 m−n=2−2=0．
15. 3x−2=y,2x+9=y
【解析】依题意，得：3x−2=y,2x+9=y.
故答案为：3x−2=y,2x+9=y.
16. a+ba−b=a2−b2
17. x=3,y=2
18. 57
19. 350
【解析】设行驶 x km，
∵ 油箱内剩余油量不低于油箱容量的 18，
∴40−10100x≥40×18．
∴x≤350，
故该辆汽车最多行驶的路程是 350 km，
故答案为：350．
20. −3≤a<−2
第三部分
21. 1．
22. 移项，得
23x+x>1−6.
合并同类项，得
53x>−5.
系数化为 1，得
x>−3.
此不等式的解集在数轴上表示如下：
23. 将 ② 代入 ① 中得 21−y+4y=5．
解得 y=32．
将 y=32 代入 ②，得 x=−12，
所以原方程组的解为 x=−12,y=32.
24. 如图．
25. 3a2−ab−212a2−3ab=3a2−3ab−a2+6ab=2a2+3ab.
当 a=−2，b=3 时，
原式=2×−22+3×−2×3=8+−18=−10.
26. 原式=a3+5+9a8÷a2=a8+9a8÷a2=10a8÷a2=10a6.
27. ∵∠AEF=∠AOB，
∴EF∥OB（同位角相等，两直线平行）．
∴∠EFA=∠B．
∵AB∥CD，
∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）．
∴∠EFA=∠C（等量代换）．
28. m+3m+5m+⋯+2021m−2m+4m+6m+⋯+2022m=m+3m+5m+⋯+2021m−2m−4m−6m−⋯−2022m=m−2m+3m−4m+5m−6m+⋯+2021m−2022m=m−2m+3m−4m+5m−6m+⋯+2021m−2022m=−1011m.
29. 原式=9x2−4+x2−4x+4−5x2+5x=5x2+x.
将 x=−1 代入，则
原式=5−1=4.
30. 如图，过点 O 作正北方向线的平行线 OE，过点 C 作 CF∥OE，
则 ∠BOE=40∘，∠EOC=∠OCF，
又因为 ∠BOC=60∘，
所以 ∠EOC=60∘−40∘=20∘，
所以 ∠OCF=∠EOC=20∘，
易知 ∠DCF=90∘，
所以 ∠OCD=∠OCF+∠DCF=20∘+90∘=110∘．
31. （1） 设购买一个足球需要 x 元，购买一个篮球需要 y 元．
根据题意得
4x+3y=360,2x+5y=390,
解得
x=45,y=60.∴
购买一个足球需要 45 元，购买一个篮球需要 60 元．
（2） 设购买 a 个篮球，则购买 80−a 个足球．依题意有
60a+4580−a≤3990,
解得
a≤26.∴
这所中学最多可以购买 26 个篮球．
32. （1） a−2b2⋅−3a−3b36a−4b−5=−3a−5b56a−4b−5=−12a−1b10=−b102a
（2） 2x2y22⋅−3x−1y36x−2y−3⋅3x2y3=4x4y4⋅−3x−1y36x−2y−3⋅3x2y3=−12x3y718=−2x3y73
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 一个不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组的解集是
A. −1
2. 墨迹覆盖了等式“（x≠0）”中的运算符号，则覆盖的是
A. +B. −C. ×D. ÷
3. 已知 1 纳米 =0.000000001 米，则 26 纳米用科学记数法表示为
A. 2.6×10−9 米B. 2.6×10−8 米C. 2.6×10−10 米D. 2.6×108 米
4. ∠AOB+∠BOC=180∘，又 ∠BOC 与 ∠COD 互补，那么 ∠AOB 与 ∠COD 的关系
A. 互余B. 互补C. 相等D. 不能确定
5. 若关于 x 的不等式 m−1x>m−1 的解集是 x<1，则 m 的取值范围是
A. m>1B. m≥−1C. m<1D. m≤1
6. 若不等式组 2x−1>3,x≤a 的整数解共有三个，则 a 的取值范围是
A. 5≤a<6B. 5
7. 方程组 3x+2y=7,6x−2y=11 的解是
A. x=−1,y=5B. x=1,y=2C. x=3,y=−1D. x=2,y=12
8. 下列四个多项式中，不能因式分解的是
A. ab−ab2+bB. a2+9C. a2−4b2D. 2a2+12a+18
9. 下列运算正确的是
A. a+2a=3a2B. a2⋅a3=a5
C. ab3=ab3D. −a32=−a6
10. 不论 a，b 为何实数，a2+b2−2a−4b+8 的值
A. 总是正数B. 总是负数C. 可以是零D. 是正数或负数
二、填空题（共10小题；共50分）
11. 如图，直线 AD，BC 被 AC 所截，∠ 与 ∠ 是内错角. ∠1 与 ∠4 是直线 ， 被 所截构成的内错角.
12. 分解因式：
（1）x2+6x+9= ．
（2）m2−8m+16= ．
（3）a2−23a+19= ．
（4）36+12y+y2= ．
13. 已知二元一次方程 3x+y=10．
（1）用含 x 的代数式表示 y： ．
（2）用含 y 的代数式表示 x： ．
（3）写出这个方程的三个解：
① x=2,y= ; ② x=−13,y= ; ③ x= ,y=2.
14. 已知 2x6y2 和 −13x3myn 是同类项，则 m−n 的值是 ．
15. 《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人和车各几何?”其大意是：今有若干人乘车，每 3 人乘一车，最终剩余 2 辆空车；若每 2 人同乘一车，最终剩下 9 人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车?设有 x 辆车，y 个人，根据题意，可列方程组为 ．
16. 根据图①到图②的变化过程可以写出一个整式的乘法公式，这个公式是 ．
17. 方程组 x+y=5,2x+y=8 的解是 ．
18. 如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有 3 个菱形，第②个图形中一共有 7 个菱形，第③个图形中一共有 13 个菱形，⋯，按此规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为 ．
19. 某种型号汽车每行驶 100 km 耗油 10 L，其油箱容量为 40 L．为了有效延长汽车使用寿命，厂家建议每次加油时油箱内剩余油量不低于油箱容量的 18，按此建议，一辆加满油的该型号汽车最多行驶的路程是 km．
20. 已知关于 x 的不等式组 x−a>0,1−x>0 的整数解共有 3 个，则 a 的取值范围是 ．
三、解答题（共12小题；共156分）
21. 计算：−a3−2⋅−a−3−2．
22. 解不等式：23x+6>1−x，并在数轴上表示解集．
23. 解方程组 2x+4y=5,x=1−y.
24. 过点 P 作 AB 的垂线，垂足为 C．
25. 先化简，再求值：3a2−ab−212a2−3ab，其中 a=−2，b=3．
26. 计算：a3⋅a5+3a42÷a2．
27. 完成下面的证明：
已知：如图，AB∥CD，AD 和 BC 交于点 O，E 为 OA 上一点，作 ∠AEF=∠AOB，交 AB 于点 F．
求证：∠EFA=∠C．
证明：∵∠AEF=∠AOB．
∴ ∥ （ ）．
∴∠EFA=∠B．
∵AB∥CD，
∴∠B=∠C ．
∴∠EFA=∠C ．
28. 计算：m+3m+5m+⋯+2021m−2m+4m+6m+⋯+2022m．
29. 先化简，再求值：3x+23x−2+x−22−5xx−1，其中 x=−1．
30. 如图，电讯公司由西向东埋设通讯电缆线，他们从点 A 埋设到点 B 时突然碰到了一个具有研究价值的古墓，不得不改变方向绕开古墓，于是改为沿南偏东 40∘ 方向埋设到点 O，再沿古墓边缘埋设到点 C 处，并测得 ∠BOC=60∘，现已恢复到原来的正东方向，则 ∠OCD 等于多少度?
31. 某中学准备从体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买 4 个足球和 3 个篮球共需 360 元，购买 2 个足球和 5 个篮球共需 390 元．
（1）求购买一个足球、一个篮球各需多少元．
（2）该中学根据实际情况，决定从该体育用品商店一次性购买足球和篮球共 80 个，要求购买足球和篮球的总费用不超过 3990 元，这所中学最多可以购买多少个篮球?
32. 计算下列各题：
（1）a−2b2⋅−3a−3b36a−4b−5；
（2）2x2y22⋅−3x−1y36x−2y−3⋅3x2y3．
答案
第一部分
1. B
2. D
3. B
4. C【解析】因为 ∠AOB+∠BOC=180∘，又 ∠BOC 与 ∠COD 互补，
所以 ∠AOB 与 ∠COD 的关系是相等．
5. C
【解析】∵m−1x>m−1 的解集是 x<1，
∴m−1<0，
∴m<1．
6. A【解析】2x−1>3, ⋯⋯①x≤a. ⋯⋯②
∵ 解不等式 ① 得：x>2，
又 ∵ 不等式组的整数解共有三个，
∴5≤a<6．
7. D【解析】观察方程组可以发现，两个方程中 y 的系数互为相反数，所以可以选择加减消元法，将两个方程相加，消去未知数 y，可解得 x=2，从而求出 y=12．
8. B【解析】A. ab−ab2+b=ba−ab+1，能因式分解，不符合题意；
B. a2+9 不能因式分解，符合题意；
C. a2−4b2=a+2ba−2b，能因式分解，不符合题意；
D. 2a2+12a+18=2a+32，能因式分解，不符合题意．
9. B
10. A
【解析】a2+b2−2a−4b+8=a2−2a+1+b2−4b+4+3=a−12+b+22+3,
∵ a−12≥0，b+22≥0，
∴ a−12+b+22+3≥3，
则不论 a，b 为何实数，式子 a2+b2−2a−4b+8 的值总不小于 3．
第二部分
11. 2，3，AB，CD，AC
12. x+32，m−42，a−132，6+y2
13. y=10−3x，x=10−y3，4，11，83
14. 0
【解析】根据题意知 3m=6，n=2，即 m=2，n=2，
所以 m−n=2−2=0．
15. 3x−2=y,2x+9=y
【解析】依题意，得：3x−2=y,2x+9=y.
故答案为：3x−2=y,2x+9=y.
16. a+ba−b=a2−b2
17. x=3,y=2
18. 57
19. 350
【解析】设行驶 x km，
∵ 油箱内剩余油量不低于油箱容量的 18，
∴40−10100x≥40×18．
∴x≤350，
故该辆汽车最多行驶的路程是 350 km，
故答案为：350．
20. −3≤a<−2
第三部分
21. 1．
22. 移项，得
23x+x>1−6.
合并同类项，得
53x>−5.
系数化为 1，得
x>−3.
此不等式的解集在数轴上表示如下：
23. 将 ② 代入 ① 中得 21−y+4y=5．
解得 y=32．
将 y=32 代入 ②，得 x=−12，
所以原方程组的解为 x=−12,y=32.
24. 如图．
25. 3a2−ab−212a2−3ab=3a2−3ab−a2+6ab=2a2+3ab.
当 a=−2，b=3 时，
原式=2×−22+3×−2×3=8+−18=−10.
26. 原式=a3+5+9a8÷a2=a8+9a8÷a2=10a8÷a2=10a6.
27. ∵∠AEF=∠AOB，
∴EF∥OB（同位角相等，两直线平行）．
∴∠EFA=∠B．
∵AB∥CD，
∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）．
∴∠EFA=∠C（等量代换）．
28. m+3m+5m+⋯+2021m−2m+4m+6m+⋯+2022m=m+3m+5m+⋯+2021m−2m−4m−6m−⋯−2022m=m−2m+3m−4m+5m−6m+⋯+2021m−2022m=m−2m+3m−4m+5m−6m+⋯+2021m−2022m=−1011m.
29. 原式=9x2−4+x2−4x+4−5x2+5x=5x2+x.
将 x=−1 代入，则
原式=5−1=4.
30. 如图，过点 O 作正北方向线的平行线 OE，过点 C 作 CF∥OE，
则 ∠BOE=40∘，∠EOC=∠OCF，
又因为 ∠BOC=60∘，
所以 ∠EOC=60∘−40∘=20∘，
所以 ∠OCF=∠EOC=20∘，
易知 ∠DCF=90∘，
所以 ∠OCD=∠OCF+∠DCF=20∘+90∘=110∘．
31. （1） 设购买一个足球需要 x 元，购买一个篮球需要 y 元．
根据题意得
4x+3y=360,2x+5y=390,
解得
x=45,y=60.∴
购买一个足球需要 45 元，购买一个篮球需要 60 元．
（2） 设购买 a 个篮球，则购买 80−a 个足球．依题意有
60a+4580−a≤3990,
解得
a≤26.∴
这所中学最多可以购买 26 个篮球．
32. （1） a−2b2⋅−3a−3b36a−4b−5=−3a−5b56a−4b−5=−12a−1b10=−b102a
（2） 2x2y22⋅−3x−1y36x−2y−3⋅3x2y3=4x4y4⋅−3x−1y36x−2y−3⋅3x2y3=−12x3y718=−2x3y73
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