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福建省福州第十九中学2020-2021学年八年级上学期期末数学试卷（word版 含答案）
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这是一份福建省福州第十九中学2020-2021学年八年级上学期期末数学试卷（word版 含答案），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解笞题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年福建省福州十九中八年级（上）期末数学试卷
（附答案与解析）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）下面是福州市几所中学的校标，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）下列式子是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）四边形的内角和与外角和的数量关系，正确的是（ ）
A．内角和比外角和大180° B．外角和比内角和大180°
C．内角和比外角和大360° D．内角和与外角和相等
4．（4分）给出下列等式，其中正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6 B．a3÷a﹣2＝a
C．a﹣5＝（a3）﹣2 D．＝（ab）﹣3
5．（4分）若在第一象限的△ABC关于某条直线对称后的△DEF在第四象限，则这条直线可以是（ ）
A．直线x＝﹣1 B．x轴 C．y轴 D．直线x＝
6．（4分）下列因式分解正确的是（ ）
A．3p2﹣3q2＝（3p+3q）（p﹣q） B．m4﹣1＝（m2+1）（m2﹣1）
C．2p+2q+1＝2（p+q）+1 D．m2﹣4m+4＝（m﹣2）2
7．（4分）某次列车平均提速vkm/h，用相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km，则方程+v＝所表达的等量关系是（ ）
A．提速前列车行驶skm与提速后行驶（s+50）km的时间相等
B．提速后列车每小时比提速前列车每小时多开vkm
C．提速后列车行驶（s+50）km的时间比提速前列车行驶skm多vh
D．提速后列车用相同的时间可以比提速前多开50km
8．（4分）如图，点F，C在BE上，AC＝DF，BF＝EC，AB＝DE，AC与DF相交于点G，则与2∠DFE相等的是（ ）
A．∠A+∠D B．3∠B C．180°﹣∠FGC D．∠ACE+∠B
9．（4分）传说，古埃及人常用“拉绳”的方法画直角，有一根长为m的绳子，古埃及人用这根绳子拉出了一个斜边长为n的直角三角形，那么这个直角三角形的面积用含m和n的式子可表示为（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，CD＝2，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，∠AED＝120°，设AB＝x，CE＝y，则下列式子可以表示线段AD长的是（ ）
A．x+y+ B．x+y+2 C．x+y+2 D．x+y+
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）一次研究中发现某个新冠肺炎病毒的尺寸大约0.00000003m，则0.00000003用科学记数法可写为 ．
12．（4分）若代数式的值为0，则实数x的值是 ．
13．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝3，则AB＝ ．
14．（4分）若3x﹣2＝y，则8x÷2y＝ ．
15．（4分）若等腰三角形两底角平分线相交所形成的钝角是128°，则这个等腰三角形的顶角的度数是 ．
16．（4分）若三个正数a，b，c满足a+4+3b﹣2﹣c＝0，则的值是 ．
三、解笞题（本大题共9小题，共86分）
17．计算：
（1）（2m+1）2﹣4m；
（2）．
18．先化简，再求值：（x+）÷（x+1），其中x＝．
19．如图，已知点B，F，C，E在同一直线上，AB∥DE，BF＝CE，AB＝ED，求证：∠A＝∠D．
20．已知正实数a满足a+＝5，且＝1﹣a，求a﹣的值．
21．如图，已知四边形ABCD中，AD＝2，CD＝2，∠B＝30°，过点A作AE⊥BC，垂足为E，AE＝1，且点E是BC的中点，求∠BCD的度数．
22．甲、乙两个工程队承担了福州市今年的旧城改造工作中的一个办公楼项目，若乙队单独工作3天后，再由两队合作7天就可以完成这个项目，已知乙队单独完成这个项目所需天数是甲队单独完成这各项目所需天数的2倍．
（1）求甲，乙两个工程队单独完成这个项目各需多少天；
（2）甲工程队一天的费用是7万元，乙工程队一天的费用是3万元，若甲乙合作5天后剩余工作由乙队单独完成，求这个项目总共要支出的工程费用．（单位：万元）
23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC边于点D．
（1）请通过尺规作出一个点E，连接DE，使△ADE与△ADC关于AD对称；（保留痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若DE，EB，DB的长度是三个从小到大的连续正整数，求AD的长．
24．我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如，都是根分式．
（1）请根据以上信息，写出一个取值范围是x＞2的根分式： ；
（2）已知两个根分式M＝与N＝．
①是否存在x的值使得N2﹣M2＝1，若存在，请求出x的值，若不存在，请说明理由；
②当M2+N2是一个整数时，写出两个满足条件的无理数x的值．
25．如图，已知在平面直角坐标系中，点A（0，n）是y轴上的一点，且n使得+有意义，以OA为边在第一象限内作等边三角形△OAB．
（1）求点B的坐标；
（2）若点C是在射线BO上第三象限内的一点，连接AC，以AC为边在y轴右侧画等边三角形△ACD，连接BD，OD．
①请先依题意补全图形后，求∠ABD的度数；
②当OD最小时，求△ACD的边长．
2020-2021学年福建省福州十九中八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）下面是福州市几所中学的校标，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，本选项不合题意．
故选：A．
2．（4分）下列式子是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由于被开方数是某数的平方、含有可以开方的因数、是小数或分数这样的二次根式都不叫最简二次根式，根据这一点把A、B、D排除即可得到结果．
【解答】解：＝2，故A不符合题意；
＝2，故B不符合题意；
不能再化简，故C符合题意；
＝＝，故D不符合题意．
故选：C．
3．（4分）四边形的内角和与外角和的数量关系，正确的是（ ）
A．内角和比外角和大180° B．外角和比内角和大180°
C．内角和比外角和大360° D．内角和与外角和相等
【分析】直接利用多边形内角和定理分别分析得出答案．
【解答】解：A．四边形的内角和与外角和相等，都等于360°，故本选项表述错误；
B．四边形的内角和与外角和相等，都等于360°，故本选项表述错误；
C．六四边形的内角和与外角和相等，都等于360°，故本选项表述错误；
D．四边形的内角和与外角和相等，都等于360°，故本选项表述正确．
故选：D．
4．（4分）给出下列等式，其中正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6 B．a3÷a﹣2＝a
C．a﹣5＝（a3）﹣2 D．＝（ab）﹣3
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，负整数指数幂的定义以及幂的乘方与积的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A、a3•a2＝a5，故本选项不合题意；
B、a3÷a﹣2＝a5，故本选项不合题意；
C、（a3）﹣2＝a﹣6，故本选项不合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D．
5．（4分）若在第一象限的△ABC关于某条直线对称后的△DEF在第四象限，则这条直线可以是（ ）
A．直线x＝﹣1 B．x轴 C．y轴 D．直线x＝
【分析】根据轴对称的性质判断即可．
【解答】解：若在第一象限的△ABC关于某条直线对称后的△DEF在第四象限，则这条直线可以是x轴，
故选：B．
6．（4分）下列因式分解正确的是（ ）
A．3p2﹣3q2＝（3p+3q）（p﹣q） B．m4﹣1＝（m2+1）（m2﹣1）
C．2p+2q+1＝2（p+q）+1 D．m2﹣4m+4＝（m﹣2）2
【分析】利用提取公因式法、平方差公式和完全平方公式法分别因式分解分析得出答案．
【解答】解：选项A：3p2﹣3q2＝3（p2﹣q2）＝3（p+q）（p﹣q），不符合题意；
选项B：m4﹣1＝（m2+1）（m2﹣1）＝m4﹣1＝（m2+1）（m+1）（m﹣1），不符合题意；
选项C：2p+2q+1不能进行因式分解，不符合题意；
选项D：m2﹣4m+4＝（m﹣2）2，符合题意．
故选：D．
7．（4分）某次列车平均提速vkm/h，用相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km，则方程+v＝所表达的等量关系是（ ）
A．提速前列车行驶skm与提速后行驶（s+50）km的时间相等
B．提速后列车每小时比提速前列车每小时多开vkm
C．提速后列车行驶（s+50）km的时间比提速前列车行驶skm多vh
D．提速后列车用相同的时间可以比提速前多开50km
【分析】利用提速后列车每小时比提速前列车每小时多的路程分析．
【解答】解：方程表达的等量关系是提速后列车每小时比提速前列车每小时多开vkm，
故选：B．
8．（4分）如图，点F，C在BE上，AC＝DF，BF＝EC，AB＝DE，AC与DF相交于点G，则与2∠DFE相等的是（ ）
A．∠A+∠D B．3∠B C．180°﹣∠FGC D．∠ACE+∠B
【分析】根据等式的性质得出BC＝EF，进而利用SSS证明△ABC与△DEF全等，利用全等三角形的性质得出∠ACB＝∠DFE，最后利用三角形内角和解答．
【解答】解：∵BF＝EC，
∴BF+FC＝EC+FC，
∴BC＝EF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠ACB＝∠DFE，
∴2∠DFE＝180°﹣∠FGC，
故选：C．
9．（4分）传说，古埃及人常用“拉绳”的方法画直角，有一根长为m的绳子，古埃及人用这根绳子拉出了一个斜边长为n的直角三角形，那么这个直角三角形的面积用含m和n的式子可表示为（ ）
A． B． C． D．
【分析】设这个直角三角形的两直角边分别为a，b，根据三角形的周长以及勾股定理得出方程组，利用完全平方公式求出2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝m2﹣2mn，两边除以4即可求出这个直角三角形的面积．
【解答】解：设这个直角三角形的两直角边分别为a，b，
由题意可得，，
∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝（m﹣n）2﹣n2＝m2﹣2mn，
∴这个直角三角形的面积＝ab＝．
故选：A．
10．（4分）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，CD＝2，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，∠AED＝120°，设AB＝x，CE＝y，则下列式子可以表示线段AD长的是（ ）
A．x+y+ B．x+y+2 C．x+y+2 D．x+y+
【分析】在AD上截取AG＝AB，DH＝DC，连接EG、EH，证明△ABE≌△AGE（SAS），△DEH≌△DEC（SAS），由全等三角形的性质得出BE＝GE，∠AEB＝∠AEG，CE＝HE，∠CED＝∠HED，证明△EGH是含30度角的直角三角形，根据勾股定理即可得出结论．
【解答】解：如图，在AD上截取AG＝AB＝x，DH＝DC，连接EG、EH，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠GAE，
在△ABE和△AGE中，
，
∴△ABE≌△AGE（SAS），
∴∠AEB＝∠AEG，∠AGE＝∠B＝90°，
∵DE平分∠ADC，
同理可证：△DEH≌△DEC（SAS），
∴∠DEH＝∠DEC，EH＝EC＝y，
∵∠AED＝120°，∠AEB+∠CED＝180°﹣120°＝60°，
∴∠AEG+∠HED＝60°，
∴∠GEH＝60°，
∵∠EGF＝90°，
∴∠EHG＝30°，
∴EG＝EF＝y，
∴GH＝＝y，
∵AD＝AG+GH+HD＝x+y+2．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）一次研究中发现某个新冠肺炎病毒的尺寸大约0.00000003m，则0.00000003用科学记数法可写为 3×10﹣8 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000003＝3×10﹣8．
故答案为：3×10﹣8．
12．（4分）若代数式的值为0，则实数x的值是 2 ．
【分析】根据分式的值为零的条件即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：，
∴x＝2．
故答案为：2．
13．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝3，则AB＝ 2 ．
【分析】根据直角三角形30°的角对的直角边是斜边的一半，利用勾股定理即可求出各边．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°．
∴AB＝2AC．
设AC＝x．则AB＝2x．
∴x2+32＝（2x）2
∴x＝．
∴．
故答案为：2．
14．（4分）若3x﹣2＝y，则8x÷2y＝ 4 ．
【分析】由3x﹣2＝y可得3x﹣y＝2，再根据幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则计算即可．
【解答】解：因为3x﹣2＝y，
所以3x﹣y＝2，
所以8x÷2y＝23x÷2y＝23x﹣y＝22＝4．
故答案为：4．
15．（4分）若等腰三角形两底角平分线相交所形成的钝角是128°，则这个等腰三角形的顶角的度数是 76° ．
【分析】先根据角平分线的性质、三角形的内角和定理求出等腰三角形两底角的度数和．再根据等腰三角形的性质和三角形内角和求出顶角的度数．
【解答】解：
∵∠BOC＝128°，
∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC＝180°﹣128°＝52°，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝104°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣104°＝76°．
.故答案为：76°．
16．（4分）若三个正数a，b，c满足a+4+3b﹣2﹣c＝0，则的值是 1 ．
【分析】直接将原式凑成平方差公式，即可得出答案正数．
【解答】解：a+4+3b﹣2﹣c＝0，
＝0，
∵a，b，c是正数，
∴＝，
∴，
∴．
故答案为：1．
三、解笞题（本大题共9小题，共86分）
17．计算：
（1）（2m+1）2﹣4m；
（2）．
【分析】（1）先利用完全平方公式展开，然后合并同类项即可；
（2）先利用二次根式的乘法法则运算，然后化简即可．
【解答】解：（1）原式＝4m2+4m+1﹣4m
＝4m2+1；
（2）原式＝﹣
＝﹣
＝2﹣3．
18．先化简，再求值：（x+）÷（x+1），其中x＝．
【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（x+）÷（x+1）
＝
＝
＝，
当x＝时，原式＝＝．
19．如图，已知点B，F，C，E在同一直线上，AB∥DE，BF＝CE，AB＝ED，求证：∠A＝∠D．
【分析】根据平行线的性质得出∠B＝∠E，进而利用SAS证明△ABC与△DEF全等，利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E，
∵BF＝CE，
∴BF+CF＝CE+CF，
∴BC＝EF，
在△ABC与△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠A＝∠D．
20．已知正实数a满足a+＝5，且＝1﹣a，求a﹣的值．
【分析】根据a+＝5，且＝1﹣a，利用完全平方公式和算术平方根的定义，可以求得所求式子的值．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴a2﹣2+＝（a﹣）2＝21，
∴a﹣＝±，
∵＝1﹣a，
∴1﹣a≥0，
∴0＜a≤1，
∴a﹣＜0，
∴a﹣＝﹣．
21．如图，已知四边形ABCD中，AD＝2，CD＝2，∠B＝30°，过点A作AE⊥BC，垂足为E，AE＝1，且点E是BC的中点，求∠BCD的度数．
【分析】连接AC．根据线段垂直平分线的性质得出AB＝AC，根据等边对等角得出∠ACB＝∠B＝30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AC＝2AE＝2．在△ACD中，根据勾股定理的逆定理得出∠ACD＝90°，那么∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝120°．
【解答】解：如图，连接AC．
∵AE⊥BC，点E是BC的中点．
∴AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝30°，
∴AC＝2AE＝2．
∴在△ACD中，AD2＝8，AC2+CD2＝4+4＝8，
∴AD2＝AC2+CD2，
∴∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝120°．
22．甲、乙两个工程队承担了福州市今年的旧城改造工作中的一个办公楼项目，若乙队单独工作3天后，再由两队合作7天就可以完成这个项目，已知乙队单独完成这个项目所需天数是甲队单独完成这各项目所需天数的2倍．
（1）求甲，乙两个工程队单独完成这个项目各需多少天；
（2）甲工程队一天的费用是7万元，乙工程队一天的费用是3万元，若甲乙合作5天后剩余工作由乙队单独完成，求这个项目总共要支出的工程费用．（单位：万元）
【分析】（1）设甲工程队单独完成这个项目需要x天，则乙工程队单独完成这个项目需要2x天，根据甲工程队完成的工程量+乙工程队完成的工程量＝总工程量，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设甲乙两队合作5天后乙队还要再单独工作y天，根据甲工程队完成的工程量+乙工程队完成的工程量＝总工程量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y值，再利用总工程费用＝每天所需工程费用×工作时间，即可求出结论．
【解答】解：（1）设甲工程队单独完成这个项目需要x天，则乙工程队单独完成这个项目需要2x天，
依题意得：+＝1，
解得：x＝12，
经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意，
∴2x＝24．
答：甲工程队单独完成这个项目需要12天，乙工程队单独完成这个项目需要24天．
（2）设甲乙两队合作5天后乙队还要再单独工作y天，
依题意得：+＝1，
解得：y＝9，
∴7×5+3×（5+9）＝77（万元）．
答：这个项目总共要支出的工程费用为77万元．
23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC边于点D．
（1）请通过尺规作出一个点E，连接DE，使△ADE与△ADC关于AD对称；（保留痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若DE，EB，DB的长度是三个从小到大的连续正整数，求AD的长．
【分析】（1）先以A为圆心，AC为半径画圆，交AB于点E，连接DE即可；
（2）根据对称的性质和勾股定理解答即可．
【解答】解：（1）点E如图所作；
（2）∵DE，EB，DB的长度是三个从小到大的连续正整数，
∴设EB＝a，则DE＝a﹣1，DB＝a+1，
∵△ACD与△AED关于AD对称，
∴△ACD≌△AED，
∴∠AED＝∠ACD＝90°，
在Rt△DEB中，根据勾股定理BD2＝DE2+EB2，
∴（a+1）2＝（a﹣1）2+a2，
解得a＝4，
设AC＝x，则AE＝x，AB＝x+4，
∴在Rt△ABC中，根据勾股定理AC2+BC2＝AB2，
∴x2+82＝（x+4）2，
解得x＝6，
在Rt△ACD中，根据勾股定理．
24．我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如，都是根分式．
（1）请根据以上信息，写出一个取值范围是x＞2的根分式： ；
（2）已知两个根分式M＝与N＝．
①是否存在x的值使得N2﹣M2＝1，若存在，请求出x的值，若不存在，请说明理由；
②当M2+N2是一个整数时，写出两个满足条件的无理数x的值．
【分析】（1）依照根分式的定义写一个即可；
（2）①根据N2﹣M2＝1建立关于x的等式，即可求出x的值，注意需要判断x的值是否使根分式有意义；
②表达M2+N2，分离整式，再判断什么时候为整数，求出x的值．
【解答】解：（1）．
（2）①∵，
∴，
∴x2﹣6x+8＝x2﹣4x+4，
解得x＝2，
检验，当x＝2时，（x﹣2）2＝0，
所以原分式方程无解，
从而不存在x的值使得N2﹣M2＝1．
②∵，
∴＝＝，
∴当M2+N2是一个整数时，（x﹣2）2可以取1或2，等，
∴当x是无理数时，或x﹣2＝±，
由于当时，x﹣1＜0，舍去，
∴，x＝2+，x＝2﹣（答案不唯一）．
25．如图，已知在平面直角坐标系中，点A（0，n）是y轴上的一点，且n使得+有意义，以OA为边在第一象限内作等边三角形△OAB．
（1）求点B的坐标；
（2）若点C是在射线BO上第三象限内的一点，连接AC，以AC为边在y轴右侧画等边三角形△ACD，连接BD，OD．
①请先依题意补全图形后，求∠ABD的度数；
②当OD最小时，求△ACD的边长．
【分析】（1）利用非负数的性质求解即可．
（2）①根据要求作出图形即可．证明△AOC≌△ABD（SAS），可得结论．
②由图可知，点D在与AB夹角为120°的直线上运动，推出当OD⊥BD时OD最短，此时点D在x轴上．
【解答】解：（1）∵有意义
∴，
∴n＝4，
∴等边△OAB的边长为4，
过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，
∵∠BOC＝30°，
∴，
∴，
点B的坐标为．
（2）①△ACD如图所画：
∵△AOB与△ACD是等边三角形，
∴∠CAD＝∠OAB＝∠AOB＝60°，AC＝AD，AB＝AO，
∴∠CAO＝60°﹣∠OAD＝∠DAB，
∴△AOC≌△ABD（SAS），
∴∠ABD＝∠AOC＝180°﹣∠AOB＝120°．
②∵∠ABD＝120°，
∴由图可知，点D在与AB夹角为120°的直线上运动，
∴当OD⊥BD时OD最短，此时点D在x轴上，
∴点B的坐标为，
∴，
在Rt△AOD中，根据勾股定理，
∴等边△ACD的边长为．
2020-2021学年福建省福州十九中八年级（上）期末数学试卷
（附答案与解析）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）下面是福州市几所中学的校标，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）下列式子是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）四边形的内角和与外角和的数量关系，正确的是（ ）
A．内角和比外角和大180° B．外角和比内角和大180°
C．内角和比外角和大360° D．内角和与外角和相等
4．（4分）给出下列等式，其中正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6 B．a3÷a﹣2＝a
C．a﹣5＝（a3）﹣2 D．＝（ab）﹣3
5．（4分）若在第一象限的△ABC关于某条直线对称后的△DEF在第四象限，则这条直线可以是（ ）
A．直线x＝﹣1 B．x轴 C．y轴 D．直线x＝
6．（4分）下列因式分解正确的是（ ）
A．3p2﹣3q2＝（3p+3q）（p﹣q） B．m4﹣1＝（m2+1）（m2﹣1）
C．2p+2q+1＝2（p+q）+1 D．m2﹣4m+4＝（m﹣2）2
7．（4分）某次列车平均提速vkm/h，用相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km，则方程+v＝所表达的等量关系是（ ）
A．提速前列车行驶skm与提速后行驶（s+50）km的时间相等
B．提速后列车每小时比提速前列车每小时多开vkm
C．提速后列车行驶（s+50）km的时间比提速前列车行驶skm多vh
D．提速后列车用相同的时间可以比提速前多开50km
8．（4分）如图，点F，C在BE上，AC＝DF，BF＝EC，AB＝DE，AC与DF相交于点G，则与2∠DFE相等的是（ ）
A．∠A+∠D B．3∠B C．180°﹣∠FGC D．∠ACE+∠B
9．（4分）传说，古埃及人常用“拉绳”的方法画直角，有一根长为m的绳子，古埃及人用这根绳子拉出了一个斜边长为n的直角三角形，那么这个直角三角形的面积用含m和n的式子可表示为（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，CD＝2，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，∠AED＝120°，设AB＝x，CE＝y，则下列式子可以表示线段AD长的是（ ）
A．x+y+ B．x+y+2 C．x+y+2 D．x+y+
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）一次研究中发现某个新冠肺炎病毒的尺寸大约0.00000003m，则0.00000003用科学记数法可写为 ．
12．（4分）若代数式的值为0，则实数x的值是 ．
13．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝3，则AB＝ ．
14．（4分）若3x﹣2＝y，则8x÷2y＝ ．
15．（4分）若等腰三角形两底角平分线相交所形成的钝角是128°，则这个等腰三角形的顶角的度数是 ．
16．（4分）若三个正数a，b，c满足a+4+3b﹣2﹣c＝0，则的值是 ．
三、解笞题（本大题共9小题，共86分）
17．计算：
（1）（2m+1）2﹣4m；
（2）．
18．先化简，再求值：（x+）÷（x+1），其中x＝．
19．如图，已知点B，F，C，E在同一直线上，AB∥DE，BF＝CE，AB＝ED，求证：∠A＝∠D．
20．已知正实数a满足a+＝5，且＝1﹣a，求a﹣的值．
21．如图，已知四边形ABCD中，AD＝2，CD＝2，∠B＝30°，过点A作AE⊥BC，垂足为E，AE＝1，且点E是BC的中点，求∠BCD的度数．
22．甲、乙两个工程队承担了福州市今年的旧城改造工作中的一个办公楼项目，若乙队单独工作3天后，再由两队合作7天就可以完成这个项目，已知乙队单独完成这个项目所需天数是甲队单独完成这各项目所需天数的2倍．
（1）求甲，乙两个工程队单独完成这个项目各需多少天；
（2）甲工程队一天的费用是7万元，乙工程队一天的费用是3万元，若甲乙合作5天后剩余工作由乙队单独完成，求这个项目总共要支出的工程费用．（单位：万元）
23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC边于点D．
（1）请通过尺规作出一个点E，连接DE，使△ADE与△ADC关于AD对称；（保留痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若DE，EB，DB的长度是三个从小到大的连续正整数，求AD的长．
24．我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如，都是根分式．
（1）请根据以上信息，写出一个取值范围是x＞2的根分式： ；
（2）已知两个根分式M＝与N＝．
①是否存在x的值使得N2﹣M2＝1，若存在，请求出x的值，若不存在，请说明理由；
②当M2+N2是一个整数时，写出两个满足条件的无理数x的值．
25．如图，已知在平面直角坐标系中，点A（0，n）是y轴上的一点，且n使得+有意义，以OA为边在第一象限内作等边三角形△OAB．
（1）求点B的坐标；
（2）若点C是在射线BO上第三象限内的一点，连接AC，以AC为边在y轴右侧画等边三角形△ACD，连接BD，OD．
①请先依题意补全图形后，求∠ABD的度数；
②当OD最小时，求△ACD的边长．
2020-2021学年福建省福州十九中八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）下面是福州市几所中学的校标，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，本选项不合题意．
故选：A．
2．（4分）下列式子是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由于被开方数是某数的平方、含有可以开方的因数、是小数或分数这样的二次根式都不叫最简二次根式，根据这一点把A、B、D排除即可得到结果．
【解答】解：＝2，故A不符合题意；
＝2，故B不符合题意；
不能再化简，故C符合题意；
＝＝，故D不符合题意．
故选：C．
3．（4分）四边形的内角和与外角和的数量关系，正确的是（ ）
A．内角和比外角和大180° B．外角和比内角和大180°
C．内角和比外角和大360° D．内角和与外角和相等
【分析】直接利用多边形内角和定理分别分析得出答案．
【解答】解：A．四边形的内角和与外角和相等，都等于360°，故本选项表述错误；
B．四边形的内角和与外角和相等，都等于360°，故本选项表述错误；
C．六四边形的内角和与外角和相等，都等于360°，故本选项表述错误；
D．四边形的内角和与外角和相等，都等于360°，故本选项表述正确．
故选：D．
4．（4分）给出下列等式，其中正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6 B．a3÷a﹣2＝a
C．a﹣5＝（a3）﹣2 D．＝（ab）﹣3
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，负整数指数幂的定义以及幂的乘方与积的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A、a3•a2＝a5，故本选项不合题意；
B、a3÷a﹣2＝a5，故本选项不合题意；
C、（a3）﹣2＝a﹣6，故本选项不合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D．
5．（4分）若在第一象限的△ABC关于某条直线对称后的△DEF在第四象限，则这条直线可以是（ ）
A．直线x＝﹣1 B．x轴 C．y轴 D．直线x＝
【分析】根据轴对称的性质判断即可．
【解答】解：若在第一象限的△ABC关于某条直线对称后的△DEF在第四象限，则这条直线可以是x轴，
故选：B．
6．（4分）下列因式分解正确的是（ ）
A．3p2﹣3q2＝（3p+3q）（p﹣q） B．m4﹣1＝（m2+1）（m2﹣1）
C．2p+2q+1＝2（p+q）+1 D．m2﹣4m+4＝（m﹣2）2
【分析】利用提取公因式法、平方差公式和完全平方公式法分别因式分解分析得出答案．
【解答】解：选项A：3p2﹣3q2＝3（p2﹣q2）＝3（p+q）（p﹣q），不符合题意；
选项B：m4﹣1＝（m2+1）（m2﹣1）＝m4﹣1＝（m2+1）（m+1）（m﹣1），不符合题意；
选项C：2p+2q+1不能进行因式分解，不符合题意；
选项D：m2﹣4m+4＝（m﹣2）2，符合题意．
故选：D．
7．（4分）某次列车平均提速vkm/h，用相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km，则方程+v＝所表达的等量关系是（ ）
A．提速前列车行驶skm与提速后行驶（s+50）km的时间相等
B．提速后列车每小时比提速前列车每小时多开vkm
C．提速后列车行驶（s+50）km的时间比提速前列车行驶skm多vh
D．提速后列车用相同的时间可以比提速前多开50km
【分析】利用提速后列车每小时比提速前列车每小时多的路程分析．
【解答】解：方程表达的等量关系是提速后列车每小时比提速前列车每小时多开vkm，
故选：B．
8．（4分）如图，点F，C在BE上，AC＝DF，BF＝EC，AB＝DE，AC与DF相交于点G，则与2∠DFE相等的是（ ）
A．∠A+∠D B．3∠B C．180°﹣∠FGC D．∠ACE+∠B
【分析】根据等式的性质得出BC＝EF，进而利用SSS证明△ABC与△DEF全等，利用全等三角形的性质得出∠ACB＝∠DFE，最后利用三角形内角和解答．
【解答】解：∵BF＝EC，
∴BF+FC＝EC+FC，
∴BC＝EF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠ACB＝∠DFE，
∴2∠DFE＝180°﹣∠FGC，
故选：C．
9．（4分）传说，古埃及人常用“拉绳”的方法画直角，有一根长为m的绳子，古埃及人用这根绳子拉出了一个斜边长为n的直角三角形，那么这个直角三角形的面积用含m和n的式子可表示为（ ）
A． B． C． D．
【分析】设这个直角三角形的两直角边分别为a，b，根据三角形的周长以及勾股定理得出方程组，利用完全平方公式求出2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝m2﹣2mn，两边除以4即可求出这个直角三角形的面积．
【解答】解：设这个直角三角形的两直角边分别为a，b，
由题意可得，，
∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝（m﹣n）2﹣n2＝m2﹣2mn，
∴这个直角三角形的面积＝ab＝．
故选：A．
10．（4分）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，CD＝2，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，∠AED＝120°，设AB＝x，CE＝y，则下列式子可以表示线段AD长的是（ ）
A．x+y+ B．x+y+2 C．x+y+2 D．x+y+
【分析】在AD上截取AG＝AB，DH＝DC，连接EG、EH，证明△ABE≌△AGE（SAS），△DEH≌△DEC（SAS），由全等三角形的性质得出BE＝GE，∠AEB＝∠AEG，CE＝HE，∠CED＝∠HED，证明△EGH是含30度角的直角三角形，根据勾股定理即可得出结论．
【解答】解：如图，在AD上截取AG＝AB＝x，DH＝DC，连接EG、EH，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠GAE，
在△ABE和△AGE中，
，
∴△ABE≌△AGE（SAS），
∴∠AEB＝∠AEG，∠AGE＝∠B＝90°，
∵DE平分∠ADC，
同理可证：△DEH≌△DEC（SAS），
∴∠DEH＝∠DEC，EH＝EC＝y，
∵∠AED＝120°，∠AEB+∠CED＝180°﹣120°＝60°，
∴∠AEG+∠HED＝60°，
∴∠GEH＝60°，
∵∠EGF＝90°，
∴∠EHG＝30°，
∴EG＝EF＝y，
∴GH＝＝y，
∵AD＝AG+GH+HD＝x+y+2．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）一次研究中发现某个新冠肺炎病毒的尺寸大约0.00000003m，则0.00000003用科学记数法可写为 3×10﹣8 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000003＝3×10﹣8．
故答案为：3×10﹣8．
12．（4分）若代数式的值为0，则实数x的值是 2 ．
【分析】根据分式的值为零的条件即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：，
∴x＝2．
故答案为：2．
13．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝3，则AB＝ 2 ．
【分析】根据直角三角形30°的角对的直角边是斜边的一半，利用勾股定理即可求出各边．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°．
∴AB＝2AC．
设AC＝x．则AB＝2x．
∴x2+32＝（2x）2
∴x＝．
∴．
故答案为：2．
14．（4分）若3x﹣2＝y，则8x÷2y＝ 4 ．
【分析】由3x﹣2＝y可得3x﹣y＝2，再根据幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则计算即可．
【解答】解：因为3x﹣2＝y，
所以3x﹣y＝2，
所以8x÷2y＝23x÷2y＝23x﹣y＝22＝4．
故答案为：4．
15．（4分）若等腰三角形两底角平分线相交所形成的钝角是128°，则这个等腰三角形的顶角的度数是 76° ．
【分析】先根据角平分线的性质、三角形的内角和定理求出等腰三角形两底角的度数和．再根据等腰三角形的性质和三角形内角和求出顶角的度数．
【解答】解：
∵∠BOC＝128°，
∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC＝180°﹣128°＝52°，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝104°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣104°＝76°．
.故答案为：76°．
16．（4分）若三个正数a，b，c满足a+4+3b﹣2﹣c＝0，则的值是 1 ．
【分析】直接将原式凑成平方差公式，即可得出答案正数．
【解答】解：a+4+3b﹣2﹣c＝0，
＝0，
∵a，b，c是正数，
∴＝，
∴，
∴．
故答案为：1．
三、解笞题（本大题共9小题，共86分）
17．计算：
（1）（2m+1）2﹣4m；
（2）．
【分析】（1）先利用完全平方公式展开，然后合并同类项即可；
（2）先利用二次根式的乘法法则运算，然后化简即可．
【解答】解：（1）原式＝4m2+4m+1﹣4m
＝4m2+1；
（2）原式＝﹣
＝﹣
＝2﹣3．
18．先化简，再求值：（x+）÷（x+1），其中x＝．
【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（x+）÷（x+1）
＝
＝
＝，
当x＝时，原式＝＝．
19．如图，已知点B，F，C，E在同一直线上，AB∥DE，BF＝CE，AB＝ED，求证：∠A＝∠D．
【分析】根据平行线的性质得出∠B＝∠E，进而利用SAS证明△ABC与△DEF全等，利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E，
∵BF＝CE，
∴BF+CF＝CE+CF，
∴BC＝EF，
在△ABC与△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠A＝∠D．
20．已知正实数a满足a+＝5，且＝1﹣a，求a﹣的值．
【分析】根据a+＝5，且＝1﹣a，利用完全平方公式和算术平方根的定义，可以求得所求式子的值．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴a2﹣2+＝（a﹣）2＝21，
∴a﹣＝±，
∵＝1﹣a，
∴1﹣a≥0，
∴0＜a≤1，
∴a﹣＜0，
∴a﹣＝﹣．
21．如图，已知四边形ABCD中，AD＝2，CD＝2，∠B＝30°，过点A作AE⊥BC，垂足为E，AE＝1，且点E是BC的中点，求∠BCD的度数．
【分析】连接AC．根据线段垂直平分线的性质得出AB＝AC，根据等边对等角得出∠ACB＝∠B＝30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AC＝2AE＝2．在△ACD中，根据勾股定理的逆定理得出∠ACD＝90°，那么∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝120°．
【解答】解：如图，连接AC．
∵AE⊥BC，点E是BC的中点．
∴AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝30°，
∴AC＝2AE＝2．
∴在△ACD中，AD2＝8，AC2+CD2＝4+4＝8，
∴AD2＝AC2+CD2，
∴∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝120°．
22．甲、乙两个工程队承担了福州市今年的旧城改造工作中的一个办公楼项目，若乙队单独工作3天后，再由两队合作7天就可以完成这个项目，已知乙队单独完成这个项目所需天数是甲队单独完成这各项目所需天数的2倍．
（1）求甲，乙两个工程队单独完成这个项目各需多少天；
（2）甲工程队一天的费用是7万元，乙工程队一天的费用是3万元，若甲乙合作5天后剩余工作由乙队单独完成，求这个项目总共要支出的工程费用．（单位：万元）
【分析】（1）设甲工程队单独完成这个项目需要x天，则乙工程队单独完成这个项目需要2x天，根据甲工程队完成的工程量+乙工程队完成的工程量＝总工程量，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设甲乙两队合作5天后乙队还要再单独工作y天，根据甲工程队完成的工程量+乙工程队完成的工程量＝总工程量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y值，再利用总工程费用＝每天所需工程费用×工作时间，即可求出结论．
【解答】解：（1）设甲工程队单独完成这个项目需要x天，则乙工程队单独完成这个项目需要2x天，
依题意得：+＝1，
解得：x＝12，
经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意，
∴2x＝24．
答：甲工程队单独完成这个项目需要12天，乙工程队单独完成这个项目需要24天．
（2）设甲乙两队合作5天后乙队还要再单独工作y天，
依题意得：+＝1，
解得：y＝9，
∴7×5+3×（5+9）＝77（万元）．
答：这个项目总共要支出的工程费用为77万元．
23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC边于点D．
（1）请通过尺规作出一个点E，连接DE，使△ADE与△ADC关于AD对称；（保留痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若DE，EB，DB的长度是三个从小到大的连续正整数，求AD的长．
【分析】（1）先以A为圆心，AC为半径画圆，交AB于点E，连接DE即可；
（2）根据对称的性质和勾股定理解答即可．
【解答】解：（1）点E如图所作；
（2）∵DE，EB，DB的长度是三个从小到大的连续正整数，
∴设EB＝a，则DE＝a﹣1，DB＝a+1，
∵△ACD与△AED关于AD对称，
∴△ACD≌△AED，
∴∠AED＝∠ACD＝90°，
在Rt△DEB中，根据勾股定理BD2＝DE2+EB2，
∴（a+1）2＝（a﹣1）2+a2，
解得a＝4，
设AC＝x，则AE＝x，AB＝x+4，
∴在Rt△ABC中，根据勾股定理AC2+BC2＝AB2，
∴x2+82＝（x+4）2，
解得x＝6，
在Rt△ACD中，根据勾股定理．
24．我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如，都是根分式．
（1）请根据以上信息，写出一个取值范围是x＞2的根分式： ；
（2）已知两个根分式M＝与N＝．
①是否存在x的值使得N2﹣M2＝1，若存在，请求出x的值，若不存在，请说明理由；
②当M2+N2是一个整数时，写出两个满足条件的无理数x的值．
【分析】（1）依照根分式的定义写一个即可；
（2）①根据N2﹣M2＝1建立关于x的等式，即可求出x的值，注意需要判断x的值是否使根分式有意义；
②表达M2+N2，分离整式，再判断什么时候为整数，求出x的值．
【解答】解：（1）．
（2）①∵，
∴，
∴x2﹣6x+8＝x2﹣4x+4，
解得x＝2，
检验，当x＝2时，（x﹣2）2＝0，
所以原分式方程无解，
从而不存在x的值使得N2﹣M2＝1．
②∵，
∴＝＝，
∴当M2+N2是一个整数时，（x﹣2）2可以取1或2，等，
∴当x是无理数时，或x﹣2＝±，
由于当时，x﹣1＜0，舍去，
∴，x＝2+，x＝2﹣（答案不唯一）．
25．如图，已知在平面直角坐标系中，点A（0，n）是y轴上的一点，且n使得+有意义，以OA为边在第一象限内作等边三角形△OAB．
（1）求点B的坐标；
（2）若点C是在射线BO上第三象限内的一点，连接AC，以AC为边在y轴右侧画等边三角形△ACD，连接BD，OD．
①请先依题意补全图形后，求∠ABD的度数；
②当OD最小时，求△ACD的边长．
【分析】（1）利用非负数的性质求解即可．
（2）①根据要求作出图形即可．证明△AOC≌△ABD（SAS），可得结论．
②由图可知，点D在与AB夹角为120°的直线上运动，推出当OD⊥BD时OD最短，此时点D在x轴上．
【解答】解：（1）∵有意义
∴，
∴n＝4，
∴等边△OAB的边长为4，
过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，
∵∠BOC＝30°，
∴，
∴，
点B的坐标为．
（2）①△ACD如图所画：
∵△AOB与△ACD是等边三角形，
∴∠CAD＝∠OAB＝∠AOB＝60°，AC＝AD，AB＝AO，
∴∠CAO＝60°﹣∠OAD＝∠DAB，
∴△AOC≌△ABD（SAS），
∴∠ABD＝∠AOC＝180°﹣∠AOB＝120°．
②∵∠ABD＝120°，
∴由图可知，点D在与AB夹角为120°的直线上运动，
∴当OD⊥BD时OD最短，此时点D在x轴上，
∴点B的坐标为，
∴，
在Rt△AOD中，根据勾股定理，
∴等边△ACD的边长为．
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