巩固练习_直线、平面平行的判定_提高

【巩固练习】

1．下列命题（其中a、b表示直线，表示平面）中，正确的个数是（    ）．

 ①若a∥b，，则a∥；②若a∥，b∥，则a∥b；③若a∥b，b∥，则a∥；④若a∥，，则a∥b．

 A．0    B．1    C．2    D．3

2．下列命题中，正确的个数是（    ）．

①若两个平面没有公共点，则这两个平面平行；②垂直于同一直线的两个平面平行；③平行于同一直线的两个平面平行；④平行于同一平面的两个平面平行．

A．1    B．2    C．3    D．4

3．已知平面，和直线，给出下列条件：

①；

②；

③。

其中可以使结论成立的条件有（     ）

A.①②　　B. ②③　　C. ①③　　D. ①

4．过平行六面体任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线共有（　　）

A．4条    B．6条     C．8条      D．12条

5．已知m，n是两条直线，、是两个平面．有以下命题：

①m，n相交且都在平面、外，m∥，m∥，n∥，n∥，则∥；②若m∥，m∥，则∥；③若m∥，n∥，m∥n，则∥．其中正确命题的个数是（    ）．

A．0    B．1    C．2    D．3

6．（2016 北京）在正方体ABCD—中，E，F，G分别是，，的中点，给出下列四个推断：

①FG∥平面；②EF∥平面；

③FG∥平面；④平面EFG∥平面

其中推断正确的序号是（    ）

A．①③    B．①④    C．②③    D．②④

7．过已知直线外一点与已知直线平行的直线有        条；过平面外一点与已知平面平行的直线有     

条，与已知平面平行的平面有          个。

8．当，则与的关系是          。

9．有下列几个命题：

①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；

②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b（α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线），则γ∥β；

③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；

④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β．其中正确的有________（填序号）．

10．在正四棱柱中，分别为棱的中点，是的中点，点在四边形及其内部运动，则满足条件          时，有平面。

三、解答题

11．（2016 山东）在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．

（1）已知AB=BC，AE=EC，求证：AC⊥FB；

（2）已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC．

12．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．

（1）求证：平面MNG∥平面ACD；

（2）求S△MNG∶S△ADC．

13．在正方体中，为上任意一点。

（1）求证：平面；

（2）求证：平面//平面.

14．如下图，左边是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，右边是它的正视图和侧视图（单位：cm）。

    （1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图。

（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；

（3）在所给直观图中连接BC＇，证明：BC＇∥平面EFG。

15．直四棱柱中，底面ABCD为正方形，边长为2，侧棱，M、N分别为、的中点，E、F分别是、的中点．

(1)求证：平面AMN∥平面EFDB；

(2)求平面AMN与平面EFDB的距离．

【答案与解析】

1．【答案】A

【解析】  ①直线a有可能在平面内；②两直线可能平行、相交或异面；③a有可能在平面内；④a与b有可能异面。

2．【答案】C

【解析】 ①②④正确。

3．【答案】D

【解析】 平行于同一条直线的两条直线平行。

4．【答案】D

【解析】如图所示，与BD平行的有4条，与BB1平行的有4条，四边形GHFE的对角线与面平行，同等位置有4条，总共12条，故选D．

5．【答案】B

【解析】 设m∩n=P，则直线m，n可确定一个平面，设为，由面面平行的判定定理知，，，因此，，即命题①正确；在长方体ABCD—A1B1C1D1中，C1D1∥平面ABCD，C1D1∥平面ABB1A1，但平面ABCD∩平面ABB1A1=AB，即满足命题②的条件，但平面ABCD与平面ADD1A1不平行，因此命题②不正确；同样可知，命题③也不正确。故选B。

6．【答案】A

【解析】∵在正方体ABCD—中，E，F，G分别是，，的中点，

∴FG∥，∵∥，∴FG∥，

∵FG平面，平面，∴FG∥平面，故①正确；

∵EF∥，与平面相交，∴EF与平面相交，故②错误；

∵E，F，G分别是，，的中点，

∴FG∥，∵FG平面，平面，

∴FG∥平面，故③正确；

∵EF与平面相交，∴平面EFG与平面相交，故④错误．

故选A．

7．【答案】1，无数，1

8．【答案】

9．【答案】③

【解析】①不正确，当两平面相交时，在一个平面两侧分别有无数点满足条件；②不正确，当平面β与γ相交时也可满足条件；③正确，满足平面平行的判定定理；④不正确，当两平面相交时，也可满足条件．

10．【答案】点在线段上

11．【解析】（1）证明：如图所示，∵D是AC的中点，AB=BC，AE=EC，

∴△BAC、△EAC都是等腰三角形，

∴BD⊥AC，ED⊥AC．

∵EF∥BD，∴E、F、B、D四点共面，这样，

AC垂直于平面EFBD内的两条相交直线ED、BD，

∴AC⊥平面EFBD．

显然，FB平面EFBD，∴AC⊥FB．

（2）已知G，H分别是EC和FB的中点，再取CF的中点O，

则OG∥EF，∵OG∥BD，

∴OG∥BD，而BD平面ABC，∴OG∥平面ABC．

同理，OH∥BC，而BC平面ABC，∴OH∥平面ABC．

∵OG∩OH=O，∴平面OGH∥平面ABC，∴GH∥平面ABC．

12．【答案】（1）略；（2）1∶9

【解析】（1）证明：连接BM，BN，BG并延长分别交AC，AD，CD于P，F，H．

∵M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，

则有，

且P，H，F分别为AC，CD，AD的中点．

连接PF，FH，PH，有MN∥PF．

又PF包含于平面ACD，MN平面ACD，

∴MN∥平面ACD．

同理MG∥平面ACD，MG∩MN＝M，

∴平面MNG∥平面ACD．

（2）由（1）可知，

∴ ．

又，∴ ．

同理，．

∴△MNG∽△ACD，其相似比为1∶3．

∴S△MNG∶S△ACD＝1∶9．

13．【解析】(1)正方体,

.同理，平面

平面//平面

平面，

DP//平面。

（2）与（1）中平面//平面的证明类似。

14．【解析】（1）如下图（1）所示。

（2）所求多面体的体积。

（3）将原多面体还原为长方体，如上图（2），连接AD＇，因为，，所以，所以四边形为平行四边形，所以。

因为E，G分别是，的中点，所以在中，EG∥AD＇，因此EG∥BC＇。

又平面EFG，EG平面EFG，所以平面EFG。

15．【解析】(1)证明：连接，分别交MN、EF于P、Q．连接AC

交BD于O，连接AP、OQ．

由已知可得MN∥EF，∴MN∥平面EFDB．

由已知可得，PQ∥AO且PQ=AO．

∴AP∥OQ．∴AP∥EFDB平面，，

∴平面AMN∥平面EFDB．

(2)解：过A1作平面AMN与平面EFDB的垂线，垂足为H、，易得，

由，

根据

则

解得．所以，平面AMN与平面EFDB的距离为.