福建省福州第十九中学、第十六中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷（含答案）

这是一份福建省福州第十九中学、第十六中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷（含答案），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年福建省福州十九中、十六中八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x＜2
2．在平行四边形ABCD中，∠A＝130°，则∠C＝（ ）
A．130° B．50° C．30° D．120°
3．如图，三个四边形均为正方形，则字母B所表示的值为（ ）

A．12 B．13 C．144 D．194
4．下列运算正确的（ ）
A． B． C． D．
5．某种签字笔每只a元，买5只签字笔共支出b元，下列选项判断正确的是（ ）
A．a是常量时，b是变量 B．a是变量时，b是常量
C．a是变量时，b也是变量 D．无论a论常量还是变量，b都是变量
6．若k＞0，b＜0，则函数y＝kx+b的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知OA＝3，则BD等于（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
8．点A（﹣2，y1），B（3，y2）在一次函数y＝x+b的图象上，y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．y1≥y2
9．如图，在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个正方形网格中不是直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
10．甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓售价相同的条件下，分别推出下列优惠方案：进入甲园，顾客需购买门票，采摘的草莓按六折优惠；进入乙园，顾客免门票，采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售，活动期间，某顾客的草莓采摘量为x千克，若在甲园采摘需总费用y1元，在乙园采摘需总费用y2元．y1、y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）

A．乙园草莓优惠前的销售价格是30元/千克 B．甲园的门票费用是60元
C．乙园超过5千克后，超过部分的价格按五折优惠
D．顾客用280元在甲园采摘草莓比到乙园采摘草莓更多
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．）
11．若正比例函数y＝kx的图象经过点（1，2），则k＝__________．
12．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若BC＝10，则DE＝__________．

13．若菱形的对角线长分别为与，则菱形的面积为__________．
14．若直线y＝ax+4（a≠0）上的两点分别为，则a的值为__________．
15．如图，一次函数y＝ax+b的图象为直线l，则关于x的方程的解为 __________．

16．如图，点O为▱ABCD内一点，连接OA，OB，OC，OD，且S△BCO＝2，，连接BD，则S△BDO的值为________________．

三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．计算：．
18．已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，求AB的长．
19．如图，在▱ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．求证：AE＝CF．

20．《九章算术》是我国古代数学的经典著作．书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？

21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，点D为AB的中点，连接CD，过点D作DE∥BC，且DE＝BC，连接BE，求证：四边形BCDE是菱形．

22．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC．
（1）尺规作图：在矩形ABCD中，作正方形ABEF（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若有一个正方形PQMN，其中顶点P，Q，N分别在矩形的AB，BC，AD边上（与端点不重合），顶点M在矩形内部，证明：S正方形PQMN＜S正方形ABEF．

23．“生命在于运动”．随着人民生活水平的不断提高，人们越来越关注身体健康，积极参与各类健身运动．研究表明，运动时心跳速率通常和人的年龄有关（如表）．
（备注：靶心率是指在有氧运动时心率的一个特定范围，在此范围内运动才能取得较好的健身效果，一般而言，越接近有氧心率范围的高限，训练效果越好，最大心率是指正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数．）
年龄（岁）
靶心（50～85%）（次/分）
最大心率平均值（次/分）
20
100﹣170
200
30
95﹣162
190
35
93﹣157
185
40
90﹣153
180
45
88﹣149
175
50
85﹣145
170
55
83﹣140
165
60
80﹣136
160
65
78﹣132
155
70
75﹣128
150
请根据上述信息，用函数的观点探究下面问题：
（1）在正常情况下，14岁的小红在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数是多少？
（2）小红妈妈今年42岁．在某次运动时，测得10秒心跳次数为25次．请你评价一下此次运动训练效果？说说你的理由．

24．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上，连接AE，BF，且AE⊥BF．
（1）求证：AE＝BF；
（2）将线段BF向右平移得到线段EG（点B与点E重合），连接CG、DG．
①若，求CG的长；
②设BE＝x，DG＝y，求y关于x的函数关系式，并直接写出y的取值范围．

25．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B．当x＞3时，y＜0；当x＜3时，y＞0．
（1）求k，b的关系式（用含b的代数式表示k）；
（2）若∠ABO＝60°．
①求直线l1的解析式；
②若直线l2：y＝mx+m与直线l1相交，且两条直线所夹的锐角为45°，求m的值．
参考答案
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣2≥0，再解即可．
解：二次根式在实数范围内有意义，
则x﹣2≥0，
解得x≥2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
2．【分析】根据平行四边形的性质即可进行解答．
解：如图：

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C＝130°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角相等．
3．【分析】利用勾股定理进行计算，即可解答．
解：由勾股定理得：SB＝169﹣25＝144，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
4．【分析】根据同类二次根式可以判断A；根据二次根式除法可以判断B；根据二次根式的乘法可以判断C；根据算术平方根可以判断D．
解：与不是同类二次根式，不能合并，故选项A不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C正确，符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
5．【分析】根据常量和变量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，判断即可．
解：根据题意，可知a是变量时，b也是变量，
故选：C．
【点评】本题考查了常量和变量，熟练掌握常量和变量的概念是解题的关键．
6．【分析】直接根据一次函数图象与系数的关系判断即可．
解：∵k＞0，b＜0，
∴y＝kx+b的图象在一、三、四象限，
故选B．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于y＝kx+b（k为常数，k≠0），
当k＞0，b＞0，y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
当k＞0，b＜0，y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
当k＜0，b＞0，y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
当k＜0，b＜0，y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
7．【分析】根据矩形的对角线相等且相互平分即可解决问题．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝3，
∴BD＝2OA＝6，
故选：D．
【点评】本题考查矩形的性质，解题的关键是根据矩形的对角线相等且互相平分解决问题，属于基础题．
8．【分析】由k＝1＞0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，结合﹣2＜3，即可得出y1＜y2．
解：∵k＝1＞0，
∴y随x的增大而增大，
又∵点A（﹣2，y1）和点B（3，y2）是一次函数y＝x+b图象上的两点，且﹣2＜3，
∴y1＜y2．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
9．【分析】分别求A、B、C、D选项中各三角形的边长，根据勾股定理的逆定理可以判定A、B、D中三角形为直角三角形，C为钝角三角形，即可解题．
解：设网格中每个小正方形的边长是1．
图A中各边长为2、4、，，故该三角形为直角三角形；
图B中各边长，，故该三角形为直角三角形；
图C中三角形各边长为，，故该三角形为钝角三角形；
图D中各边长为，，故该三角形为直角三角形．
即A、B、D是直角三角形，C不是直角三角形．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了勾股定理．
10． 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
解：由图象可得，
草莓优惠前的销售价格是150÷5＝30（元/千克），故选项A正确；
甲园的门票费用是60元，故选项B正确；
乙园超过5千克后，超过的部分价格是（元/千克），15÷30×100%＝50%，故选项C正确；
若顾客用280元在甲园采摘草莓比到乙园采摘草莓更少，故选项D错误；
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．）
11． 2 ．
【分析】由点（1，2）在正比例函数图象上，根据一次函数图象上点的坐标特征即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出k值．
解：∵正比例函数y＝kx的图象经过点（1，2），
∴2＝k×1，即k＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是得出2＝k×1．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征求出一次函数的系数是关键．
12． 5 ．
【分析】根据三角形中位线定理计算即可．
解：∵点D，E分别是AB，AC的中点，
，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
13． ．
【分析】根据菱形面积等于两条对角线长度乘积的一半，即可求得答案；
解：菱形的面积，
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质：菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半；熟练掌握菱形面积公式是解题关键．
14．﹣2 ．
【分析】根据直线y＝ax+4（a≠0）上的两点分别为（m，n）、，可得，进一步求解即可．
解：∵直线y＝ax+4（a≠0）上的两点分别为（m，n）、，
∴，
解得a＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
15． ．

【分析】根据一次函数图象可得一次函数y＝ax+b的图象经过（2，0）点，则函数的图象经过点，进而得到方程的解．
解：∵一次函数y＝ax+b的图象经过（2，0）点，
∴一次函数y＝ax+b的图象向右平移单位后，交x轴于点，
∴关于x的方程的解为，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，一次函数图象与几何变换，关键是正确利用数形结合的方法解决问题．
16．．
【分析】设△COD的面积为x，根据S平行四边形ABCD＝2（S△ABO+S△COD）＝2S△BCD，列式整理即可得解．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S平行四边形ABCD＝2（S△ABO+S△COD）＝2S△BCD，
设△COD的面积为x，
∴S平行四边形ABCD＝＝2（S阴影△BOD+x+2），
，
即阴影部分的面积为，
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握平行四边形的性质，弄清平行四边形的面积与三角形的面积关系是解题的关键．
三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．【分析】先算乘除，再化为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可．
解：原式

．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．
18．【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出OA，OB的长，再在Rt△OAB中，利用勾股定理，即可求出AB的长．
解：当x＝0时，，
∴点B的坐标为（0，3），
∴OB＝3；
当y＝0时，，
解得：x＝6，
∴点A的坐标为（6，0），
∴OA＝6．
在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝6，OB＝3，
．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理，利用一次函数图象上点的坐标特征，求出一次函数图象与两坐标轴的交点坐标是解题的关键．
19．【分析】根据平行四边形的性质求出AB＝CD，AB∥CD，再根据平行线的性质可得∠ABE＝∠CDF，然后利用AAS推出△ABE≌△CDF，根据全等三角形的对应边相等即可证明AE＝CF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF．
又∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°．
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，属于基础题，比较简单．
20．【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺．利用勾股定理解题即可．
解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.55．
答：原处还有4.55尺高的竹子．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
21．【分析】先证明四边形BCDE是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而证明△BCD为等边三角形得到BC＝CD，根据菱形的判定定理可证得结论．
【解答】证明：∵DE∥BC，且DE＝BC，
∴四边形BCDE是平行四边形．
∵CD为Rt△ABC的斜边AB上的中线，
．
∵∠ABC＝60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴BC＝CD，
∴四边形BCDE是菱形．
【点评】本题考查菱形的判定，涉及平行四边形的判定、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握相关知识的联系与运用，证明△BCD为等边三角形是解答的关键．
22．【分析】（1）根据邻边相等的矩形是正方形作图；
（2）先证明正方形PQMN的四个顶点都在正方形ABEF的边上，且顶点不重合，得出结论．
解：（1）如图：正方形ABEF即为所求；

（2）如图：连接FM，ME，
在正方形PQMN，正方形ABEF中，
AF＝AB＝BE＝EF，PN＝PQ＝QM＝MN，∠A＝∠B＝∠PNM＝∠MEB＝90°，
∴Rt△APN≌Rt△BQP（HL），
∴AN＝BP，AP＝BQ，
∴AP＝NF，
∵∠APN+∠ANP＝∠ANP+∠MNF＝90°，
∴∠APN＝∠FNM，
∴△APN≌△FNM（SAS），
∴FM＝NA，
同理：ME＝BQ，
∴FM+ME＝AB＝EF，
∴F、M、E三点共线，
∵P，Q，N与A、B、E不重合，
∴S正方形PQMN＜S正方形ABEF．
【点评】本题考查了作图的应用和设计，掌握正方形的性质和判定是解题的关键．
23．
【分析】（1）利用待定系数法求出一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数y（次）是这个人的年龄x（岁）的函数关系式，再把x＝14代入计算即可；
（2）根据（1）式中的函数关系式求得42岁的正常心跳值，与测得1分钟的心跳数比较大小．
解：设一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数y（次）是这个人的年龄x（岁）的函数关系式为y＝kx+b，
根据题意得：，
解得，
∴y＝﹣x+220，
当x＝14时，y＝﹣14+200＝186，
答：在正常情况下，14岁的小红在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数是186次；
（2）当x＝42时，y＝﹣42+200＝158；
∵小红妈妈10秒心跳次数为25次24次，
∴他每分钟心跳次数为25×6＝150次，
显然，150＜158，
故小红妈妈运动量合适，没有危险．
【点评】本题考查一次函数的应用及，通过待定系数法求得y关于x的函数关系式是解答本题的关键．
24．【分析】（1）设AE交BF于点P，由四边形ABCD是正方形得AD＝BA，∠D＝∠BAF＝90°，由BF⊥AE得∠APB＝90°，根据同角的余角相等可证明∠DAE＝∠ABF，即可证明△DAE≌△ABF，得AE＝BF；
（2）①结合（1）根据平移的性质证明四边形BFGE是平行四边形，可得GF＝BE＝，FG∥BE，然后证明△FCG是等腰直角三角形，进而可以解决问题；
②根据勾股定理可得y关于x的函数关系式，进而可以写出y的取值范围．
【解答】（1）证明：如图，设AE交BF于点P，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，
∵AE⊥BF，
∴∠APB＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠CBF+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE＝BF；
（2）①如图，连接GF，
由平移可知：BF∥EG，FB＝EG，
∴四边形BFGE是平行四边形，
∴，FG∥BE，
由（1）知：△ABE≌△BCF，
，
，
∵BE⊥CD，BE∥FG，
∴FG⊥CD，
∴∠GFC＝90°，
∴△FCG是等腰直角三角形，
；

②∵BE＝FG＝CF＝x，
∴DF＝CD﹣CF＝4﹣x，
∵DG＝y，∠DFG＝90°，
，
∴y关于x的函数关系式为；
，
，
∵0＜x≤4，
∴y的取值范围是．
【点评】此题属于四边形综合题，考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、函数关系式、勾股定理等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形和平行四边形是解题的关键．
25．【分析】（1）根据当x＞3时，y＜0；当x＜3时，y＞0，可得当x＝3时，y＝0，即A（3，0），即可得k，b的关系式为；
（2）①由A（3，0），∠ABO＝60°，可得，用待定系数法即可得直线l1的解析式为；②设直线l2与x轴交于D，连接BD，直线l1与直线l2交于C，分两种情况：当C在y轴左侧时，过C作CH⊥y轴于H，由y＝mx+m可得D（﹣1，0），即可得BD2+AB2＝AD2，故∠ABD＝90°＝∠DBC，从而△BCD是等腰直角三角形，由∠CBH＝∠ABO＝60°，可得，代入y＝mx+m得；当C在y轴右侧时，过C作CK⊥x轴于K，由△BDC是等腰直角三角形，有，而∠ABO＝60°，即可得，代入y＝mx+m得．
解：（1）∵当x＞3时，y＜0；当x＜3时，y＞0，
∴当x＝3时，y＝0，即A（3，0），
∴3k+b＝0，
∴，
∴k，b的关系式为；
（2）①如图：

由（1）知，A（3，0），
∵∠ABO＝60°，
∴∠BAO＝30°，
，
，
把代入y＝kx+b得：
，
解得，
∴直线l1的解析式为；
②设直线l2与x轴交于D，连接BD，直线l1与直线l2交于C，
当C在y轴左侧时，过C作CH⊥y轴于H，如图：

在y＝mx+m中，令y＝0得x＝﹣1，
∴D（﹣1，0），
，
，
∴BD2+AB2＝AD2，
∴∠ABD＝90°＝∠DBC，
∵∠ACD＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BC＝BD＝2，
在Rt△BCH中，∠CBH＝∠ABO＝60°，
∴∠BCH＝30°，
，
，
把代入y＝mx+m得：
，
解得；
当C在y轴右侧时，过C作CK⊥x轴于K，如图：

∵∠BCD＝45°，∠DBC＝90°，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∴BC＝BD＝2，
，
，
∵∠ABO＝60°，
∴∠BAO＝30°，
在Rt△ACK中，
，
，
，
把代入y＝mx+m得：
，
解得，
综上所述，两条直线所夹的锐角为45°，m的值为或．
【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形的性质及应用，含30°角的直角三角形三边关系等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．