人教版八年级上册第十三章 轴对称综合与测试精练

人教版八年级上册

第13章 轴对称

常考+易错题 综合练习

一．选择题

1．在千家万户团圆的时刻，我市一批医务工作者奔赴武汉与疫情抗争，他们是“最美逆行者”．下列艺术字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

2．有下列图形：①含18°角的等腰三角形；②含30°角的直角三角形；③含45°角的直角三角形．其中是轴对称图形的有（　　）

A．①②③ B．①② C．②③ D．①③

3．已知点M（3，a）和N（b，4）关于x轴对称，则a的值为（　　）

A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3

4．如图，已知∠A＝36°，∠C＝72°，BE平分∠ABC，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数有（　　）

A．3 B．4 C．5 D．无法确定

5．如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点（网格线的交点）上，要找一个格点C，连接AC，BC，使△ABC成为轴对称图形，则符合条件的格点C的个数是（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

6．如果△ABC是轴对称图形，则它的对称轴一定是（　　）

A．某一条边上的高 

B．某一条边上的中线 

C．平分一角和这个角对边的直线 

D．某一个角的平分线

7．已知点A（4，2），B（﹣2，2），则（　　）

A．线段AB＝2 

B．直线AB∥x轴 

C．点A与点B关于y轴对称 

D．线段AB的中点坐标为（2，2）

8．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC，工程人员这种操作方法的依据是（　　）

A．等边对等角 B．等角对等边 

C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”

9．等腰三角形的一边长为4cm，另一边长为9cm，则它的周长为（　　）

A．13 cm B．17 cm 

C．22 cm D．17 cm或22 cm

10．如图，下列4个三角形中，均有AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（　　）

A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④

11．若等腰三角形中有一个角为50度，则这个等腰三角形的顶角的度数为（　　）

A．50° B．80° C．65°或50° D．50°或80°

12．如图所示，在直角三角形ABC中，已知∠ACB＝90°，点E是AB的中点，且DE⊥AB，DE交AC的延长线于点D、交BC于点F，若∠D＝30°，EF＝2，则DF的长是（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2

13．若点P（a+1，2﹣2a）关于x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示为（　　）

A． 

B． 

C． 

D．

14．一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶100海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶100海里到达C地，则A，C两地相距（　　）

A．100海里 B．80海里 C．60海里 D．40海里

15．如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，△ABD与△ADB′关于直线AD对称，点B的对称点是点B′，若∠B′AC＝14°，则∠B的度数为（　　）

A．38° B．48° C．50° D．52°

16．如图，已知∠B＝20°，∠C＝30°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于（　　）

A．50° B．75° C．80° D．105°

17．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（　　）

A．16 B．32 C．64 D．128

二．填空题

18．如图，已知等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则∠EFD＝　   　．

19．如图，在△ABC中，BC＝10，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC与E，则△ADE的周长等于　   　．

20．四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为　   　．

21．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是　   　．

22．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝DC，若BC＝6，AD＝7，则图中阴影部分图形的面积为 　   　．

23．小明从镜子中看到电子钟显示的时间是20：51，那么实际时间为 　   　．

24．如图，在2×2的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的△ABC为格点三角形，在图中最多能画出　   　个不同的格点三角形与△ABC成轴对称．

25．如图，在Rt△ABC中．∠ACB＝90°．∠A＝50°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AB于点D，连接CD．那么∠ACD的度数是　   　．

26．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，边AC的垂直平分线DE分别交边AB、AC于点D、E，P为直线DE上一点．若BC＝2，则△BCP周长的最小值为 　   　．

三．解答题（共8小题）

27．如图，△ABC中，A点坐标为（2，4），B点坐标为（﹣3，﹣2），C点坐标为（3，1）．

（1）在图中画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′（不写画法），并写出点A′，B′，C′的坐标．

（2）求△ABC的面积．

28．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．

（1）求证：△DEF是等腰三角形；

（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．

29．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．

（1）判断△DEF的形状，并说明理由；

（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的长．

30．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts．

（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？

（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？

31．已知点A（a﹣5，1﹣2a），解答下列问题：

（1）若点A到x轴和y轴的距离相等，求点A的坐标；

（2）若点A向右平移若干个单位后，与点B（﹣2，﹣3）关于x轴对称，求点A的坐标．

32．如图，点P是∠AOB外一点，点M、N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在线段MN的延长线上．若PM＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，则线段QR的长为多少．

33．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．

（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1．

（2）写出点A1，B1，C1的坐标：（直接写答案）

A1：　   　．

B1：　   　．

C1：　   　．

（3）△ABC的面积等于　   　．

（4）在x轴上作出点P，使AP+BP最小，不写作法，保留作图痕迹．

34．如图，在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝6cm，现有两点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次回到点B时，点M、N同时停止运动，设运动时间为ts．

（1）当t为何值时，M、N两点重合；

（2）当点M、N分别在AC、BA边上运动，△AMN的形状会不断发生变化．

①当t为何值时，△AMN是等边三角形；

②当t为何值时，△AMN是直角三角形；

（3）若点M、N都在BC边上运动，当存在以MN为底边的等腰△AMN时，求t的值．

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第13章 轴对称

常考+易错题 综合练习参考答案

一．选择题

1．B．2．D．3．B．4．C．5．B．6．C．7．B．8．D．9．C．10．C．11．D．12．B．

13．C．14．A．15．D．16．C．17．C．

二．填空题

18．45°；19．10；20．70°；21．80°；22．10.5；23．12：05；24．4；25．20°；26．6

三．解答题

27．（1）如右图：A′（﹣2，4），B′（3，﹣2），C′（﹣3，1）；

（2）S△ABC＝6×6﹣×5×6﹣×6×3﹣×1×3

＝36﹣15﹣9﹣1.5

＝10.5

28．（1）证明：∵AB＝AC

∴∠ABC＝∠ACB

在△DBE和△ECF中，，∴△DBE≌△ECF

∴DE＝EF

∴△DEF是等腰三角形

（2）∵△DBE≌△ECF

∴∠1＝∠3，∠2＝∠4

∵∠A+∠B+∠C＝180°

∴∠B＝（180°﹣40°）＝70°

∴∠1+∠2＝110°

∴∠3+∠2＝110°

∴∠DEF＝70°

29．（1）△DEF是等边三角形

理由如下：∵AB＝AD，∠A＝60°

∴△ABD是等边三角形

∴∠ABD＝∠ADB＝60°

∵CE∥AB

∴∠CED＝∠A＝60°，∠DFE＝∠ABD＝60°

∴∠CED＝∠ADB＝∠DFE

∴△DEF是等边三角形

（2）如右图：连接AC交BD于点O

∵AB＝AD，CB＝CD

∴AC是BD的垂直平分线，即AC⊥BD

∵AB＝AD，∠BAD＝60°

∴∠BAC＝∠DAC＝30°

∵CE∥AB

∴∠BAC＝∠ACE＝∠CAD＝30°

∴AE＝CE＝8

∴DE＝AD﹣AE＝12﹣8＝4

∵△DEF是等边三角形，

∴EF＝DE＝4

∴CF＝CE﹣EF＝8﹣4＝4

30．解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°

∵4÷2＝2，∴0≤t≤2，BP＝4﹣2t，BQ＝t

（1）当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形，即4﹣2t＝t

∴

当时，△PBQ为等边三角形

（2）若△PBQ为直角三角形，

①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ，即4﹣2t＝2t

∴t＝1

②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP，即t＝2（4﹣2t）

∴

∴当或t＝1时，△PBQ为直角三角形。

31．（1）点A的坐标为（﹣3，﹣3）或（﹣9，9）；（2）点A的坐标为（﹣6，3）

32．QR＝4.5cm，理由如下：

∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上

∴PM＝MQ，PN＝NR

∵PM＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm

∴RN＝3cm，MQ＝2.5cm，NQ＝MN﹣MQ＝4﹣2.5＝1.5（cm）

∴QR＝RN+NQ＝3+1.5＝4.5（cm）

33．（1）如右图，△A1B1C1即为所求。

（2）A1（1，﹣2），B1（3，﹣1），C1（﹣2，1）

（3）S△ABC＝4.5

（4）如右图，点P即为所求。

34．（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合

x×1+6＝2x

解得：x＝6，即当M、N运动6秒时，点N追上点M

（2）①设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图1：

AM＝t，AN＝6﹣2t

∵∠A＝60°，当AM＝AN时，△AMN是等边三角形

∴t＝6﹣2t，t＝2

∴点M、N运动2秒后，可得到等边三角形△AMN。

②当点N在AB上运动时，如图2：

若∠AMN＝90°，∵BN＝2t，AM＝t

∴AN＝6﹣2t

∵∠A＝60°

∴2AM＝AN，即2t＝6﹣2t，t＝

如图3，若∠ANM＝90°

由2AN＝AM得2（6﹣2t）＝t

解得t＝．

综上所述，当t为或s时，△AMN是直角三角形；

（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形

由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处

如图4，假设△AMN是等腰三角形

∴AN＝AM

∴∠AMN＝∠ANM

∴∠AMC＝∠ANB

∵AB＝BC＝AC

∴△ACB是等边三角形

∴∠C＝∠B

在△ACM和△ABN中：∠AMC＝∠ANB，∠C＝∠B，AC＝AB

∴△ACM≌△ABN（AAS）

∴CM＝BN，

∴t﹣6＝18﹣2t，即t＝8，符合题意。

所以假设成立，当M、N运动8秒时，能得到以MN为底的等腰三角形。

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日期：2022/1/8 12:40:16；用户：初数；邮箱：15763920119；学号：29850889