广东省深圳实验学校2021-2022学年高一上学期第二阶段考试数学含答案

深圳实验学校高中部2021-2022学年度第一学期第二阶段考试

高一数学

时间：120分钟     满分：150分    

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．“”是“函数为奇函数”的（    ）

A．充分不必要条件 B．充要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

2.已知函数的定义域为，则的定义域为（    ）

A． B． C． D．

3．已知函数有唯一的零点，则实数a的值为（    ）

A．1 B．－1 C．0 D．－2

4．函数对任意都有成立，且函数的图象关于原点对称，，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

5．同一个直角坐标系下，函数，，且）图象可能是（  ）

A．                   B．

C． D．

6．函数的图像恒过定点P，若，则的最小值是（    ）

A．4 B．3 C．9 D．16

7.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．已知满足，则的值为（    ）

A．20 B．1000 C．100 D．

二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．下列说法正确的是（    ）

A．终边在y轴上的角的集合为

B．，则

C．三角形的内角必是第一或第二象限角

D．若是第二象限角，则是第一或第三象限角

10．函数的值域为，则实数可能的取值有（    ）

A．5 B．1 C． D．3

11．由与的图像判断下列结论，其中正确的有（    ）

A． B．

C． D．

12．已知函数，，则下列四个结论中正确的是（    ）．

A．的图象可由的图象平移得到

B．函数的图象关于直线对称

C．函数的图象关于点对称

D．不等式的解集是

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知实数，且满足则不等式的解集为______.

14．已知，则___________.

15．已知函数对任意两个不相等的实数，，都满足不等式，则实数的取值范围是________.

16．已知定义在上的单调函数，若对任意都有，则______．

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17．已知 ，且

（1）求的值；（2）求的值.

18．已知集合，集合．

（1）当时，求；

（2）若是的必要条件，求实数的取值范围．

19．已知函数．

（1）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明；

（2）当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围．

20． 已知函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在区间，使在上的值域为，那么就称函数为“成功函数”．

（1）判断函数是否为“成功函数”;

（2）函数（，且）是“成功函数”，求实数的取值范围.

21．“金山银山，不如绿水青山”.某乡镇为创建“绿色家园”，决定在乡镇范围内栽种某种观赏树木，已知这种树木自栽种之日起，其生长规律为：树木的高度（单位：米）与生长年限（单位：年）满足关系,树木栽种时的高度为米；1年后，树木的高度达到米.

（1）求的解析式；

（2）问从种植起，第几年树木生长最快？

22．已知函数，.

（1）若是方程的根，证明是方程的根；

（2）设方程，的根分别是，，求证：.

深圳实验学校高中部2021-2022学年度第一学期第二阶段考试

高一数学答案

一、选择题

1. A   2.B    3. D    4. D    5. B     6. C     7. C    8. B

8【详解】因为，，

所以，，

即，，

所以.

二、多选题

9. BD   10. AC    11.ABD   12. ABC

三、填空题

13.       14.       15.        16.

四、解答题

17．（满分10分）

已知 ，且

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）3（2）7

解：（1）由，------2分

                       --------------------------5分

（2）                           --------------------------7分

                       --------------------------10分

18．（满分12分）

已知集合，集合．

（1）当时，求；

（2）若是的必要条件，求实数的取值范围．

【答案】（1）（2）

解（1）当时，，                      --------------------------1分

由得：           --------------------------3分

所以，                             --------------------------5分

（2）由已知有.

①若时，则，解得；              --------------------------7分

②若，则由，得解得，--------------------------10分

综上：的取值范围为                        --------------------------12分

19．（满分12分）

已知函数．

（1）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明；

（2）当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围．

【答案】（1）函数是上的增函数，证明见详解；（2）

解：（1）任取，且 ，               --------------------------2分

，

                                                  --------------------------4分

，且，

                               --------------------------5分

即，∴函数是上的增函数.         --------------------------6分

（2）---------------------7分

原问题等价于

令            ---------------------11分

.                                         --------------------------12分

20． （满分12分）

已知函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在区间，使在上的值域为，那么就称函数为“成功函数”．

（1）判断函数是否为“成功函数”;

（2）若函数（，且）是“成功函数”，求实数的取值范围.

【详解】（1）不是单调函数，

函数不是“成功函数”                  --------------------------4分

（2）由题意，函数（，且）是“成功函数”，

可得函数在其定义域内为增函数，     --------------------------6分

且在上的值域为，

则，即，                     --------------------------7分

所以方程必有两个不相等的实数根．

又由，即，                 --------------------------10分

令，所以关于的方程有两个不相等的正实数根，可得，解得．                       --------------------------12分

21．（满分12分）

“金山银山，不如绿水青山，而且绿水青山就是金山银山”.某乡镇为创建“绿色家园”，决定在乡镇范围内栽种某种观赏树木，已知这种树木自栽种之日起，其生长规律为：树木的高度（单位：米）与生长年限（单位：年）满足关系，树木栽种时的高度为米；1年后，树木的高度达到米.

（1）求的解析式；

（2）问从种植起，第几年树木生长最快？

【答案】（1）；（2）第3年与第4年.

【详解】（1）由已知得，即，所以，解得，，

所以，.                 --------------------------5分

（2）令，.

问题化为，当时，求函数的最大值.

而.

                                             --------------------------8分

当且仅当，即，上式取等号，但，，--------------------------10分

答：种植之日起，第3年与第4年树木生长最快.  --------------------------12分

22．（满分12分）

已知函数，.

（1）若是方程的根，证明是方程的根；

（2）设方程，的根分别是，，求证：.

【答案】（1）证明见解析（2）

【详解】：（1）证明：因为是方程的根，

所以，即                     --------------------------1分

                        --------------------------2分

所以，是方程的根.                    --------------------------4分

（2）法一：由题意知，方程，的根分别是，，

即方程，的根分别为，，

令

设方程，的根分别为，，----------------6分

由（1）知是方程的根，则是方程的根.

令，则是的零点，

又因为是上的增函数，

所以，是的唯一零点，即是方程的唯一根.

所以，                                          ---------------8分

所以，即，

所以，-                                --------------10分

.                               --------------12分

法二：由题意知，方程，的根分别是，，

即方程，的根分别为，，

令

设方程，的根分别为，，

互为反函数，在直线上，，

以下同.