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福建省泉州市安溪县2020-2021学年八年级上学期期末考试数学试题（word版 含答案）
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这是一份福建省泉州市安溪县2020-2021学年八年级上学期期末考试数学试题（word版 含答案），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年福建省泉州市安溪县八年级第一学期期末数学试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．9的算术平方根是（ ）
A．3 B．±3 C．﹣3 D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．（﹣2a）2＝﹣4a2
C．m3•m2＝m6 D．a6÷a2＝a4
3．下列命题中，假命题是（ ）
A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
B．等腰三角形顶角平分线把它分成两个全等的三角形
C．相等的两个角是对顶角
D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
4．△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为100cm，A、B分别与D、E对应，且AB＝35cm，DF＝30cm，则EF的长为（ ）
A．35cm B．30cm C．45cm D．55cm
5．某校为了了解九年级学生的体能情况，随机抽查了其中的30名学生，测试了1分钟仰卧起座的次数，并绘制成如图所示的频数分布直方图，请根据图示计算，仰卧起座次数在15～20次之间的频率是（ ）
A．0.1 B．0.17 C．0.33 D．0.4
6．下列因式分解中，正确的是（ ）
A．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4 B．4a2﹣12a+9＝（2a+3）2
C．ab2﹣c2＝a（b2﹣c2） D．（x+3）2﹣4＝（x+5）（x+1）
7．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a、b、c，下列结论中不正确的是（ ）
A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形
B．如果a2＝b2+c2，那么△ABC是直角三角形
C．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么△ABC是直角三角形
D．如果a：b：c＝3：4：5，那么△ABC是直角三角形
8．用反证法证明：“在同一个平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（ ）
A．a不垂直于c B．a与b相交
C．a不垂直于b D．a、b都不垂直于c
9．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，D是AC的中点，ED⊥AC交AB于点E，已知AC＝6，DE＝2，则BC的长为（ ）
A． B． C． D．
10．仔细观察，探索规律：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1；
…
则22021+22020+22019+…+2+1的个位数字是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）
11．因式分解：x2﹣2x＝ ．
12．计算：（6x2y+3xy）÷3xy＝ ．
13．已知m、n是两个连续的整数，且m＜+＜n，则m+n＝ ．
14．已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是 ．
15．若ax＝2，ay＝3，则a2x+y＝ ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，过点A作AM∥CB，CE平分∠ACB交AM于点E，Q是线段CE上的点，连接BQ，过点B作BP⊥BQ交AM于点P，当△PBQ为等腰三角形时，AP＝ ．
三、解答题（本大题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．计算：+﹣|﹣2|．
18．化简求值：[（2x﹣y）（2x+y）+y（y﹣6x）]÷2x，其中x＝2，y＝﹣3．
19．已知：如图，点E、C在线段BF上，AB＝DE，∠A＝∠D，AC∥DF．求证：BE＝CF．
20．泉州市“五个一百工程”在各校普遍开展，为了了解某校学生每天课外阅读所用的时间情况，某校从该校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
每天课外阅读时间t（h）
频数
频率
0＜t≤0.5
24
0.5＜t≤1
36
0.3
1＜t≤1.5
0.4
1.5＜t≤2
12
b
合计
a
1
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中a＝ ，b＝ ．
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该校有学生2000人，试估计该校学生每天课外阅读时间超过1h的人数．
21．如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC．
（Ⅰ）请用尺规作图的方法在边AC上确定点P，使得点P到边BC的距离等于PA的长；（保留作图痕迹，不写作法）
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：BC＝AB+AP．
22．如图，将一张长方形铁皮切割成九块，切痕如图虚线所示，其中有两块是边长都为acm的大正方形，两块是边长都为bcm的小正方形，五块是长、宽分别是acm、bcm的全等小长方形，且a＞b．
（1）用含a、b的代数式表示切痕的总长为 cm；
（2）若每块小长方形的面积为12cm2，四块正方形的面积和为80cm2，试求a+b的值．
23．如图，△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的高，将△ADC沿AD所在的直线翻折，使点C落在BC边上的点E处．
（1）若AB＝20，AC＝13，CD＝5，求△ABC的面积；
（2）求证：AB2﹣AC2＝BE⋅BC．
24．若一个两位数十位、个位上的数字分别为 m、n，我们可将这个两位数记为，易知＝10m+n；一个三位数同法可记为：＝100a+10b+c．
（1）若﹣＝28，则x＝ ；
（2）求证：•﹣m•n一定能被10整除；
（3）数学中有一个有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位上的数字各不相同．把这个三位数上的数字重新排列，得出一个最大数和一个最小数，用得出的最大数减去最小数得到一个新三位数；再将这个新三位数按上述方式重新排列，再相减又得到一个新三位数；像这样进行若干次后一定会得到一个重复出现的三位数，这个重复出现的三位数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．
①请直接写出该黑洞数 ；
②以三位数（不妨设a＞b＞c＞0）为例，说明该黑洞数的产生过程．
25．如图1，在△ABC中，∠A＝30°，O是AB上的点，OA＝OB＝OC．
（1）填空：∠ACB＝ °；
（2）若点E是AC边上的一个动点，连结OE，以点O为顶点在OE的右侧作∠EOF＝60°，交折线ACB于点F．
①如图2，若点F在AC边上，且CE＝CO，小华同学在探究线段AE、EF、FC之间的数量关系时，他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是：将△OCF绕点O顺时针旋转120°，得到△OAG，连结EG．请你参考小华同学的做法，猜想线段AE、EF、FC之间的数量关系，并加以证明；
②若点F在BC边上，且AE＝AO，请你画出图形，并证明：BF＝CE．
参考答案
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．9的算术平方根是（ ）
A．3 B．±3 C．﹣3 D．
【分析】根据开方运算，可得一个正数的算术平方根．
解：9的算术平方根是3．
故选：A．
2．下列计算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．（﹣2a）2＝﹣4a2
C．m3•m2＝m6 D．a6÷a2＝a4
【分析】直接利用同底数幂的乘除法运算法则以及结合积的乘方运算法则和幂的乘方运算法则分别化简求出答案．
解：A、（a2）3＝a6，故此选项错误；
B、（﹣2a）2＝4a2，故此选项错误；
C、m3•m2＝m5，故此选项错误；
D、a6÷a2＝a4，正确．
故选：D．
3．下列命题中，假命题是（ ）
A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
B．等腰三角形顶角平分线把它分成两个全等的三角形
C．相等的两个角是对顶角
D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
【分析】根据直角三角形全等的判定，等腰三角形性质，等边三角形的判定，等腰直角三角形的性质对各选项分析判断即可得解．
解：A、两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，是真命题；
B、等腰三角形顶角平分线把它分成两个全等的三角形，是真命题；
C、相等的两个角不一定是对顶角，原命题是假命题；
D、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，是真命题；
故选：C．
4．△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为100cm，A、B分别与D、E对应，且AB＝35cm，DF＝30cm，则EF的长为（ ）
A．35cm B．30cm C．45cm D．55cm
【分析】根据全等三角形的性质求出△DEF的周长为100cm，DE＝AB＝35cm，即可求出答案．
解：∵△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为100cm，AB＝35cm，DF＝30cm，
∴△DEF的周长为100cm，DE＝AB＝35cm，
∴EF＝100cm﹣35cm﹣30cm＝35cm．
故选：A．
5．某校为了了解九年级学生的体能情况，随机抽查了其中的30名学生，测试了1分钟仰卧起座的次数，并绘制成如图所示的频数分布直方图，请根据图示计算，仰卧起座次数在15～20次之间的频率是（ ）
A．0.1 B．0.17 C．0.33 D．0.4
【分析】根据直方图中各组的频率之和等于1及频率的计算公式，结合题意可得仰卧起做次数在15～20间小组的频数，再由频率的计算公式可得其频率，进而可得答案．
解：由频率的意义可知，从左到右各个小组的频率之和是1，同时每小组的频率＝，
所以仰卧起坐次数在15～20间的小组的频数是30﹣5﹣10﹣12＝3，其频率为＝0.1，
故选：A．
6．下列因式分解中，正确的是（ ）
A．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4 B．4a2﹣12a+9＝（2a+3）2
C．ab2﹣c2＝a（b2﹣c2） D．（x+3）2﹣4＝（x+5）（x+1）
【分析】A、原式利用完全平方公式分解得到结果，即可作出判断；
B、原式利用完全平方公式分解得到结果，即可作出判断；
C、原式不能分解，不符合题意；
D、原式利用平方差公式分解得到结果，即可作出判断．
解：A、原式＝（x﹣2）2，不符合题意；
B、原式＝（2a﹣3）2，不符合题意；
C、原式不能分解，不符合题意；
D、原式＝（x+3+2）（x+3﹣2）＝（x+5）（x+1），符合题意．
故选：D．
7．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a、b、c，下列结论中不正确的是（ ）
A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形
B．如果a2＝b2+c2，那么△ABC是直角三角形
C．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么△ABC是直角三角形
D．如果a：b：c＝3：4：5，那么△ABC是直角三角形
【分析】根据各个选项中的说法，可以判断是否正确，从而可以解答本题．
解：∵∠A﹣∠B＝∠C，
∴∠A＝∠B+∠C，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠A＝180°，
∴∠A＝90°，
∴如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形，故选项A不符合题意；
如果a2＝b2+c2，那么△ABC是直角三角形，故选项B不符合题意；
如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则最大的内角∠C＝180°×＝75°，则该三角形为锐角三角形，故选项C符合题意；
如果a：b：c＝3：4：5，则a2+b2＝c2，故选项D不符合题意；
故选：C．
8．用反证法证明：“在同一个平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（ ）
A．a不垂直于c B．a与b相交
C．a不垂直于b D．a、b都不垂直于c
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，在同一个平面内，两直线平行的反面是两直线相交．
解：反证法证明：“在同一个平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，
应假设a与b不平行，即a与b相交，
故选：B．
9．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，D是AC的中点，ED⊥AC交AB于点E，已知AC＝6，DE＝2，则BC的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意知DE是AC的垂直平分线，得CE＝AE，再通过角度可证明∠B＝∠CEB，得CE＝BC，在Rt△CDE中，利用勾股定理求出CE即可．
解：∵D是AC的中点，ED⊥AC交AB于点E，
∴DE是AC的垂直平分线，
∴CE＝AE，
∴∠A＝∠ECA＝36°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝72°，
∴∠BCE＝36°，
∴∠CEB＝180°﹣∠B﹣BCE
＝180°﹣72°﹣36°
＝72°，
∴∠B＝∠CEB，
∴CE＝BC，
∵D是AC的中点，
∴CD＝3，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
CE＝＝＝，
∴BC＝，
故选：A．
10．仔细观察，探索规律：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1；
…
则22021+22020+22019+…+2+1的个位数字是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【分析】先求出22021+22020+22019+…+2+1＝22022﹣1，再分别求出21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，根据求出的结果得出规律，再求出答案即可．
解：22021+22020+22019+…+2+1
＝（2﹣1）×（22021+22020+22019+…+2+1）
＝22022﹣1，
∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，•••，
又∵2022÷4＝505•••2，
∴22022的个位数字是4，
∴22021+22020+22019+…+2+1的个位数字是4﹣1＝3，
故选：B．
二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）
11．因式分解：x2﹣2x＝ x（x﹣2） ．
【分析】原式提取公因式x即可得到结果．
解：原式＝x（x﹣2），
故答案为：x（x﹣2）．
12．计算：（6x2y+3xy）÷3xy＝ 2x+1 ．
【分析】把多项式的每一项分别除以3xy即可．
解：原式＝6x2y÷3xy+3xy÷3xy
＝2x+1．
故答案为：2x+1．
13．已知m、n是两个连续的整数，且m＜+＜n，则m+n＝ 11 ．
【分析】先估算的取值范围，得出m、n的值，进而可得出结论．
解：，
∵9＜10＜16，
∴3＜＜4，
∴
∵m、n为两个连续的整数，
∴m＝5，n＝6，
∴m+n＝11．
故答案为：11．
14．已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是 15 ．
【分析】分腰为3和腰为6两种情况考虑，先根据三角形的三边关系确定三角形是否存在，再根据三角形的周长公式求值即可．
解：当腰为3时，3+3＝6，
∴3、3、6不能组成三角形；
当腰为6时，3+6＝9＞6，
∴3、6、6能组成三角形，
该三角形的周长＝3+6+6＝15．
故答案为：15．
15．若ax＝2，ay＝3，则a2x+y＝ 12 ．
【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则计算即可．
解：∵ax＝2，ay＝3，
∴a2x+y＝a2x•ay，
＝（ax）2•ay，
＝4×3，
＝12．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，过点A作AM∥CB，CE平分∠ACB交AM于点E，Q是线段CE上的点，连接BQ，过点B作BP⊥BQ交AM于点P，当△PBQ为等腰三角形时，AP＝ 10 ．
【分析】过Q作QD⊥BC于D，过P作PE⊥CB于E，由∠ACB＝90°，PE⊥CB，AM∥CB，得四边形ACEP是矩形，知PE＝AC＝6，AP＝CE，根据∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，得BC＝8，而BP⊥BQ，△PBQ为等腰三角形，可得△QDB≌△BEP（AAS），故BD＝PE＝6，BE＝QD，CD＝BC﹣BD＝2，又CE平分∠ACB，即得△QCD是等腰直角三角形，有QD＝CD＝BE＝2，从而CE＝BC+BE＝AP＝10．
解：过Q作QD⊥BC于D，过P作PE⊥CB于E，如图：
∵∠ACB＝90°，PE⊥CB，AM∥CB，
∴四边形ACEP是矩形，
∴PE＝AC＝6，AP＝CE，
∵∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，
∴BC＝＝＝8，
∵BP⊥BQ，△PBQ为等腰三角形，
∴BQ＝BP，∠QBD＝90°﹣∠PBE＝∠BPE，
∵∠QDB＝∠PEB＝90°，
∴△QDB≌△BEP（AAS），
∴BD＝PE＝6，BE＝QD，
∴CD＝BC﹣BD＝2，
∵CE平分∠ACB，
∴∠QCD＝45°，
∴△QCD是等腰直角三角形，
∴QD＝CD＝2，
∴BE＝2，
∴CE＝BC+BE＝10，
∴AP＝10，
故答案为：10．
三、解答题（本大题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．计算：+﹣|﹣2|．
【分析】原式利用算术平方根、立方根性质，以及绝对值的代数意义计算即可得到结果．
解：原式＝﹣2+8﹣2
＝4．
18．化简求值：[（2x﹣y）（2x+y）+y（y﹣6x）]÷2x，其中x＝2，y＝﹣3．
【分析】原式中括号里利用平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
解：原式＝（4x2﹣y2+y2﹣6xy）÷2x
＝（4x2﹣6xy）÷2x
＝2x﹣3y，
当x＝2，y＝﹣3时，
原式＝2×2﹣3×（﹣3）＝4+9＝13．
19．已知：如图，点E、C在线段BF上，AB＝DE，∠A＝∠D，AC∥DF．求证：BE＝CF．
【分析】根据平行线的性质得到∠ACB＝∠DFE，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠D，根据全等三角形的性质得到BC＝EF于是得到结论．
【解答】证明：∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴BC＝EF，
∴BC﹣EC＝EF﹣EC，
∴BE＝CF．
20．泉州市“五个一百工程”在各校普遍开展，为了了解某校学生每天课外阅读所用的时间情况，某校从该校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
每天课外阅读时间t（h）
频数
频率
0＜t≤0.5
24
0.5＜t≤1
36
0.3
1＜t≤1.5
0.4
1.5＜t≤2
12
b
合计
a
1
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中a＝ 120 ，b＝ 0.1 ．
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该校有学生2000人，试估计该校学生每天课外阅读时间超过1h的人数．
【分析】（1）由0.5＜t≤1的频数及频率可得a的值，用1.5＜t≤2对应频数除以a的值即可得出b的值；
（2）根据频数之和等于总数求出1＜t≤1.5的频数即可补全图形；
（3）总人数乘以样本中每天课外阅读时间超过1h的人数所占比例即可．
解：（1）a＝36÷0.3＝120，b＝12÷120＝0.1，
故答案为：120、0.1；
（2）1＜t≤1.5对应频数为120﹣（24+36+12）＝48，
补全图形如下：
（3）2000×（0.4+0.1）＝1000（人），
∴该校学生每天课外阅读时间超过1h的人数约1000人．
21．如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC．
（Ⅰ）请用尺规作图的方法在边AC上确定点P，使得点P到边BC的距离等于PA的长；（保留作图痕迹，不写作法）
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：BC＝AB+AP．
【分析】（Ⅰ）作∠ABC的平分线即可解决问题．
（Ⅱ）证明Rt△ABP≌Rt△DBP（HL），PD＝DC即可解决问题．
解：（Ⅰ）如图，点P即为所求．
（Ⅱ）过点P作PD⊥BC于点D，
由（Ⅰ）知PA＝PD．
又∵∠A＝90°，PD⊥BC，BP＝BP，
∴Rt△ABP≌Rt△DBP（HL），
∴AB＝DB，
∵∠A＝90°，AB＝AC，
∴∠C＝45°．
∴∠1＝90°﹣45°＝45°，
∴∠1＝∠C，
∴DP＝DC，
∴DC＝AP，
∴BC＝BD+DC＝AB+AP．
22．如图，将一张长方形铁皮切割成九块，切痕如图虚线所示，其中有两块是边长都为acm的大正方形，两块是边长都为bcm的小正方形，五块是长、宽分别是acm、bcm的全等小长方形，且a＞b．
（1）用含a、b的代数式表示切痕的总长为 （6a+6b） cm；
（2）若每块小长方形的面积为12cm2，四块正方形的面积和为80cm2，试求a+b的值．
【分析】（1）根据图形即可得出切痕的总长；
（2）依题意得：2a2+2b2＝80，ab＝12，根据完全平方公式得到（a+b）2的值，即可得到a+b的值．
解：（1）切痕的总长为（6a+6b）cm，
故答案为：（6a+6b）；
（2）依题意得：2a2+2b2＝80，ab＝12，
∴a2+b2＝40，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴（a+b）2＝40+2×12＝64，
∵a+b＞0，
∴a+b＝8．
23．如图，△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的高，将△ADC沿AD所在的直线翻折，使点C落在BC边上的点E处．
（1）若AB＝20，AC＝13，CD＝5，求△ABC的面积；
（2）求证：AB2﹣AC2＝BE⋅BC．
【分析】（1）由AD是BC边上的高，AC＝13，CD＝5，得AD＝12，BD＝16，即有BC＝BD+CD＝16+5＝21，故S△ABC＝BC•AD＝126（平方单位）；
（2）根据△ADC沿AD所在的直线翻折得到△ADE，得AC＝AE，DC＝DE，而AB2﹣AC2＝AB2﹣（AD2+DC2）＝AB2﹣AD2﹣DC2＝（BD﹣DE）（BD+DE），即可证明AB2﹣AC2＝BE•BC．
【解答】（1）解：∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，
∵AC＝13，CD＝5，
∴AD＝＝12，
在Rt△ADB中，
∵AB＝20，AD＝12，
∴BD＝＝16，
∴BC＝BD+CD＝16+5＝21，
∴S△ABC＝BC•AD＝×21×12＝126（平方单位）；
（2）证明：∵△ADC沿AD所在的直线翻折得到△ADE，
∴AC＝AE，DC＝DE，
在Rt△ADC中，由勾股定理，得AC2＝AD2+DC2，
在Rt△ADB中，由勾股定理，得BD2＝AB2﹣AD2，
∴AB2﹣AC2＝AB2﹣（AD2+DC2）
＝AB2﹣AD2﹣DC2
＝BD2﹣DE2
＝（BD﹣DE）（BD+DE），
∵BE＝BD﹣DE，BC＝BD+DC＝BD+DE，
∴AB2﹣AC2＝BE•BC．
24．若一个两位数十位、个位上的数字分别为 m、n，我们可将这个两位数记为，易知＝10m+n；一个三位数同法可记为：＝100a+10b+c．
（1）若﹣＝28，则x＝ 5 ；
（2）求证：•﹣m•n一定能被10整除；
（3）数学中有一个有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位上的数字各不相同．把这个三位数上的数字重新排列，得出一个最大数和一个最小数，用得出的最大数减去最小数得到一个新三位数；再将这个新三位数按上述方式重新排列，再相减又得到一个新三位数；像这样进行若干次后一定会得到一个重复出现的三位数，这个重复出现的三位数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．
①请直接写出该黑洞数 495 ；
②以三位数（不妨设a＞b＞c＞0）为例，说明该黑洞数的产生过程．
【分析】（1）根据已知可知＝80+x，＝10x+7，然后代入计算即可；
（2）根据已知可知＝10m+n，＝10n+m，然后代入计算即可；
（3）①利用特殊值法即可判断，
②根据已知可得最大的三位数是100a+10b+c，最小的三位数是100c+10b+a，然后再进行计算即可．
解：（1）∵﹣＝28，
∴8×10+x﹣（10x+7）＝28，
解得：x＝5；
（2）证明：•﹣m•n
＝（10m+n）（10n+m）﹣mn
＝100mn+10n2+10m2
＝10（m2+n2+10mn），
所以：•﹣m•n一定能被10整除；
（3）①任选一个三位数，
例如：321，
321﹣123＝198，
981﹣189＝792，
972﹣279＝693，
963﹣369＝594，
954﹣459＝495，
954﹣459＝495，
•••
故答案为：495；
②当任选的三位数为时，
第一次运算后得：
100a+10b+c﹣（100c+10b+c）
＝99（a﹣c），
所以：结果为99的倍数，
∵a＞b＞c＞0，
∴a≥b+1≥c+2，
∴a﹣c≥2，
∵9≥a＞c＞0，
∴a﹣c＜9，
∴a﹣c＝2，3，4，5，6，7，8，
∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，
再让这些数字经过运算，分别可以得到：
981﹣189＝792，
972﹣279＝693，
963﹣369＝594，
954﹣459＝495，
954﹣459＝495，
•••
所以，都可以得到该黑洞数是495．
25．如图1，在△ABC中，∠A＝30°，O是AB上的点，OA＝OB＝OC．
（1）填空：∠ACB＝ 90 °；
（2）若点E是AC边上的一个动点，连结OE，以点O为顶点在OE的右侧作∠EOF＝60°，交折线ACB于点F．
①如图2，若点F在AC边上，且CE＝CO，小华同学在探究线段AE、EF、FC之间的数量关系时，他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是：将△OCF绕点O顺时针旋转120°，得到△OAG，连结EG．请你参考小华同学的做法，猜想线段AE、EF、FC之间的数量关系，并加以证明；
②若点F在BC边上，且AE＝AO，请你画出图形，并证明：BF＝CE．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质得∠OCA＝∠A＝30°，由三角形外角的性质得∠BOC＝60°，从而求出∠BOC的度数；
（2）①将△OCF绕点O顺时针旋转120°，得到△OAG，连结EG，利用SAS证明△EOG≌△EOF，得EG＝EF，∠OEG＝∠OEF，再证明∠AGE＝180°﹣∠GAE﹣∠AEG＝90°，由勾股定理得出结论；
②在OF上截取OH＝OE，连接BH，利用SAS证明△EOC≌△HOB，得CE＝BH，∠OEC＝∠OHB，再通过求出相关角度得出BH＝BF，从而证明结论．
解：（1）∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A＝30°，
∴∠BOC＝∠A+∠OCA＝60°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OCB＝＝60°，
∴∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝90°，
故答案为：90；
（2）①EF2+FC2＝AE2，
如图，将△OCF绕点O顺时针旋转120°，得到△OAG，连结EG，
∴△OAG≌△OCF，
∴∠AOG＝∠COF，OG＝OF，AG＝CF，∠AOG＝∠OCF，
∴∠EOG＝∠AOG+∠AOE＝∠AOE+∠COF＝120°﹣∠EOF＝60°，
在△EOG与△EOF中，
，
∴△EOG≌△EOF（SAS），
∴EG＝EF，∠OEG＝∠OEF，
∵∠OCA＝30°，CE＝CO，
∴∠OEC＝∠COE＝＝75°，
∴∠AEG＝180°﹣∠OEC﹣∠OEG＝30°，
∵∠GAE＝∠OAG+∠OAC＝60°，
∴∠AGE＝180°﹣∠GAE﹣∠AEG＝90°，
∴AG2+EG2＝AE2，
∴EF2+FC2＝AE2；
②在OF上截取OH＝OE，连接BH，
∵∠EOF＝∠BOC＝60°，
∴∠EOC＝∠HOB，
在△EOC与△HOB中，
，
∴△EOC≌△HOB（SAS），
∴CE＝BH，∠OEC＝∠OHB，
∵AO＝AE，
∴∠AEO＝∠AOE＝＝75°，
∴∠OEC＝180°﹣∠A＝105°，
∴∠OHB＝∠OEC＝105°，
∴∠BHF＝75°，
∵∠BOF＝180°﹣∠AOE﹣∠EOF＝45°，
∴∠OFB＝180°﹣∠BOF﹣∠OBC＝75°，
∴∠BHF＝∠OFB，
∴BH＝BF，
∴CE＝BF．
2020-2021学年福建省泉州市安溪县八年级第一学期期末数学试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．9的算术平方根是（ ）
A．3 B．±3 C．﹣3 D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．（﹣2a）2＝﹣4a2
C．m3•m2＝m6 D．a6÷a2＝a4
3．下列命题中，假命题是（ ）
A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
B．等腰三角形顶角平分线把它分成两个全等的三角形
C．相等的两个角是对顶角
D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
4．△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为100cm，A、B分别与D、E对应，且AB＝35cm，DF＝30cm，则EF的长为（ ）
A．35cm B．30cm C．45cm D．55cm
5．某校为了了解九年级学生的体能情况，随机抽查了其中的30名学生，测试了1分钟仰卧起座的次数，并绘制成如图所示的频数分布直方图，请根据图示计算，仰卧起座次数在15～20次之间的频率是（ ）
A．0.1 B．0.17 C．0.33 D．0.4
6．下列因式分解中，正确的是（ ）
A．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4 B．4a2﹣12a+9＝（2a+3）2
C．ab2﹣c2＝a（b2﹣c2） D．（x+3）2﹣4＝（x+5）（x+1）
7．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a、b、c，下列结论中不正确的是（ ）
A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形
B．如果a2＝b2+c2，那么△ABC是直角三角形
C．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么△ABC是直角三角形
D．如果a：b：c＝3：4：5，那么△ABC是直角三角形
8．用反证法证明：“在同一个平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（ ）
A．a不垂直于c B．a与b相交
C．a不垂直于b D．a、b都不垂直于c
9．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，D是AC的中点，ED⊥AC交AB于点E，已知AC＝6，DE＝2，则BC的长为（ ）
A． B． C． D．
10．仔细观察，探索规律：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1；
…
则22021+22020+22019+…+2+1的个位数字是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）
11．因式分解：x2﹣2x＝ ．
12．计算：（6x2y+3xy）÷3xy＝ ．
13．已知m、n是两个连续的整数，且m＜+＜n，则m+n＝ ．
14．已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是 ．
15．若ax＝2，ay＝3，则a2x+y＝ ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，过点A作AM∥CB，CE平分∠ACB交AM于点E，Q是线段CE上的点，连接BQ，过点B作BP⊥BQ交AM于点P，当△PBQ为等腰三角形时，AP＝ ．
三、解答题（本大题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．计算：+﹣|﹣2|．
18．化简求值：[（2x﹣y）（2x+y）+y（y﹣6x）]÷2x，其中x＝2，y＝﹣3．
19．已知：如图，点E、C在线段BF上，AB＝DE，∠A＝∠D，AC∥DF．求证：BE＝CF．
20．泉州市“五个一百工程”在各校普遍开展，为了了解某校学生每天课外阅读所用的时间情况，某校从该校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
每天课外阅读时间t（h）
频数
频率
0＜t≤0.5
24
0.5＜t≤1
36
0.3
1＜t≤1.5
0.4
1.5＜t≤2
12
b
合计
a
1
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中a＝ ，b＝ ．
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该校有学生2000人，试估计该校学生每天课外阅读时间超过1h的人数．
21．如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC．
（Ⅰ）请用尺规作图的方法在边AC上确定点P，使得点P到边BC的距离等于PA的长；（保留作图痕迹，不写作法）
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：BC＝AB+AP．
22．如图，将一张长方形铁皮切割成九块，切痕如图虚线所示，其中有两块是边长都为acm的大正方形，两块是边长都为bcm的小正方形，五块是长、宽分别是acm、bcm的全等小长方形，且a＞b．
（1）用含a、b的代数式表示切痕的总长为 cm；
（2）若每块小长方形的面积为12cm2，四块正方形的面积和为80cm2，试求a+b的值．
23．如图，△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的高，将△ADC沿AD所在的直线翻折，使点C落在BC边上的点E处．
（1）若AB＝20，AC＝13，CD＝5，求△ABC的面积；
（2）求证：AB2﹣AC2＝BE⋅BC．
24．若一个两位数十位、个位上的数字分别为 m、n，我们可将这个两位数记为，易知＝10m+n；一个三位数同法可记为：＝100a+10b+c．
（1）若﹣＝28，则x＝ ；
（2）求证：•﹣m•n一定能被10整除；
（3）数学中有一个有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位上的数字各不相同．把这个三位数上的数字重新排列，得出一个最大数和一个最小数，用得出的最大数减去最小数得到一个新三位数；再将这个新三位数按上述方式重新排列，再相减又得到一个新三位数；像这样进行若干次后一定会得到一个重复出现的三位数，这个重复出现的三位数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．
①请直接写出该黑洞数 ；
②以三位数（不妨设a＞b＞c＞0）为例，说明该黑洞数的产生过程．
25．如图1，在△ABC中，∠A＝30°，O是AB上的点，OA＝OB＝OC．
（1）填空：∠ACB＝ °；
（2）若点E是AC边上的一个动点，连结OE，以点O为顶点在OE的右侧作∠EOF＝60°，交折线ACB于点F．
①如图2，若点F在AC边上，且CE＝CO，小华同学在探究线段AE、EF、FC之间的数量关系时，他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是：将△OCF绕点O顺时针旋转120°，得到△OAG，连结EG．请你参考小华同学的做法，猜想线段AE、EF、FC之间的数量关系，并加以证明；
②若点F在BC边上，且AE＝AO，请你画出图形，并证明：BF＝CE．
参考答案
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．9的算术平方根是（ ）
A．3 B．±3 C．﹣3 D．
【分析】根据开方运算，可得一个正数的算术平方根．
解：9的算术平方根是3．
故选：A．
2．下列计算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．（﹣2a）2＝﹣4a2
C．m3•m2＝m6 D．a6÷a2＝a4
【分析】直接利用同底数幂的乘除法运算法则以及结合积的乘方运算法则和幂的乘方运算法则分别化简求出答案．
解：A、（a2）3＝a6，故此选项错误；
B、（﹣2a）2＝4a2，故此选项错误；
C、m3•m2＝m5，故此选项错误；
D、a6÷a2＝a4，正确．
故选：D．
3．下列命题中，假命题是（ ）
A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
B．等腰三角形顶角平分线把它分成两个全等的三角形
C．相等的两个角是对顶角
D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
【分析】根据直角三角形全等的判定，等腰三角形性质，等边三角形的判定，等腰直角三角形的性质对各选项分析判断即可得解．
解：A、两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，是真命题；
B、等腰三角形顶角平分线把它分成两个全等的三角形，是真命题；
C、相等的两个角不一定是对顶角，原命题是假命题；
D、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，是真命题；
故选：C．
4．△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为100cm，A、B分别与D、E对应，且AB＝35cm，DF＝30cm，则EF的长为（ ）
A．35cm B．30cm C．45cm D．55cm
【分析】根据全等三角形的性质求出△DEF的周长为100cm，DE＝AB＝35cm，即可求出答案．
解：∵△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为100cm，AB＝35cm，DF＝30cm，
∴△DEF的周长为100cm，DE＝AB＝35cm，
∴EF＝100cm﹣35cm﹣30cm＝35cm．
故选：A．
5．某校为了了解九年级学生的体能情况，随机抽查了其中的30名学生，测试了1分钟仰卧起座的次数，并绘制成如图所示的频数分布直方图，请根据图示计算，仰卧起座次数在15～20次之间的频率是（ ）
A．0.1 B．0.17 C．0.33 D．0.4
【分析】根据直方图中各组的频率之和等于1及频率的计算公式，结合题意可得仰卧起做次数在15～20间小组的频数，再由频率的计算公式可得其频率，进而可得答案．
解：由频率的意义可知，从左到右各个小组的频率之和是1，同时每小组的频率＝，
所以仰卧起坐次数在15～20间的小组的频数是30﹣5﹣10﹣12＝3，其频率为＝0.1，
故选：A．
6．下列因式分解中，正确的是（ ）
A．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4 B．4a2﹣12a+9＝（2a+3）2
C．ab2﹣c2＝a（b2﹣c2） D．（x+3）2﹣4＝（x+5）（x+1）
【分析】A、原式利用完全平方公式分解得到结果，即可作出判断；
B、原式利用完全平方公式分解得到结果，即可作出判断；
C、原式不能分解，不符合题意；
D、原式利用平方差公式分解得到结果，即可作出判断．
解：A、原式＝（x﹣2）2，不符合题意；
B、原式＝（2a﹣3）2，不符合题意；
C、原式不能分解，不符合题意；
D、原式＝（x+3+2）（x+3﹣2）＝（x+5）（x+1），符合题意．
故选：D．
7．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a、b、c，下列结论中不正确的是（ ）
A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形
B．如果a2＝b2+c2，那么△ABC是直角三角形
C．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么△ABC是直角三角形
D．如果a：b：c＝3：4：5，那么△ABC是直角三角形
【分析】根据各个选项中的说法，可以判断是否正确，从而可以解答本题．
解：∵∠A﹣∠B＝∠C，
∴∠A＝∠B+∠C，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠A＝180°，
∴∠A＝90°，
∴如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形，故选项A不符合题意；
如果a2＝b2+c2，那么△ABC是直角三角形，故选项B不符合题意；
如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则最大的内角∠C＝180°×＝75°，则该三角形为锐角三角形，故选项C符合题意；
如果a：b：c＝3：4：5，则a2+b2＝c2，故选项D不符合题意；
故选：C．
8．用反证法证明：“在同一个平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（ ）
A．a不垂直于c B．a与b相交
C．a不垂直于b D．a、b都不垂直于c
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，在同一个平面内，两直线平行的反面是两直线相交．
解：反证法证明：“在同一个平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，
应假设a与b不平行，即a与b相交，
故选：B．
9．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，D是AC的中点，ED⊥AC交AB于点E，已知AC＝6，DE＝2，则BC的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意知DE是AC的垂直平分线，得CE＝AE，再通过角度可证明∠B＝∠CEB，得CE＝BC，在Rt△CDE中，利用勾股定理求出CE即可．
解：∵D是AC的中点，ED⊥AC交AB于点E，
∴DE是AC的垂直平分线，
∴CE＝AE，
∴∠A＝∠ECA＝36°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝72°，
∴∠BCE＝36°，
∴∠CEB＝180°﹣∠B﹣BCE
＝180°﹣72°﹣36°
＝72°，
∴∠B＝∠CEB，
∴CE＝BC，
∵D是AC的中点，
∴CD＝3，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
CE＝＝＝，
∴BC＝，
故选：A．
10．仔细观察，探索规律：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1；
…
则22021+22020+22019+…+2+1的个位数字是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【分析】先求出22021+22020+22019+…+2+1＝22022﹣1，再分别求出21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，根据求出的结果得出规律，再求出答案即可．
解：22021+22020+22019+…+2+1
＝（2﹣1）×（22021+22020+22019+…+2+1）
＝22022﹣1，
∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，•••，
又∵2022÷4＝505•••2，
∴22022的个位数字是4，
∴22021+22020+22019+…+2+1的个位数字是4﹣1＝3，
故选：B．
二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）
11．因式分解：x2﹣2x＝ x（x﹣2） ．
【分析】原式提取公因式x即可得到结果．
解：原式＝x（x﹣2），
故答案为：x（x﹣2）．
12．计算：（6x2y+3xy）÷3xy＝ 2x+1 ．
【分析】把多项式的每一项分别除以3xy即可．
解：原式＝6x2y÷3xy+3xy÷3xy
＝2x+1．
故答案为：2x+1．
13．已知m、n是两个连续的整数，且m＜+＜n，则m+n＝ 11 ．
【分析】先估算的取值范围，得出m、n的值，进而可得出结论．
解：，
∵9＜10＜16，
∴3＜＜4，
∴
∵m、n为两个连续的整数，
∴m＝5，n＝6，
∴m+n＝11．
故答案为：11．
14．已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是 15 ．
【分析】分腰为3和腰为6两种情况考虑，先根据三角形的三边关系确定三角形是否存在，再根据三角形的周长公式求值即可．
解：当腰为3时，3+3＝6，
∴3、3、6不能组成三角形；
当腰为6时，3+6＝9＞6，
∴3、6、6能组成三角形，
该三角形的周长＝3+6+6＝15．
故答案为：15．
15．若ax＝2，ay＝3，则a2x+y＝ 12 ．
【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则计算即可．
解：∵ax＝2，ay＝3，
∴a2x+y＝a2x•ay，
＝（ax）2•ay，
＝4×3，
＝12．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，过点A作AM∥CB，CE平分∠ACB交AM于点E，Q是线段CE上的点，连接BQ，过点B作BP⊥BQ交AM于点P，当△PBQ为等腰三角形时，AP＝ 10 ．
【分析】过Q作QD⊥BC于D，过P作PE⊥CB于E，由∠ACB＝90°，PE⊥CB，AM∥CB，得四边形ACEP是矩形，知PE＝AC＝6，AP＝CE，根据∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，得BC＝8，而BP⊥BQ，△PBQ为等腰三角形，可得△QDB≌△BEP（AAS），故BD＝PE＝6，BE＝QD，CD＝BC﹣BD＝2，又CE平分∠ACB，即得△QCD是等腰直角三角形，有QD＝CD＝BE＝2，从而CE＝BC+BE＝AP＝10．
解：过Q作QD⊥BC于D，过P作PE⊥CB于E，如图：
∵∠ACB＝90°，PE⊥CB，AM∥CB，
∴四边形ACEP是矩形，
∴PE＝AC＝6，AP＝CE，
∵∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，
∴BC＝＝＝8，
∵BP⊥BQ，△PBQ为等腰三角形，
∴BQ＝BP，∠QBD＝90°﹣∠PBE＝∠BPE，
∵∠QDB＝∠PEB＝90°，
∴△QDB≌△BEP（AAS），
∴BD＝PE＝6，BE＝QD，
∴CD＝BC﹣BD＝2，
∵CE平分∠ACB，
∴∠QCD＝45°，
∴△QCD是等腰直角三角形，
∴QD＝CD＝2，
∴BE＝2，
∴CE＝BC+BE＝10，
∴AP＝10，
故答案为：10．
三、解答题（本大题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．计算：+﹣|﹣2|．
【分析】原式利用算术平方根、立方根性质，以及绝对值的代数意义计算即可得到结果．
解：原式＝﹣2+8﹣2
＝4．
18．化简求值：[（2x﹣y）（2x+y）+y（y﹣6x）]÷2x，其中x＝2，y＝﹣3．
【分析】原式中括号里利用平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
解：原式＝（4x2﹣y2+y2﹣6xy）÷2x
＝（4x2﹣6xy）÷2x
＝2x﹣3y，
当x＝2，y＝﹣3时，
原式＝2×2﹣3×（﹣3）＝4+9＝13．
19．已知：如图，点E、C在线段BF上，AB＝DE，∠A＝∠D，AC∥DF．求证：BE＝CF．
【分析】根据平行线的性质得到∠ACB＝∠DFE，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠D，根据全等三角形的性质得到BC＝EF于是得到结论．
【解答】证明：∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴BC＝EF，
∴BC﹣EC＝EF﹣EC，
∴BE＝CF．
20．泉州市“五个一百工程”在各校普遍开展，为了了解某校学生每天课外阅读所用的时间情况，某校从该校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
每天课外阅读时间t（h）
频数
频率
0＜t≤0.5
24
0.5＜t≤1
36
0.3
1＜t≤1.5
0.4
1.5＜t≤2
12
b
合计
a
1
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中a＝ 120 ，b＝ 0.1 ．
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该校有学生2000人，试估计该校学生每天课外阅读时间超过1h的人数．
【分析】（1）由0.5＜t≤1的频数及频率可得a的值，用1.5＜t≤2对应频数除以a的值即可得出b的值；
（2）根据频数之和等于总数求出1＜t≤1.5的频数即可补全图形；
（3）总人数乘以样本中每天课外阅读时间超过1h的人数所占比例即可．
解：（1）a＝36÷0.3＝120，b＝12÷120＝0.1，
故答案为：120、0.1；
（2）1＜t≤1.5对应频数为120﹣（24+36+12）＝48，
补全图形如下：
（3）2000×（0.4+0.1）＝1000（人），
∴该校学生每天课外阅读时间超过1h的人数约1000人．
21．如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC．
（Ⅰ）请用尺规作图的方法在边AC上确定点P，使得点P到边BC的距离等于PA的长；（保留作图痕迹，不写作法）
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：BC＝AB+AP．
【分析】（Ⅰ）作∠ABC的平分线即可解决问题．
（Ⅱ）证明Rt△ABP≌Rt△DBP（HL），PD＝DC即可解决问题．
解：（Ⅰ）如图，点P即为所求．
（Ⅱ）过点P作PD⊥BC于点D，
由（Ⅰ）知PA＝PD．
又∵∠A＝90°，PD⊥BC，BP＝BP，
∴Rt△ABP≌Rt△DBP（HL），
∴AB＝DB，
∵∠A＝90°，AB＝AC，
∴∠C＝45°．
∴∠1＝90°﹣45°＝45°，
∴∠1＝∠C，
∴DP＝DC，
∴DC＝AP，
∴BC＝BD+DC＝AB+AP．
22．如图，将一张长方形铁皮切割成九块，切痕如图虚线所示，其中有两块是边长都为acm的大正方形，两块是边长都为bcm的小正方形，五块是长、宽分别是acm、bcm的全等小长方形，且a＞b．
（1）用含a、b的代数式表示切痕的总长为 （6a+6b） cm；
（2）若每块小长方形的面积为12cm2，四块正方形的面积和为80cm2，试求a+b的值．
【分析】（1）根据图形即可得出切痕的总长；
（2）依题意得：2a2+2b2＝80，ab＝12，根据完全平方公式得到（a+b）2的值，即可得到a+b的值．
解：（1）切痕的总长为（6a+6b）cm，
故答案为：（6a+6b）；
（2）依题意得：2a2+2b2＝80，ab＝12，
∴a2+b2＝40，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴（a+b）2＝40+2×12＝64，
∵a+b＞0，
∴a+b＝8．
23．如图，△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的高，将△ADC沿AD所在的直线翻折，使点C落在BC边上的点E处．
（1）若AB＝20，AC＝13，CD＝5，求△ABC的面积；
（2）求证：AB2﹣AC2＝BE⋅BC．
【分析】（1）由AD是BC边上的高，AC＝13，CD＝5，得AD＝12，BD＝16，即有BC＝BD+CD＝16+5＝21，故S△ABC＝BC•AD＝126（平方单位）；
（2）根据△ADC沿AD所在的直线翻折得到△ADE，得AC＝AE，DC＝DE，而AB2﹣AC2＝AB2﹣（AD2+DC2）＝AB2﹣AD2﹣DC2＝（BD﹣DE）（BD+DE），即可证明AB2﹣AC2＝BE•BC．
【解答】（1）解：∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，
∵AC＝13，CD＝5，
∴AD＝＝12，
在Rt△ADB中，
∵AB＝20，AD＝12，
∴BD＝＝16，
∴BC＝BD+CD＝16+5＝21，
∴S△ABC＝BC•AD＝×21×12＝126（平方单位）；
（2）证明：∵△ADC沿AD所在的直线翻折得到△ADE，
∴AC＝AE，DC＝DE，
在Rt△ADC中，由勾股定理，得AC2＝AD2+DC2，
在Rt△ADB中，由勾股定理，得BD2＝AB2﹣AD2，
∴AB2﹣AC2＝AB2﹣（AD2+DC2）
＝AB2﹣AD2﹣DC2
＝BD2﹣DE2
＝（BD﹣DE）（BD+DE），
∵BE＝BD﹣DE，BC＝BD+DC＝BD+DE，
∴AB2﹣AC2＝BE•BC．
24．若一个两位数十位、个位上的数字分别为 m、n，我们可将这个两位数记为，易知＝10m+n；一个三位数同法可记为：＝100a+10b+c．
（1）若﹣＝28，则x＝ 5 ；
（2）求证：•﹣m•n一定能被10整除；
（3）数学中有一个有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位上的数字各不相同．把这个三位数上的数字重新排列，得出一个最大数和一个最小数，用得出的最大数减去最小数得到一个新三位数；再将这个新三位数按上述方式重新排列，再相减又得到一个新三位数；像这样进行若干次后一定会得到一个重复出现的三位数，这个重复出现的三位数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．
①请直接写出该黑洞数 495 ；
②以三位数（不妨设a＞b＞c＞0）为例，说明该黑洞数的产生过程．
【分析】（1）根据已知可知＝80+x，＝10x+7，然后代入计算即可；
（2）根据已知可知＝10m+n，＝10n+m，然后代入计算即可；
（3）①利用特殊值法即可判断，
②根据已知可得最大的三位数是100a+10b+c，最小的三位数是100c+10b+a，然后再进行计算即可．
解：（1）∵﹣＝28，
∴8×10+x﹣（10x+7）＝28，
解得：x＝5；
（2）证明：•﹣m•n
＝（10m+n）（10n+m）﹣mn
＝100mn+10n2+10m2
＝10（m2+n2+10mn），
所以：•﹣m•n一定能被10整除；
（3）①任选一个三位数，
例如：321，
321﹣123＝198，
981﹣189＝792，
972﹣279＝693，
963﹣369＝594，
954﹣459＝495，
954﹣459＝495，
•••
故答案为：495；
②当任选的三位数为时，
第一次运算后得：
100a+10b+c﹣（100c+10b+c）
＝99（a﹣c），
所以：结果为99的倍数，
∵a＞b＞c＞0，
∴a≥b+1≥c+2，
∴a﹣c≥2，
∵9≥a＞c＞0，
∴a﹣c＜9，
∴a﹣c＝2，3，4，5，6，7，8，
∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，
再让这些数字经过运算，分别可以得到：
981﹣189＝792，
972﹣279＝693，
963﹣369＝594，
954﹣459＝495，
954﹣459＝495，
•••
所以，都可以得到该黑洞数是495．
25．如图1，在△ABC中，∠A＝30°，O是AB上的点，OA＝OB＝OC．
（1）填空：∠ACB＝ 90 °；
（2）若点E是AC边上的一个动点，连结OE，以点O为顶点在OE的右侧作∠EOF＝60°，交折线ACB于点F．
①如图2，若点F在AC边上，且CE＝CO，小华同学在探究线段AE、EF、FC之间的数量关系时，他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是：将△OCF绕点O顺时针旋转120°，得到△OAG，连结EG．请你参考小华同学的做法，猜想线段AE、EF、FC之间的数量关系，并加以证明；
②若点F在BC边上，且AE＝AO，请你画出图形，并证明：BF＝CE．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质得∠OCA＝∠A＝30°，由三角形外角的性质得∠BOC＝60°，从而求出∠BOC的度数；
（2）①将△OCF绕点O顺时针旋转120°，得到△OAG，连结EG，利用SAS证明△EOG≌△EOF，得EG＝EF，∠OEG＝∠OEF，再证明∠AGE＝180°﹣∠GAE﹣∠AEG＝90°，由勾股定理得出结论；
②在OF上截取OH＝OE，连接BH，利用SAS证明△EOC≌△HOB，得CE＝BH，∠OEC＝∠OHB，再通过求出相关角度得出BH＝BF，从而证明结论．
解：（1）∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A＝30°，
∴∠BOC＝∠A+∠OCA＝60°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OCB＝＝60°，
∴∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝90°，
故答案为：90；
（2）①EF2+FC2＝AE2，
如图，将△OCF绕点O顺时针旋转120°，得到△OAG，连结EG，
∴△OAG≌△OCF，
∴∠AOG＝∠COF，OG＝OF，AG＝CF，∠AOG＝∠OCF，
∴∠EOG＝∠AOG+∠AOE＝∠AOE+∠COF＝120°﹣∠EOF＝60°，
在△EOG与△EOF中，
，
∴△EOG≌△EOF（SAS），
∴EG＝EF，∠OEG＝∠OEF，
∵∠OCA＝30°，CE＝CO，
∴∠OEC＝∠COE＝＝75°，
∴∠AEG＝180°﹣∠OEC﹣∠OEG＝30°，
∵∠GAE＝∠OAG+∠OAC＝60°，
∴∠AGE＝180°﹣∠GAE﹣∠AEG＝90°，
∴AG2+EG2＝AE2，
∴EF2+FC2＝AE2；
②在OF上截取OH＝OE，连接BH，
∵∠EOF＝∠BOC＝60°，
∴∠EOC＝∠HOB，
在△EOC与△HOB中，
，
∴△EOC≌△HOB（SAS），
∴CE＝BH，∠OEC＝∠OHB，
∵AO＝AE，
∴∠AEO＝∠AOE＝＝75°，
∴∠OEC＝180°﹣∠A＝105°，
∴∠OHB＝∠OEC＝105°，
∴∠BHF＝75°，
∵∠BOF＝180°﹣∠AOE﹣∠EOF＝45°，
∴∠OFB＝180°﹣∠BOF﹣∠OBC＝75°，
∴∠BHF＝∠OFB，
∴BH＝BF，
∴CE＝BF．
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