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福建省泉州市石狮市2020-2021学年八年级上学期期末数学试卷（word版 含答案）
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这是一份福建省泉州市石狮市2020-2021学年八年级上学期期末数学试卷（word版 含答案），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年福建省泉州市石狮市八年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．下列四个数中，属于无理数的是（ ）
A．0 B． C． D．3.14159
2．下列对于的大小估算正确的是（ ）
A．7＜＜8 B．5＜＜6 C．3＜＜4 D．2＜＜3
3．下列运算中正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（a2）3＝a5
C．（2b）3＝6b3 D．（﹣a）3÷（﹣a）＝a2
4．以下列给出的三角形的三边长构成的三角形是直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．0.3，0.4，0.5 D．，，
5．下列能利用平方差公式进行计算的是（ ）
A．（b+a）（a﹣b） B．（a+b）（b+a）
C．（a+b）（﹣a﹣b） D．（a﹣b）（﹣a+b）
6．若等腰三角形的两边长为3和7，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．10 B．13 C．17 D．13或17
7．若要说明命题：“如果a＜b，那么a2＜b2”是假命题，则可以举的反例是（ ）
A．a＝2，b＝3 B．a＝﹣2，b＝﹣3 C．a＝﹣3，b＝﹣2 D．a＝﹣2，b＝3
8．某中学八（2）班开展以“节约每一滴水”为主题的活动．生活委员随访了班上10名同学，并统计他们各家庭12月份节约用水的情况，其结果如下表所示．已知这10个家庭该月共节水27m3，则表中x的值为（ ）
节水量（m3）
1
x
3
3.5
家庭数
1
4
a
2
A．0.5 B．1.5 C．2 D．2.5
9．如图，点E，C，F，B在同一条直线上，AC∥DF，EC＝BF，则添加下列条件中的一个条件后，不一定能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AC＝DF B．AB＝DE C．∠A＝∠D D．AB∥DE
10．已知点O在直线AB上，点P在直线AB外，以OP为一边作等腰三角形POM，使第三个顶点M在直线AB上，则点M的个数为（ ）
A．2 B．2或4 C．3或4 D．2或3或4
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．计算：25的平方根是 ．
12．因式分解：x2﹣5x＝ ．
13．如图是某地2020年5月1～10日每天最高温度的折线统计图，由此图可知该地这10天中，出现气温为26℃的频率是 ．
14．如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，垂足为点E，交BC于点D，连结AD．若∠C＝α，则∠ADB＝ ．（用含α的代数式表示）
15．计算：＝ ．
16．将一张等边三角形纸片ABC和一块直角三角板DBC（其中∠DBC＝45°）按如图所示的位置摆放．若BD＝，则点A和点D之间的距离为 ．
三、解答题（共86分）
17．计算：﹣+．
18．先化简，再求值：[（3x﹣y）2﹣y（y﹣3x）]÷3x，其中x＝，y＝﹣2．
19．今年春季因疫情“停课复学”后，某校数学兴趣小组通过问卷调查的方式，以“非常满意”、“满意”、“不满意”、“无所谓”四个项目随机调查了部分学生对“线上教学方式”的满意程度，并根据问卷结果制作了如下条形统计图和扇形统计图．
请依据以上信息，解决下列问题：
（1）满意程度为“不满意”类别的对应的扇形圆心角的大小为 ；
（2）请补全图中的条形统计图；
（3）若将“满意”和“非常满意”的情况定为“乐于接受”，试求出该次“线上教学方式”调查中，“乐于接受”的学生占被问卷的学生的百分比．
20．已知a+b＝3，ab＝﹣1，求下列代数式的值：
（1）（a+1）（b+1）；
（2）a3b+ab3．
21．如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边，在AB的上方作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连结AE，DB．求证：△ACE≌△DCB．
22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6．
（1）用尺规作图：在AC边上确定一点D，使得点D到BC，AB的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的前提下，求点D到AB的距离．
23．街心花园有一块长为a米，宽为b米（a＞b）的长方形草坪，经统一规划后，长方形的长减少x米，宽增加x米（x＞0），改造后仍得到一块长方形的草坪．
（1）求改造后长方形草坪的面积；
（2）小明认为无论x取何值，改造前与改造后两块长方形草坪的面积相同．你认为小明的观点正确吗？请说明理由．
24．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝10，点D为AB的中点，连结DC．
点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿射线AC方向运动，连结DE．过点D作DF⊥DE，交射线CB于点F，连结EF．设点E的运动时间为t（秒）．
（1）如图，当0＜t＜10时．
①求证：∠ADE＝∠CDF；
②试探索四边形CEDF的面积是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不为定值，请说明理由；
（2）当t≥10时，试用含t的代数式表示△DEF的面积．
25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＞AC，CD⊥AB于点D，点E是AB的中点，连接CE．
（1）若AC＝3，BC＝4，求CD的长；
（2）求证：BC2﹣AC2＝2DE•AB；
（3）求证：CE＝AB．
参考答案
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．下列四个数中，属于无理数的是（ ）
A．0 B． C． D．3.14159
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
解：A．0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B．是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
C．是无理数，故本选项符合题意；
D．3.14159是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：C．
2．下列对于的大小估算正确的是（ ）
A．7＜＜8 B．5＜＜6 C．3＜＜4 D．2＜＜3
【分析】根据＜＜，可得答案．
解：∵＜＜，
∴3＜＜4．
故选：C．
3．下列运算中正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（a2）3＝a5
C．（2b）3＝6b3 D．（﹣a）3÷（﹣a）＝a2
【分析】利用同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．
解：A、a2•a3＝a5，故A不符合题意；
B、（a2）3＝a6，故B不符合题意；
C、（2b）3＝8b3，故C不符合题意；
D、（﹣a）3÷（﹣a）＝a2，故D符合题意；
故选：D．
4．以下列给出的三角形的三边长构成的三角形是直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．0.3，0.4，0.5 D．，，
【分析】分别计算三边的长的平方，看是否满足勾股定理即可判断．
解：A．（）2＝，（）2＝，（）2＝，+，故不是直角三角形；
B．（）2＝3，（）2＝4，（）2＝5，3+4≠5，故不是直角三角形；
C.0.32＝0.09，0.42＝0.16，0.52＝0.25，0.09+0.16＝0.25，故是直角三角形；
D．（）3＝3，（）3＝4，（）3＝5，3+4＝5，故不是直角三角形；
故选：C．
5．下列能利用平方差公式进行计算的是（ ）
A．（b+a）（a﹣b） B．（a+b）（b+a）
C．（a+b）（﹣a﹣b） D．（a﹣b）（﹣a+b）
【分析】根据平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2解答即可．
解：A、原式＝a2﹣b2，能用平方差公式计算，故该选项符合题意；
B、没有相反的项，不能用平方差公式计算，故该选项不符合题意；
C、没有完全相同的项，不能用平方差公式计算，故该选项不符合题意；
D、没有完全相同的项，不能用平方差公式计算，故该选项不符合题意；
故选：A．
6．若等腰三角形的两边长为3和7，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．10 B．13 C．17 D．13或17
【分析】因为等腰三角形的两边为3和7，但已知中没有点明底边和腰，所以有两种情况，需要分类讨论，还要注意利用三角形三边关系考查各情况能否构成三角形．
解：当3为底时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，周长为17；
当3为腰时，其它两边为3和7，
∵3+3＝6＜7，
所以不能构成三角形，故舍去，
∴答案只有17．
故选：C．
7．若要说明命题：“如果a＜b，那么a2＜b2”是假命题，则可以举的反例是（ ）
A．a＝2，b＝3 B．a＝﹣2，b＝﹣3 C．a＝﹣3，b＝﹣2 D．a＝﹣2，b＝3
【分析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．
解：当a＝﹣3，b＝﹣2时，有a＜b，
但a2＞b2，
故选：C．
8．某中学八（2）班开展以“节约每一滴水”为主题的活动．生活委员随访了班上10名同学，并统计他们各家庭12月份节约用水的情况，其结果如下表所示．已知这10个家庭该月共节水27m3，则表中x的值为（ ）
节水量（m3）
1
x
3
3.5
家庭数
1
4
a
2
A．0.5 B．1.5 C．2 D．2.5
【分析】根据题意先求出a的值，再根据这10个家庭该月共节水27m3，列出算式，求出x的值即可．
解：a＝10﹣1﹣4﹣2＝3（户），
1×1+4x+3×3+3.5×2＝27，
解得：x＝2.5，
则表中x的值为2.5．
故选：D．
9．如图，点E，C，F，B在同一条直线上，AC∥DF，EC＝BF，则添加下列条件中的一个条件后，不一定能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AC＝DF B．AB＝DE C．∠A＝∠D D．AB∥DE
【分析】先证明∠ACB＝∠DFE，EF＝BC，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
解：∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∵EC＝BF，
∴EC+CF＝BF+CF，
即EF＝BC，
∴当添加AC＝DF时，可根据“SAS”判定△ABC≌△DEF；
当添加∠A＝∠D时，可根据“AAS”判定△ABC≌△DEF；
当添加AB∥DE时，∠B＝∠E，可根据“ASA”判定△ABC≌△DEF．
故选：B．
10．已知点O在直线AB上，点P在直线AB外，以OP为一边作等腰三角形POM，使第三个顶点M在直线AB上，则点M的个数为（ ）
A．2 B．2或4 C．3或4 D．2或3或4
【分析】利用图象法分三种情形求解即可．
解：如图1中，当∠POB≠90°或∠POB≠60°时，满足条件的点M有2个，
如图2中，当∠POB＝60°时，满足条件的点M有2个．
如图3中，当∠POB＝90°时，满足条件的点M有2个．
故选：B．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．计算：25的平方根是 ±5 ．
【分析】根据平方根的定义，结合（±5）2＝25即可得出答案．
解：∵（±5）2＝25
∴25的平方根±5．
故答案为：±5．
12．因式分解：x2﹣5x＝ x（x﹣5） ．
【分析】根据提公因式法，可分解因式．
解：x2﹣5x＝x（x﹣5）．
故答案为：x（x﹣5）．
13．如图是某地2020年5月1～10日每天最高温度的折线统计图，由此图可知该地这10天中，出现气温为26℃的频率是 0.3 ．
【分析】由频数分布折线图知，共有10个数据，其中26℃出现3次，再根据频率的概念求解即可．
解：由频数分布折线图知，共有10个数据，其中26℃出现3次，
所以出现气温为26℃的频率是3÷10＝0.3，
故答案为：0.3．
14．如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，垂足为点E，交BC于点D，连结AD．若∠C＝α，则∠ADB＝ 2α ．（用含α的代数式表示）
【分析】由线段垂直平分线的性质可得AC＝CD，即可得∠CAD＝∠C＝α，再利用三角形外角的性质可求解．
解：∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠CAD＝∠C＝α，
∴∠ADB＝∠CAD+∠C＝2α．
故答案为：2α．
15．计算：＝ ．
【分析】原式分子利用平方差公式分解，分母利用完全平方公式分解，约分计算即可得到结果．
解：原式＝
＝
＝．
故答案为：．
16．将一张等边三角形纸片ABC和一块直角三角板DBC（其中∠DBC＝45°）按如图所示的位置摆放．若BD＝，则点A和点D之间的距离为 ﹣1 ．
【分析】要求点A和点D之间的距离，所以想到连接AD，由于△ABC与△BDC都是等腰三角形，想到等腰三角形的“三线合一”的性质，进而延长AD交BC于点E，最后放在两个直角三角形中解决即可．
解：连接AD，并延长AD交BC于点E，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ABC＝60°，
∵∠BDC＝90°，∠DBC＝45°，
∴∠DCB＝90°﹣∠DBC＝45°，
∴DB＝DC，
∴AD是BC的垂直平分线，
即AE⊥BC，BE＝EC，
在Rt△BDE中，sin45°＝，cos45°＝，
∴DE＝sin45°＝1，BE＝cos45°＝1，
在Rt△ABE中，tan60°＝，
∴AE＝BEtan60°＝，
∴AD＝AE﹣DE＝﹣1，
故答案为：﹣1．
三、解答题（共86分）
17．计算：﹣+．
【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案．
解：原式＝6﹣4+4
＝6．
18．先化简，再求值：[（3x﹣y）2﹣y（y﹣3x）]÷3x，其中x＝，y＝﹣2．
【分析】法1：原式中括号里利用完全平方公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值；
法2：原式中括号里变形，分解因式化简后利用多项式除以单项式法则得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
解：法1：原式＝（9x2﹣6xy+y2﹣y2+3xy）÷3x
＝（9x2﹣3xy）÷3x
＝3x﹣y，
法2：
原式＝[（3x﹣y）2+y（3x﹣y）]÷3x
＝[（3x﹣y）（3x﹣y+y）]÷3x
＝（9x2﹣3xy）÷3x
＝3x﹣y，
当x＝，y＝﹣2时，原式＝3×﹣（﹣2）＝+2＝2．
19．今年春季因疫情“停课复学”后，某校数学兴趣小组通过问卷调查的方式，以“非常满意”、“满意”、“不满意”、“无所谓”四个项目随机调查了部分学生对“线上教学方式”的满意程度，并根据问卷结果制作了如下条形统计图和扇形统计图．
请依据以上信息，解决下列问题：
（1）满意程度为“不满意”类别的对应的扇形圆心角的大小为 36° ；
（2）请补全图中的条形统计图；
（3）若将“满意”和“非常满意”的情况定为“乐于接受”，试求出该次“线上教学方式”调查中，“乐于接受”的学生占被问卷的学生的百分比．
【分析】（1）根据选择D的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出满意程度为“不满意”类别的对应的扇形圆心角的度数；
（2）根据（1）中的结果和扇形统计图中的数据，可以先计算出选择B的人数，再根据条形统计图中的数据，可以计算出选择A的人数，然后即可将条形统计图补充完整；
（3）根据条形统计图中的数据，可以计算出“乐于接受”的学生占被问卷的学生的百分比．
解：（1）本次调查的学生有：40÷20%＝200（人），
满意程度为“不满意”类别的对应的扇形圆心角的大小为：360°×＝36°，
故答案为：36°；
（2）选择B的学生有：200×40%＝80（人），
选择A的学生有：200﹣80﹣20﹣40＝60（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）×100%＝70%，
即“乐于接受”的学生占被问卷的学生的百分比是70%．
20．已知a+b＝3，ab＝﹣1，求下列代数式的值：
（1）（a+1）（b+1）；
（2）a3b+ab3．
【分析】（1）根据乘法分配律把原式化简，再把a+b＝3，ab＝﹣1求值即可；
（2）先提出公因式ab，再把所得式子利用完全平方公式变形后，将a+b与ab的值代入计算即可求出值．
解：（1）（a+1）（b+1）＝ab+a+b+1＝ab+（a+b）+1，
∵a+b＝3，ab＝﹣1，
∴原式＝﹣1+3+1＝3；
（2）a3b+ab3＝ab（a2+b2）＝ab[（a+b）2﹣2ab]，
∵a+b＝3，ab＝﹣1
∴原式＝﹣1×[32﹣2×（﹣1）]＝﹣1×（9+2）＝﹣11．
21．如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边，在AB的上方作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连结AE，DB．求证：△ACE≌△DCB．
【分析】先根据等边三角形的性质得到∠ACD＝∠BCE＝60°，AC＝DC，CE＝CB，则∠ACE＝∠DCB，然后根据“SAS”判断△ACE≌△DCB．
【解答】证明：∵△ACD和△BCE都是等边三角形，
∴∠ACD＝∠BCE＝60°，AC＝DC，CE＝CB，
∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，
即∠ACE＝∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS）．
22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6．
（1）用尺规作图：在AC边上确定一点D，使得点D到BC，AB的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的前提下，求点D到AB的距离．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）过点D作DF⊥AB于点F．利用角平分线的性质定理以及勾股定理求解即可．
解：（1）如图，点D就是所要求作的点．
（2）过点D作DF⊥AB于点F．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
由（1）可得：BD平分∠ABC．
∵DC⊥BC，DF⊥AB，
∴DC＝DF，
∵BD＝BD，
∴Rt△BCD≌Rt△BFD（HL），
∴BF＝BC＝8，
∴AF＝AB﹣BF＝10﹣8＝2，
设DC＝DF＝x，则AD＝6﹣x，
在Rt△ADF中，由勾股定理，得AD2＝AF2+DF2，即（6﹣x）2＝22+x2，
解得 ．
即点D到AB的距离为．
23．街心花园有一块长为a米，宽为b米（a＞b）的长方形草坪，经统一规划后，长方形的长减少x米，宽增加x米（x＞0），改造后仍得到一块长方形的草坪．
（1）求改造后长方形草坪的面积；
（2）小明认为无论x取何值，改造前与改造后两块长方形草坪的面积相同．你认为小明的观点正确吗？请说明理由．
【分析】（1）根据长×宽可得面积；
（2）根据矩形的面积公式和作差法比较大小可得结论．
解：（1）依题意得：改造后长方形草坪的面积＝（a﹣x）（b+x）＝（ab+ax﹣bx﹣x2）米2．
（2）小明的观点不正确，理由如下：
解法一：
设改造前长方形草坪的面积为S前，改造后长方形草坪的面积为S后，
则．
∵x＞0，a＞b，
∴当a﹣b﹣x＞0，即0＜x＜a﹣b时，S后﹣S前＞0，即S后＞S前；
当a﹣b﹣x＝0，即x＝a﹣b时，S后﹣S前＝0，即S后＝S前；
当a﹣b﹣x＜0，即x＞a﹣b时，S后﹣S前＜0，即S后＜S前．
解法二：如图，设①的面积为S1，②的面积为S2，③的面积为S3，则，
∵x＞0，a＞b，
当a﹣b﹣x＞0，即0＜x＜a﹣b时，S2﹣S1＞0，即S2＞S1；
∴S2+S3＞S1+S3，即改造后长方形草坪的面积比改造前长方形草坪的面积大．
当a﹣b﹣x＝0，即x＝a﹣b时，S2﹣S1＝0，即S2＝S1；
∴S2+S3＝S1+S3，即改造后长方形草坪的面积与改造前长方形草坪的面积相等．
当a﹣b﹣x＜0，即x＞a﹣b时，S2﹣S1＜0，即S2＜S1．
∴S2+S3＜S1+S3，即改造后长方形草坪的面积比改造前长方形草坪的面积小．
24．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝10，点D为AB的中点，连结DC．
点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿射线AC方向运动，连结DE．过点D作DF⊥DE，交射线CB于点F，连结EF．设点E的运动时间为t（秒）．
（1）如图，当0＜t＜10时．
①求证：∠ADE＝∠CDF；
②试探索四边形CEDF的面积是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不为定值，请说明理由；
（2）当t≥10时，试用含t的代数式表示△DEF的面积．
【分析】（1）①利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可；
②结论：四边形CEDF的面积为定值．证明△ADE≌△CDF（ASA），可得结论；
（2）当t≥10时，点E在点C和AC的延长线上．过点D分别作DG⊥BC，DH⊥AC，垂足分别为点G，H．证明△DBF≌△DCE（ASA），推出BF＝CE＝t﹣10，CF＝CB+BF＝10+（t﹣10）＝t．再根据S△DEF＝S四边形DCEF﹣S△DCE，求解即可．
【解答】（1）①证明：
∵AC＝BC，点D为AB的中点，
∴CD⊥AB，
∵DF⊥DE，
∴∠ADE+∠CDE＝∠CDF+∠CDE＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF；
②解：结论：四边形CEDF的面积为定值，理由如下：
∵AC＝BC，点D为AB的中点，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠B＝∠ACD＝∠BCD＝45°，，
∴AD＝BD＝CD，
∵∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴S△ADE＝S△CDF，
∴S四边形CEDF＝S△CDE+S△CDF＝S△CDE+S△ADE＝S△ACD＝．
∴四边形CEDF的面积为定值．
（2）解：当t≥10时，点E在点C和AC的延长线上．
过点D分别作DG⊥BC，DH⊥AC，垂足分别为点G，H．
∵∠FDC＝∠FDE+∠CDE＝∠BDC+∠BDF，
∴∠BDF＝∠CDE．
由②得：AD＝BD＝CD，∠ABC＝∠ACD＝45°，
∴∠DBF＝∠DCE＝135°，
∴△DBF≌△DCE（ASA），
∴BF＝CE＝t﹣10，
∴CF＝CB+BF＝10+（t﹣10）＝t．
∵AD＝BD＝CD，DG⊥BC，DH⊥AC，AC＝BC＝10，
∴DG＝DH＝5．
∵＝，
∴．
25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＞AC，CD⊥AB于点D，点E是AB的中点，连接CE．
（1）若AC＝3，BC＝4，求CD的长；
（2）求证：BC2﹣AC2＝2DE•AB；
（3）求证：CE＝AB．
【分析】（1）根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式计算，求出CD；
（2）根据题意得到BD﹣AD＝2DE，根据勾股定理计算即可证明；
（3）延长CE至点F，使EF＝CE，连结AF，证明△AEF≌△，根据全等三角形的性质得到∠B＝∠EAF，AF＝BC，再证明△ACF≌△CAB，得到CF＝AB，证明结论．
【解答】（1）解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
由勾股定理得：AB＝＝＝5，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴S△ABC＝AC•BC＝AB•DE，即×3×4＝×5×CD，
解得：CD＝；
（2）证明：∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE，
∴BD﹣AD＝（BE+DE）﹣（AE﹣DE）＝BE﹣AE+2DE＝2DE，
∵CD⊥AB，
∴BC2＝BD2+CD2，AC2＝AD2+CD2，
∴BC2﹣AC2＝（BD2+CD2）﹣（AD2+CD2）＝BD2﹣AD2＝（BD+AD）（BD﹣AD）＝AB•2DE＝2DE•AB；
（3）证明：延长CE至点F，使EF＝CE，连结AF，
在△AEF和△BEC中，
，
∴△AEF≌△BEC（SAS），
∴∠B＝∠EAF，AF＝BC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠CAB＝∠EAF+∠CAB＝90°，
∴∠CAF＝∠ACB＝90°，
∵AC＝CA，
∴△ACF≌△CAB（SAS），
∴CF＝AB，
∵CF＝2CE，
∴CE＝AB．
2020-2021学年福建省泉州市石狮市八年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．下列四个数中，属于无理数的是（ ）
A．0 B． C． D．3.14159
2．下列对于的大小估算正确的是（ ）
A．7＜＜8 B．5＜＜6 C．3＜＜4 D．2＜＜3
3．下列运算中正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（a2）3＝a5
C．（2b）3＝6b3 D．（﹣a）3÷（﹣a）＝a2
4．以下列给出的三角形的三边长构成的三角形是直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．0.3，0.4，0.5 D．，，
5．下列能利用平方差公式进行计算的是（ ）
A．（b+a）（a﹣b） B．（a+b）（b+a）
C．（a+b）（﹣a﹣b） D．（a﹣b）（﹣a+b）
6．若等腰三角形的两边长为3和7，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．10 B．13 C．17 D．13或17
7．若要说明命题：“如果a＜b，那么a2＜b2”是假命题，则可以举的反例是（ ）
A．a＝2，b＝3 B．a＝﹣2，b＝﹣3 C．a＝﹣3，b＝﹣2 D．a＝﹣2，b＝3
8．某中学八（2）班开展以“节约每一滴水”为主题的活动．生活委员随访了班上10名同学，并统计他们各家庭12月份节约用水的情况，其结果如下表所示．已知这10个家庭该月共节水27m3，则表中x的值为（ ）
节水量（m3）
1
x
3
3.5
家庭数
1
4
a
2
A．0.5 B．1.5 C．2 D．2.5
9．如图，点E，C，F，B在同一条直线上，AC∥DF，EC＝BF，则添加下列条件中的一个条件后，不一定能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AC＝DF B．AB＝DE C．∠A＝∠D D．AB∥DE
10．已知点O在直线AB上，点P在直线AB外，以OP为一边作等腰三角形POM，使第三个顶点M在直线AB上，则点M的个数为（ ）
A．2 B．2或4 C．3或4 D．2或3或4
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．计算：25的平方根是 ．
12．因式分解：x2﹣5x＝ ．
13．如图是某地2020年5月1～10日每天最高温度的折线统计图，由此图可知该地这10天中，出现气温为26℃的频率是 ．
14．如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，垂足为点E，交BC于点D，连结AD．若∠C＝α，则∠ADB＝ ．（用含α的代数式表示）
15．计算：＝ ．
16．将一张等边三角形纸片ABC和一块直角三角板DBC（其中∠DBC＝45°）按如图所示的位置摆放．若BD＝，则点A和点D之间的距离为 ．
三、解答题（共86分）
17．计算：﹣+．
18．先化简，再求值：[（3x﹣y）2﹣y（y﹣3x）]÷3x，其中x＝，y＝﹣2．
19．今年春季因疫情“停课复学”后，某校数学兴趣小组通过问卷调查的方式，以“非常满意”、“满意”、“不满意”、“无所谓”四个项目随机调查了部分学生对“线上教学方式”的满意程度，并根据问卷结果制作了如下条形统计图和扇形统计图．
请依据以上信息，解决下列问题：
（1）满意程度为“不满意”类别的对应的扇形圆心角的大小为 ；
（2）请补全图中的条形统计图；
（3）若将“满意”和“非常满意”的情况定为“乐于接受”，试求出该次“线上教学方式”调查中，“乐于接受”的学生占被问卷的学生的百分比．
20．已知a+b＝3，ab＝﹣1，求下列代数式的值：
（1）（a+1）（b+1）；
（2）a3b+ab3．
21．如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边，在AB的上方作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连结AE，DB．求证：△ACE≌△DCB．
22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6．
（1）用尺规作图：在AC边上确定一点D，使得点D到BC，AB的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的前提下，求点D到AB的距离．
23．街心花园有一块长为a米，宽为b米（a＞b）的长方形草坪，经统一规划后，长方形的长减少x米，宽增加x米（x＞0），改造后仍得到一块长方形的草坪．
（1）求改造后长方形草坪的面积；
（2）小明认为无论x取何值，改造前与改造后两块长方形草坪的面积相同．你认为小明的观点正确吗？请说明理由．
24．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝10，点D为AB的中点，连结DC．
点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿射线AC方向运动，连结DE．过点D作DF⊥DE，交射线CB于点F，连结EF．设点E的运动时间为t（秒）．
（1）如图，当0＜t＜10时．
①求证：∠ADE＝∠CDF；
②试探索四边形CEDF的面积是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不为定值，请说明理由；
（2）当t≥10时，试用含t的代数式表示△DEF的面积．
25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＞AC，CD⊥AB于点D，点E是AB的中点，连接CE．
（1）若AC＝3，BC＝4，求CD的长；
（2）求证：BC2﹣AC2＝2DE•AB；
（3）求证：CE＝AB．
参考答案
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．下列四个数中，属于无理数的是（ ）
A．0 B． C． D．3.14159
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
解：A．0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B．是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
C．是无理数，故本选项符合题意；
D．3.14159是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：C．
2．下列对于的大小估算正确的是（ ）
A．7＜＜8 B．5＜＜6 C．3＜＜4 D．2＜＜3
【分析】根据＜＜，可得答案．
解：∵＜＜，
∴3＜＜4．
故选：C．
3．下列运算中正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（a2）3＝a5
C．（2b）3＝6b3 D．（﹣a）3÷（﹣a）＝a2
【分析】利用同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．
解：A、a2•a3＝a5，故A不符合题意；
B、（a2）3＝a6，故B不符合题意；
C、（2b）3＝8b3，故C不符合题意；
D、（﹣a）3÷（﹣a）＝a2，故D符合题意；
故选：D．
4．以下列给出的三角形的三边长构成的三角形是直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．0.3，0.4，0.5 D．，，
【分析】分别计算三边的长的平方，看是否满足勾股定理即可判断．
解：A．（）2＝，（）2＝，（）2＝，+，故不是直角三角形；
B．（）2＝3，（）2＝4，（）2＝5，3+4≠5，故不是直角三角形；
C.0.32＝0.09，0.42＝0.16，0.52＝0.25，0.09+0.16＝0.25，故是直角三角形；
D．（）3＝3，（）3＝4，（）3＝5，3+4＝5，故不是直角三角形；
故选：C．
5．下列能利用平方差公式进行计算的是（ ）
A．（b+a）（a﹣b） B．（a+b）（b+a）
C．（a+b）（﹣a﹣b） D．（a﹣b）（﹣a+b）
【分析】根据平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2解答即可．
解：A、原式＝a2﹣b2，能用平方差公式计算，故该选项符合题意；
B、没有相反的项，不能用平方差公式计算，故该选项不符合题意；
C、没有完全相同的项，不能用平方差公式计算，故该选项不符合题意；
D、没有完全相同的项，不能用平方差公式计算，故该选项不符合题意；
故选：A．
6．若等腰三角形的两边长为3和7，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．10 B．13 C．17 D．13或17
【分析】因为等腰三角形的两边为3和7，但已知中没有点明底边和腰，所以有两种情况，需要分类讨论，还要注意利用三角形三边关系考查各情况能否构成三角形．
解：当3为底时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，周长为17；
当3为腰时，其它两边为3和7，
∵3+3＝6＜7，
所以不能构成三角形，故舍去，
∴答案只有17．
故选：C．
7．若要说明命题：“如果a＜b，那么a2＜b2”是假命题，则可以举的反例是（ ）
A．a＝2，b＝3 B．a＝﹣2，b＝﹣3 C．a＝﹣3，b＝﹣2 D．a＝﹣2，b＝3
【分析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．
解：当a＝﹣3，b＝﹣2时，有a＜b，
但a2＞b2，
故选：C．
8．某中学八（2）班开展以“节约每一滴水”为主题的活动．生活委员随访了班上10名同学，并统计他们各家庭12月份节约用水的情况，其结果如下表所示．已知这10个家庭该月共节水27m3，则表中x的值为（ ）
节水量（m3）
1
x
3
3.5
家庭数
1
4
a
2
A．0.5 B．1.5 C．2 D．2.5
【分析】根据题意先求出a的值，再根据这10个家庭该月共节水27m3，列出算式，求出x的值即可．
解：a＝10﹣1﹣4﹣2＝3（户），
1×1+4x+3×3+3.5×2＝27，
解得：x＝2.5，
则表中x的值为2.5．
故选：D．
9．如图，点E，C，F，B在同一条直线上，AC∥DF，EC＝BF，则添加下列条件中的一个条件后，不一定能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AC＝DF B．AB＝DE C．∠A＝∠D D．AB∥DE
【分析】先证明∠ACB＝∠DFE，EF＝BC，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
解：∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∵EC＝BF，
∴EC+CF＝BF+CF，
即EF＝BC，
∴当添加AC＝DF时，可根据“SAS”判定△ABC≌△DEF；
当添加∠A＝∠D时，可根据“AAS”判定△ABC≌△DEF；
当添加AB∥DE时，∠B＝∠E，可根据“ASA”判定△ABC≌△DEF．
故选：B．
10．已知点O在直线AB上，点P在直线AB外，以OP为一边作等腰三角形POM，使第三个顶点M在直线AB上，则点M的个数为（ ）
A．2 B．2或4 C．3或4 D．2或3或4
【分析】利用图象法分三种情形求解即可．
解：如图1中，当∠POB≠90°或∠POB≠60°时，满足条件的点M有2个，
如图2中，当∠POB＝60°时，满足条件的点M有2个．
如图3中，当∠POB＝90°时，满足条件的点M有2个．
故选：B．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．计算：25的平方根是 ±5 ．
【分析】根据平方根的定义，结合（±5）2＝25即可得出答案．
解：∵（±5）2＝25
∴25的平方根±5．
故答案为：±5．
12．因式分解：x2﹣5x＝ x（x﹣5） ．
【分析】根据提公因式法，可分解因式．
解：x2﹣5x＝x（x﹣5）．
故答案为：x（x﹣5）．
13．如图是某地2020年5月1～10日每天最高温度的折线统计图，由此图可知该地这10天中，出现气温为26℃的频率是 0.3 ．
【分析】由频数分布折线图知，共有10个数据，其中26℃出现3次，再根据频率的概念求解即可．
解：由频数分布折线图知，共有10个数据，其中26℃出现3次，
所以出现气温为26℃的频率是3÷10＝0.3，
故答案为：0.3．
14．如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，垂足为点E，交BC于点D，连结AD．若∠C＝α，则∠ADB＝ 2α ．（用含α的代数式表示）
【分析】由线段垂直平分线的性质可得AC＝CD，即可得∠CAD＝∠C＝α，再利用三角形外角的性质可求解．
解：∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠CAD＝∠C＝α，
∴∠ADB＝∠CAD+∠C＝2α．
故答案为：2α．
15．计算：＝ ．
【分析】原式分子利用平方差公式分解，分母利用完全平方公式分解，约分计算即可得到结果．
解：原式＝
＝
＝．
故答案为：．
16．将一张等边三角形纸片ABC和一块直角三角板DBC（其中∠DBC＝45°）按如图所示的位置摆放．若BD＝，则点A和点D之间的距离为 ﹣1 ．
【分析】要求点A和点D之间的距离，所以想到连接AD，由于△ABC与△BDC都是等腰三角形，想到等腰三角形的“三线合一”的性质，进而延长AD交BC于点E，最后放在两个直角三角形中解决即可．
解：连接AD，并延长AD交BC于点E，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ABC＝60°，
∵∠BDC＝90°，∠DBC＝45°，
∴∠DCB＝90°﹣∠DBC＝45°，
∴DB＝DC，
∴AD是BC的垂直平分线，
即AE⊥BC，BE＝EC，
在Rt△BDE中，sin45°＝，cos45°＝，
∴DE＝sin45°＝1，BE＝cos45°＝1，
在Rt△ABE中，tan60°＝，
∴AE＝BEtan60°＝，
∴AD＝AE﹣DE＝﹣1，
故答案为：﹣1．
三、解答题（共86分）
17．计算：﹣+．
【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案．
解：原式＝6﹣4+4
＝6．
18．先化简，再求值：[（3x﹣y）2﹣y（y﹣3x）]÷3x，其中x＝，y＝﹣2．
【分析】法1：原式中括号里利用完全平方公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值；
法2：原式中括号里变形，分解因式化简后利用多项式除以单项式法则得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
解：法1：原式＝（9x2﹣6xy+y2﹣y2+3xy）÷3x
＝（9x2﹣3xy）÷3x
＝3x﹣y，
法2：
原式＝[（3x﹣y）2+y（3x﹣y）]÷3x
＝[（3x﹣y）（3x﹣y+y）]÷3x
＝（9x2﹣3xy）÷3x
＝3x﹣y，
当x＝，y＝﹣2时，原式＝3×﹣（﹣2）＝+2＝2．
19．今年春季因疫情“停课复学”后，某校数学兴趣小组通过问卷调查的方式，以“非常满意”、“满意”、“不满意”、“无所谓”四个项目随机调查了部分学生对“线上教学方式”的满意程度，并根据问卷结果制作了如下条形统计图和扇形统计图．
请依据以上信息，解决下列问题：
（1）满意程度为“不满意”类别的对应的扇形圆心角的大小为 36° ；
（2）请补全图中的条形统计图；
（3）若将“满意”和“非常满意”的情况定为“乐于接受”，试求出该次“线上教学方式”调查中，“乐于接受”的学生占被问卷的学生的百分比．
【分析】（1）根据选择D的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出满意程度为“不满意”类别的对应的扇形圆心角的度数；
（2）根据（1）中的结果和扇形统计图中的数据，可以先计算出选择B的人数，再根据条形统计图中的数据，可以计算出选择A的人数，然后即可将条形统计图补充完整；
（3）根据条形统计图中的数据，可以计算出“乐于接受”的学生占被问卷的学生的百分比．
解：（1）本次调查的学生有：40÷20%＝200（人），
满意程度为“不满意”类别的对应的扇形圆心角的大小为：360°×＝36°，
故答案为：36°；
（2）选择B的学生有：200×40%＝80（人），
选择A的学生有：200﹣80﹣20﹣40＝60（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）×100%＝70%，
即“乐于接受”的学生占被问卷的学生的百分比是70%．
20．已知a+b＝3，ab＝﹣1，求下列代数式的值：
（1）（a+1）（b+1）；
（2）a3b+ab3．
【分析】（1）根据乘法分配律把原式化简，再把a+b＝3，ab＝﹣1求值即可；
（2）先提出公因式ab，再把所得式子利用完全平方公式变形后，将a+b与ab的值代入计算即可求出值．
解：（1）（a+1）（b+1）＝ab+a+b+1＝ab+（a+b）+1，
∵a+b＝3，ab＝﹣1，
∴原式＝﹣1+3+1＝3；
（2）a3b+ab3＝ab（a2+b2）＝ab[（a+b）2﹣2ab]，
∵a+b＝3，ab＝﹣1
∴原式＝﹣1×[32﹣2×（﹣1）]＝﹣1×（9+2）＝﹣11．
21．如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边，在AB的上方作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连结AE，DB．求证：△ACE≌△DCB．
【分析】先根据等边三角形的性质得到∠ACD＝∠BCE＝60°，AC＝DC，CE＝CB，则∠ACE＝∠DCB，然后根据“SAS”判断△ACE≌△DCB．
【解答】证明：∵△ACD和△BCE都是等边三角形，
∴∠ACD＝∠BCE＝60°，AC＝DC，CE＝CB，
∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，
即∠ACE＝∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS）．
22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6．
（1）用尺规作图：在AC边上确定一点D，使得点D到BC，AB的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的前提下，求点D到AB的距离．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）过点D作DF⊥AB于点F．利用角平分线的性质定理以及勾股定理求解即可．
解：（1）如图，点D就是所要求作的点．
（2）过点D作DF⊥AB于点F．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
由（1）可得：BD平分∠ABC．
∵DC⊥BC，DF⊥AB，
∴DC＝DF，
∵BD＝BD，
∴Rt△BCD≌Rt△BFD（HL），
∴BF＝BC＝8，
∴AF＝AB﹣BF＝10﹣8＝2，
设DC＝DF＝x，则AD＝6﹣x，
在Rt△ADF中，由勾股定理，得AD2＝AF2+DF2，即（6﹣x）2＝22+x2，
解得 ．
即点D到AB的距离为．
23．街心花园有一块长为a米，宽为b米（a＞b）的长方形草坪，经统一规划后，长方形的长减少x米，宽增加x米（x＞0），改造后仍得到一块长方形的草坪．
（1）求改造后长方形草坪的面积；
（2）小明认为无论x取何值，改造前与改造后两块长方形草坪的面积相同．你认为小明的观点正确吗？请说明理由．
【分析】（1）根据长×宽可得面积；
（2）根据矩形的面积公式和作差法比较大小可得结论．
解：（1）依题意得：改造后长方形草坪的面积＝（a﹣x）（b+x）＝（ab+ax﹣bx﹣x2）米2．
（2）小明的观点不正确，理由如下：
解法一：
设改造前长方形草坪的面积为S前，改造后长方形草坪的面积为S后，
则．
∵x＞0，a＞b，
∴当a﹣b﹣x＞0，即0＜x＜a﹣b时，S后﹣S前＞0，即S后＞S前；
当a﹣b﹣x＝0，即x＝a﹣b时，S后﹣S前＝0，即S后＝S前；
当a﹣b﹣x＜0，即x＞a﹣b时，S后﹣S前＜0，即S后＜S前．
解法二：如图，设①的面积为S1，②的面积为S2，③的面积为S3，则，
∵x＞0，a＞b，
当a﹣b﹣x＞0，即0＜x＜a﹣b时，S2﹣S1＞0，即S2＞S1；
∴S2+S3＞S1+S3，即改造后长方形草坪的面积比改造前长方形草坪的面积大．
当a﹣b﹣x＝0，即x＝a﹣b时，S2﹣S1＝0，即S2＝S1；
∴S2+S3＝S1+S3，即改造后长方形草坪的面积与改造前长方形草坪的面积相等．
当a﹣b﹣x＜0，即x＞a﹣b时，S2﹣S1＜0，即S2＜S1．
∴S2+S3＜S1+S3，即改造后长方形草坪的面积比改造前长方形草坪的面积小．
24．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝10，点D为AB的中点，连结DC．
点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿射线AC方向运动，连结DE．过点D作DF⊥DE，交射线CB于点F，连结EF．设点E的运动时间为t（秒）．
（1）如图，当0＜t＜10时．
①求证：∠ADE＝∠CDF；
②试探索四边形CEDF的面积是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不为定值，请说明理由；
（2）当t≥10时，试用含t的代数式表示△DEF的面积．
【分析】（1）①利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可；
②结论：四边形CEDF的面积为定值．证明△ADE≌△CDF（ASA），可得结论；
（2）当t≥10时，点E在点C和AC的延长线上．过点D分别作DG⊥BC，DH⊥AC，垂足分别为点G，H．证明△DBF≌△DCE（ASA），推出BF＝CE＝t﹣10，CF＝CB+BF＝10+（t﹣10）＝t．再根据S△DEF＝S四边形DCEF﹣S△DCE，求解即可．
【解答】（1）①证明：
∵AC＝BC，点D为AB的中点，
∴CD⊥AB，
∵DF⊥DE，
∴∠ADE+∠CDE＝∠CDF+∠CDE＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF；
②解：结论：四边形CEDF的面积为定值，理由如下：
∵AC＝BC，点D为AB的中点，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠B＝∠ACD＝∠BCD＝45°，，
∴AD＝BD＝CD，
∵∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴S△ADE＝S△CDF，
∴S四边形CEDF＝S△CDE+S△CDF＝S△CDE+S△ADE＝S△ACD＝．
∴四边形CEDF的面积为定值．
（2）解：当t≥10时，点E在点C和AC的延长线上．
过点D分别作DG⊥BC，DH⊥AC，垂足分别为点G，H．
∵∠FDC＝∠FDE+∠CDE＝∠BDC+∠BDF，
∴∠BDF＝∠CDE．
由②得：AD＝BD＝CD，∠ABC＝∠ACD＝45°，
∴∠DBF＝∠DCE＝135°，
∴△DBF≌△DCE（ASA），
∴BF＝CE＝t﹣10，
∴CF＝CB+BF＝10+（t﹣10）＝t．
∵AD＝BD＝CD，DG⊥BC，DH⊥AC，AC＝BC＝10，
∴DG＝DH＝5．
∵＝，
∴．
25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＞AC，CD⊥AB于点D，点E是AB的中点，连接CE．
（1）若AC＝3，BC＝4，求CD的长；
（2）求证：BC2﹣AC2＝2DE•AB；
（3）求证：CE＝AB．
【分析】（1）根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式计算，求出CD；
（2）根据题意得到BD﹣AD＝2DE，根据勾股定理计算即可证明；
（3）延长CE至点F，使EF＝CE，连结AF，证明△AEF≌△，根据全等三角形的性质得到∠B＝∠EAF，AF＝BC，再证明△ACF≌△CAB，得到CF＝AB，证明结论．
【解答】（1）解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
由勾股定理得：AB＝＝＝5，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴S△ABC＝AC•BC＝AB•DE，即×3×4＝×5×CD，
解得：CD＝；
（2）证明：∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE，
∴BD﹣AD＝（BE+DE）﹣（AE﹣DE）＝BE﹣AE+2DE＝2DE，
∵CD⊥AB，
∴BC2＝BD2+CD2，AC2＝AD2+CD2，
∴BC2﹣AC2＝（BD2+CD2）﹣（AD2+CD2）＝BD2﹣AD2＝（BD+AD）（BD﹣AD）＝AB•2DE＝2DE•AB；
（3）证明：延长CE至点F，使EF＝CE，连结AF，
在△AEF和△BEC中，
，
∴△AEF≌△BEC（SAS），
∴∠B＝∠EAF，AF＝BC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠CAB＝∠EAF+∠CAB＝90°，
∴∠CAF＝∠ACB＝90°，
∵AC＝CA，
∴△ACF≌△CAB（SAS），
∴CF＝AB，
∵CF＝2CE，
∴CE＝AB．
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