高中数学人教版新课标B必修42.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式教学设计

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

复习引入

（1）向量数量积的定义

（2）向量数量积的性质

（3）向量数量积的运算律

（4）向量的坐标运算

教师提问，学生回答。

复习旧知识，引出新知识

1．向量内积的坐标运算

a·b＝a1b1+a2b2.

推导过程略

教师引导学生推导出结论。

让学生体会几何问题代数化的思想，培养学生的动手能力。

2．提问：向量垂直的充要条件是什么？如果用向量的数量积的坐标表示可以写成什么？

a⊥b a1b1+a2b2=0

  说明：当时，条件a1b1+a2b2=0，可以写成。（是比例系数）

这就是说，如果a⊥b，则向量(a1, a2)，(－b2, b1)平行。

教师提出问题，学生回答。

提出问题，引导学生去猜想，引申，培养学生的探索能力。

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

3．（1）向量的长度的计算公式及文字表述：

|a|=，向量的长度等于它的坐标平方和的算数平方根。

如教材图2-53。

推导过程略。

（2）由上述公式，得：

若A(x1, y1)，B(x2, y2)，则

这就是两点的距离公式。

（3）向量夹角余弦的坐标表达式：

   <a, b>

教师指导学生独立完成公式的推导。

由学生独立完成推导，意在培养学生独立思考问题、解决问题的能力，让学生注重与前面知识的衔接，巩固旧知识。

例1．已知a＝（   3，－1），b＝（   1，－2），求a·b，|a|,|b|,<a, b>。

小结：运用向量的数量积的坐标公式求值。

教师提问，学生独立完成，教师订正。

巩固新知识，培养学生自主解决问题的能力。

例2．已知点A（1，2），B（2，3），C（－2，5），求证。

小结：利用数量积的坐标运算证明垂直

教师提问。

学生独立完成，教师纠正，完善。

巩固新知识，培养学生动手能力，能够灵活运用知识的能力。

例3．已知点A（1，2），B（3，4），C（5，0），求∠BAC的正弦值。

小结：本题利用两向量夹角的坐标公式求正弦值，揭示了向量与三角的联系。

教师：利用什么方法求∠BAC的正弦值？

学生：联想到两向量的夹角的坐标公式，尝试完成。

教师指导，订正。

巩固新知识，复习旧知识，建立知识之间的联系。

例4．已知点（，）与点（，）,求证直线是线段垂直平分线。

小结：证明线段的垂直平分线，用到了中点坐标公式，两向量垂直的充要条件，本题是用向量知识解决解析几何问题。

教师：证明直线是线段的垂直平分线需要证明什么？

学生：需要证明垂直和平分问题。

师生共同完成证明。

本题是一道综合题，学生不易想到，教师分步设问，引导学生展示思维过程，让学生体会分析问题、解决问题的方法。

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

课堂练习

教材练习A，1，2，3

学生完成，教师指导。

进一步巩固所学内容。

归纳小结

（1）用坐标表示的数量积公式，常用来计算两向量的夹角。

（2）能够灵活运用所学知识。

师生交流，共同完成。

帮助学生总结知识，归纳方法。

布置作业

教材习题A，2，4，5

学生独立完成。

巩固所学知识，方法。