2021深圳实验学校高中部高二下学期第二阶段考试（5月）数学试题含答案

这是一份2021深圳实验学校高中部高二下学期第二阶段考试（5月）数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求.
1．已知集合，则( )
A．（4，＋∞） B．[0，] C．（，4] D．（1，4]
2．下列四组函数中，表示相同函数的一组是( )
A．与B．与
C．与D．与
3．己知某产品的销售额与广告费用之间的关系如下表：
若求得其线性回归方程为，则预计当广告费用为6万元时的销售额为( )
A．42万元B．45万元C．48万元D．51万元
4．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求 现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有( )
A. 132种B. 76种C. 144种D. 78种
5．若随机变量，，若，，则
A.B. C. D.
6．某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，这2人中成绩在90分以上(含90分)的人数为ξ，则ξ的均值为( )
A. eq \f(1,2) B. eq \f(2,3) C. eq \f(1,3) D.eq \f(3,4)
7．设函数，则满足的的取值范围是( )
A．B．
C． D．
8．甲乙两人进行乒乓球赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必
须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若
，则的范围是( )
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列说法不正确的是( )
A．回归直线至少经过其样本数据中的一个点;
B．从独立性检验可知有99%的把握认为吃地沟油与患胃肠癌有关系时，我们就说如果某人吃地沟油，那么他有99%可能患胃肠癌;
C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高;
D．将一组数据的每一个数据都加上或减去同一个常数后，其方差也要加上或减去这个常数.
10．已知二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax－\f(1,\r(x))))eq \s\up12(6)，则下列说法正确的是( )
A. 若a＝1，则展开式中的常数项为15;
B. 若a＝2，则展开式中各项系数之和为1;
C. 若展开式中的常数项为60，则a＝2;
D. 若展开式中各项系数之和为64，则a＝2.
11．下列求函数值域正确的是( )
A. 函数，的值域是；
B. 函数的值域是；
C. 函数的值域是；
D. 函数的值域是．
12．骰子通常作为桌上游戏的小道具 最常见的骰子是六面骰，它是一个质地均匀的正方体，六个面上分别写有数字1，2，3，4，5， 现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第n关要抛掷六面骰n次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算闯过第n关，，2，3， 假定每次闯关互不影响，则( )
A. 直接挑战第2关并过关的概率为;
B. 连续挑战前两关并过关的概率为;
C. 若直接挑战第3关，设“三个点数之和等于15”，“至少出现一个5点”，则;
D. 若直接挑战第4关，则过关的概率是.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13． 已知集合，，若，则实数a的取值集合为__________．
14．节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价是每束5元；节日卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X服从如表所示的分布列.若进这种鲜花500束，则利润的均值为____________．
15．有甲、乙两个盒子，甲盒子中装有3个小球，乙盒子中装有5个小球，每次随机取一个盒子并从中取一个球，当取完一个盒子中的球时，另一个盒子恰剩下3个球的概率为____________．
16．规定：若函数在定义域上的值域是，则称该函数为“微微笑”函数 已知函数且为“微微笑”函数，则a的取值范围是____________．
四、解答题: 本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本题满分10分）
已知p：；.
若p是q的必要条件，求实数m的取值范围；
若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
18．（本题满分12分）
已知函数．
若不等式的解集为，求实数k的值；
若函数在区间上不单调，求实数k的取值范围．
19．（本题满分12分）
已知函数.
若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
若函数在的最小值为，求的解析式.
20.（本题满分12分）
高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”，彰显出中国式创新的强劲活力.某移动支付公司从我市移动支付用户中随机抽取100名进行调查，得到如下数据：
（Ⅰ）把每周使用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活跃用户”，能否在犯错误概率不超过0.005的前提下，认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关？
（Ⅱ）把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“移动支付达人”，视频率为概率，在我市所有“移动支付达人”中，随机抽取4名用户.
求抽取的4名用户中，既有男“移动支付达人”又有女“移动支付达人”的概率；
② 为了鼓励男性用户使用移动支付，对抽出的男“移动支付达人”每人奖励300元，记奖励总金额为，求的分布列及数学期望.
附公式及表如下：
21.（本题满分12分）
某公司为了了解年研发资金投人量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.对公司近年的年研发资金投入量和年销售额的数据，进行了对比分析，建立了两个函数模型：①，②，其中、、、均为常数，为自然对数的底数.并得到一些统计量的值.令，，经计算得如下数据：
（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？
（2）（ⅰ）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程；
（ⅱ）若下一年销售额需达到亿元，预测下一年的研发资金投入量是多少亿元？
附：①相关系数，
回归直线中公式分别为：，；
参考数据：，，.
22.（本题满分12分）
某机器生产商，对一次性购买两台机器的客户推出两种超过质保期后两年内的延保维修方案：
方案一：交纳延保金6000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费1500元；
方案二：交纳延保金7740元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费a元．
某工厂准备一次性购买两台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了100台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，统计得如表：
以这100台机器维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率．记X表示这两台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．
求X的分布列；
以所需延保金与维修费用之和的期望值为决策依据，该工厂选择哪种延保方案更合算．
深圳实验学校高中部2020-2021学年度第二学期第二阶段考试
高二数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.; 14.元; 15.; 16..
四、解答题
17．已知p：；.
若p是q的必要条件，求实数m的取值范围；
若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
解：由得，
若p是q的必要条件，则，
即，解得
即m的取值范围是. ┄┄5分
是的必要不充分条件，q 是p的必要不充分条件，
即，
解得或，
即m的取值范围是或． ┄┄10分
18．已知函数．
若不等式的解集为，求实数k的值；
若函数在区间上不单调，求实数k的取值范围．
18．解：由已知得方程的两根为1和3，
故由得，
再由韦达定理有得符合要求，
故所求为. ┄┄6分
函数在区间上不单调，
，
解得，
所以k的取值范围为． ┄┄12分
19．已知函数.
若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
若函数在的最小值为，求的解析式.
19．解：（1）由
∵在上单调递减，
∴ ┄┄4分
（2）由
1）当时：由（1）知，函数在上单调递减，
则
2）当时：此时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则
3）当时：此时，函数在上单调递增，
则
综上. ┄┄12分
20．高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”，彰显出中国式创新的强劲活力.某移动支付公司从我市移动支付用户中随机抽取100名进行调查，得到如下数据：
（Ⅰ）把每周使用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活跃用户”，能否在犯错误概率不超过0.005的前提下，认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关？
（Ⅱ）把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“移动支付达人”，视频率为概率，在我市所有“移动支付达人”中，随机抽取4名用户.
求抽取的4名用户中，既有男“移动支付达人”又有女“移动支付达人”的概率；
② 为了鼓励男性用户使用移动支付，对抽出的男“移动支付达人”每人奖励300元，记奖励总金额为，求的分布列及数学期望.
附公式及表如下：
20．解：（Ⅰ）由表格数据可得列联表如下：
将列联表中的数据代入公式计算得：
.
所以在犯错误概率不超过0.005的前提下，能认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关.
┄┄6分
（Ⅱ）视频率为概率，在我市“移动支付达人”中，随机抽取1名用户，
该用户为男“移动支付达人”的概率为，女“移动支付达人”的概率为.
①抽取的4名用户中，既有男“移动支付达人”，又有女“移动支付达人”的概率为.
记抽出的男“移动支付达人”人数为，则.
由题意得，
；
；
；
；
.
所以的分布列为
所以的分布列为
由，得的数学期望元. ┄┄12分

21．某公司为了了解年研发资金投人量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.对公司近年的年研发资金投入量和年销售额的数据，进行了对比分析，建立了两个函数模型：①，②，其中、、、均为常数，为自然对数的底数.并得到一些统计量的值.令，，经计算得如下数据：
（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？
（2）（ⅰ）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程；
（ⅱ）若下一年销售额需达到亿元，预测下一年的研发资金投入量是多少亿元？
附：①相关系数，
回归直线中公式分别为：，；
②参考数据：，，.
21．解：（1）设和的相关系数为，和的相关系数为，由题意，
，
，
则，因此从相关系数的角度，模型的拟合程度更好.
┄┄5分
（2）（ⅰ）先建立关于的线性回归方程，
由，得，即；
由于，，
所以关于的线性回归方程为，
所以，则. ┄┄10分
（ⅱ）下一年销售额需达到亿元，即，代入，得，
又，所以，所以，
所以预测下一年的研发资金投入量约是亿元. ┄┄12分
22．某机器生产商，对一次性购买两台机器的客户推出两种超过质保期后两年内的延保维修方案：
方案一：交纳延保金6000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费1500元；
方案二：交纳延保金7740元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费a元．
某工厂准备一次性购买两台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了100台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，统计得如表：
以这100台机器维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率．记X表示这两台机器超过质保期
后延保的两年内共需维修的次数．
求X的分布列；
以所需延保金与维修费用之和的期望值为决策依据，该工厂选择哪种延保方案更合算．
22．解：根据题意，随机变量X的所有取值为0，1，2，3，4，5，6
以这100台机器维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率．
，
，
，
，
，
，
．
随机变量X的分布列为：
┄┄6分
设所需延保金与维修费用之和为，若采用方案1，则随机变量的分布列为：
则随机变量的期望为：
元．
若采用方案2，则随机变量的分布列为：
随机变量的期望为：
元．
令，得元，
若，则方案1的费用高，应选择方案2．
若，则两种方案费用一样多，可以任选一个方案．
若，则方案2的费用高，应选择方案1．
┄┄12分
（单位：万元）
0
1
2
3
4
（单位：万元）
10
15
20
30
35
X
200
300
400
500
P
0.20
0.35
0.30
0.15
每周移动支付次数
1次
2次
3次
4次
5次
6次及以上
男
10
8
7
3
2
15
女
5
4
6
4
6
30
合计
15
12
13
7
8
45
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
维修次数
0
1
2
3
机器台数
20
10
40
30
1
2
3
4
5
6
7
8
B
D
C
D
B
A
C
B
9
10
11
12
ABD
AB
BCD
ACD
每周移动支付次数
1次
2次
3次
4次
5次
6次及以上
男
10
8
7
3
2
15
女
5
4
6
4
6
30
合计
15
12
13
7
8
45
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
非移动支付活跃用户
移动支付活跃用户
合计
男
25
20
45
女
15
40
55
合计
40
60
100
0
1
2
3
4
0
300
600
900
1200
维修次数
0
1
2
3
机器台数
20
10
40
30
X
0
1
2
3
4
5
6
P
6000
7500
9000
10500
12000
p
7740
p