专题14 平行线分线段成比例定理与三角形形的“四心”-2022年初高中数学无忧衔接课程

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专题14 平行线分线段成比例定理及三角形的“四心”一、知识点精讲（一）平行线分线段成比例定理在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比.在一张方格纸上，我们作平行线，直线交于点，，另作直线交于点，不难发现我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.如图，，有.当然，也可以得出.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.二、典例精析【典例1】．如图， ，且求.【答案】见解析【解析】【典例2】在中，为边上的点，，求证：【答案】见解析【解析】证明（1） ∽，证明（2） 如图过作直线，.过作交于，得，因而 从上例可以得出如下结论：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.【典例3】已知，在上，，能否在上找到一点，使得线段的中点在上.【答案】见解析【解析】 假设能找到，如图3.1-4，设交于，则为的中点，作交于.，，且，，且为的中点.可见，当为的中点时，的中点在上. 我们在探索一些存在性问题时，常常先假设其存在，再解之，有解则存在，无解或矛盾则不存在.【典例4】在中，为的平分线，求证：.【答案】见解析【解析】证明： 过C作CE//AD，交BA延长线于E，AD平分由知.例4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.【典例5】如图3.1-12,在直角三角形ABC中，为直角，.求证：（1），   （2）；（3）【答案】见解析【解析】证明  （1）在与中，，∽， 同理可证得.（2）在与中，，∽，我们把这个例题的结论称为射影定理，该定理对直角三角形的运算很有用.（二）三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.如图，在三角形中，有三条边，三个角，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高是三角形中的三种重要线段.       三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.【典例6】求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.【答案】见解析【解析】已知：D、E、F分别为三边BC、CA、AB的中点，求证：AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1.证明：如图 连结DE，设AD、BE交于点G，D、E分别为BC、AE的中点，则DE//AB，且，∽，且相似比为1：2，.设AD、CF交于点，同理可得，则与重合， AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成.三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.【典例7】已知的三边长分别为，I为的内心，且I在的边上的射影分别为，求证：.【答案】见解析【解析】证明  作的内切圆，则分别为内切圆在三边上的切点，为圆的从同一点作的两条切线，，同理，BD=BF，CD=CE.即.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.【典例8】求证：三角形的三条高交于一点.【答案】见解析【解析】已知  中，AD与BE交于H点.求证  .证明  以CH为直径作圆，在以CH为直径的圆上，.同理，E、D在以AB为直径的圆上，可得.，又与有公共角，，即.过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点. 等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.三、对点精练1. 在中，求（1）的面积及边上的高；（2）的内切圆的半径；（3）的外接圆的半径.【答案】见解析【解析】（1）如图，作于.为的中点，又解得.（2）如图，为内心，则到三边的距离均为，连， ，即，解得.（3）是等腰三角形，外心在上，连，则中，解得【说明】在直角三角形ABC中，为直角，垂心为直角顶点A， 外心O为斜边BC的中点，内心I在三角形的内部，且内切圆的半径为（其中分别为三角形的三边BC,CA,AB的长），为什么？（该直角三角形的三边长满足勾股定理：.） 2. 如图，在中，AB=AC，P为BC上任意一点.求证：.【答案】见解析【解析】证明：过A作于D.在中，.在中，....3. 已知等边三角形ABC和点P，设点P到三边AB，AC，BC的距离分别为，三角形ABC的高为，“若点P在一边BC上（如图a），此时，可得结论：.”请直接应用以上信息解决下列问题：当（1）点P在内（如图b），（2）点在外(如图c)，这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，与之间有什么样的关系，请给出你的猜想（不必证明）.【答案】见解析【解析】（1）当点P在内时，法一  如图，过P作分别交于，由题设知，而，故，即.法二  如图，，，又，，即.（2）当点P在外如图位置时，不成立，猜想：.注意：当点P在外的其它位置时，还有可能得到其它的结论，如，等.在解决上述问题时，“法一”中运用了化归的数学思想方法，“法二”中灵活地运用了面积的方法.