2021-2022学年广东省深圳实验学校高一（下）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年广东省深圳实验学校高一（下）期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）在复平面内，复数满足，则对应的点位于
A．第二象限B．第一象限C．第四象限D．第三象限
2．（5分）已知集合，，，，，，若满足，则的值为
A．或5B．或5C．D．5
3．（5分）在中，角、、对应的边分别为、、，现已知，，若有两解，则的取值范围是
A．B．C．D．
4．（5分）已知棱长为的正四面体的外接球表面积为，内切球表面积为，则
A．9B．3C．4D．
5．（5分）用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，边平行于轴，，平行于轴，已知四边形的面积为，则原四边形的面积为 ．
A．12B．C．D．3
6．（5分）已知，，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．（5分）在中，点是线段上的点，且满足，过点的直线分别交直线，于点，，且，，其中且，若的最小值为3，则正数的值为
A．2B．3C．D．
8．（5分）已知函数是定义在上的增函数，且对，都有，若关于的方程，的两个根分别为和，且，则的值为
A．2B．1C．16D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（5分）设，是复数，则下列说法正确的是
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．（5分）如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论正确的是
A．直线与为异面直线
B．平面
C．
D．正方体外接球体积为
11．（5分）已知中角、、对应的边分别为、、，为所在平面上一点，则下列说法正确的是
A．若，则为锐角
B．若，则为钝角三角形
C．若中，则
D．若为中点，则
12．（5分）在长方体中，，，点是线段的中点，点为线段中点，则下列说法正确的是
A．长方体被平面截得的截面是一个五边形
B．长方体被平面截得的截面面积为
C．与平面平行
D．三棱锥的体积为6
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知，且，为虚数单位，则的最大值是 ．
14．（5分）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则 ．
15．（5分）若，均为非零向量，且，，则向量，的夹角为 ．
16．（5分）在中，角，，的对边分别为，，，，，且为锐角，则面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知是定义在上的奇函数，当时，．
（1）求时，函数的解析式；
（2）若函数在区间，上单调递增，求实数的取值范围；
（3）解不等式．
18．（12分）已知，向量，且．
（1）若三角形为锐角三角形，求的大小；
（2）当，且满足时，求面积的最大值．
19．（12分）如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）为线段上一点，且，求证：平面．
20．（12分）主动降噪耳机工作的主要原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示）．已知某噪声声波曲线的解析式为，，其中振幅为2且经过点．
（1）求该噪声声波曲线的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式；
（2）证明：为定值．
21．（12分）如图，平面四边形，其中，．将沿折起，使在面上的投影即为，在线段上，且，为中点，过作平面，使平行于平面，且平面与直线，分别交于、，与交于．
（1）求的值；
（2）求多面体的体积．
22．（12分）已知函数．
（1）若时，求函数的定义域；
（2）若函数有唯一零点，求实数的取值范围．
2021-2022学年广东省深圳实验学校高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）在复平面内，复数满足，则对应的点位于
A．第二象限B．第一象限C．第四象限D．第三象限
【答案】
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由，得，
在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限．
故选：．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
2．（5分）已知集合，，，，，，若满足，则的值为
A．或5B．或5C．D．5
【答案】
【分析】利用交集定义、集合中元素的互异性直接求解．
【解答】解：集合，，，，，，满足，
或，
由，得，此时，25，，，0，，，，不符合题意；
由，得，
当时，，9，，，，，不符合题意；
当时，，9，，，，，，符合题意．
综上，的值为．
故选：．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、集合中元素的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．（5分）在中，角、、对应的边分别为、、，现已知，，若有两解，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】直接利用正弦定理和三角形的解的情况的应用求出结果．
【解答】解：在中，角、、对应的边分别为、、，现已知，，若有两解，
所以，整理得，
故的取值范围为，．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：三角形的解的情况的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
4．（5分）已知棱长为的正四面体的外接球表面积为，内切球表面积为，则
A．9B．3C．4D．
【答案】
【分析】设点是内切球的球心，设内切球半径为，外接球半径为．由题可知，在中，，即，又，化简可得：，即可得出答案．
【解答】解：如图所示，设点是内切球的球心，正四面体棱长为，
由图形的对称性知，点也是外接球的球心．
设内切球半径为，外接球半径为．
在中，，即，
又，可得，．
故选：．
【点评】本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
5．（5分）用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，边平行于轴，，平行于轴，已知四边形的面积为，则原四边形的面积为 ．
A．12B．C．D．3
【答案】
【分析】根据原图形和直观图形面积之间的关系求解．
【解答】解：根据题意得，
原四边形为一个直角梯形，且上下底的边长分别和、相等，
高为的2倍，
即四边形的高的倍，面积是四边形的倍，
原平面图形的面积为．
故选：．
【点评】本题考查斜二测法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．（5分）已知，，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】
【分析】由两角和的正弦公式可得，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可．
【解答】解：因为，，，
所以，
则由推得出，由推不出，
如，但是，
故“”是“”的充分不必要条件；
故选：．
【点评】本题考查了两角和与差的三角函数以及充分必要条件的判断，属于中档题．
7．（5分）在中，点是线段上的点，且满足，过点的直线分别交直线，于点，，且，，其中且，若的最小值为3，则正数的值为
A．2B．3C．D．
【答案】
【分析】由平面向量基本定理可得，，进而又由点，，三点共线，则，根据“1”的作用由基本不等式的性质，可解得的值．
【解答】解：在中，点是的四等分点，
，
，，，
，，三点共线，，
，
当且仅当，即 时取等号，的最小值为，
即，，．
故选：．
【点评】本题考查了平面向量的基本定理，涉及基本不等式的性质以及应用，属于中档题．
8．（5分）已知函数是定义在上的增函数，且对，都有，若关于的方程，的两个根分别为和，且，则的值为
A．2B．1C．16D．
【答案】
【分析】令，即可得到，再根据，求出，即可得到的解析式，即可得到有两个根，再根据指数与对数的关系及指数的运算法则计算可得．
【解答】解：令，则，且，
又是定义在上的增函数，
所以为常数，即，解得，
所以，
又，即，
即或，即或，
所以，所以；
故选：．
【点评】本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查学生的运算能力，属于中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（5分）设，是复数，则下列说法正确的是
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】
【分析】根据复数的定义与模长公式，分析判断选项中说法的正误即可．
【解答】解：对于，若，则，即，故正确，
对于，若，则与互为共轭复数，所以，故正确；
对于，设，，，，，
若，则，即，
所以，故正确；
对于，若，，则，而，，此时，故错误．
故选：．
【点评】本题考查了复数的定义与模长公式的应用问题，也考查了分析与判断能力，属于基础题．
10．（5分）如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论正确的是
A．直线与为异面直线
B．平面
C．
D．正方体外接球体积为
【答案】
【分析】对于，利用异面直线的定义判断即可，对于，由线面平行的判定定理判断，对于，连接，可得△为等边三角形，从而可判断，对于，正方体的体对角线的长等于其外接球的直径，从而可求出外接球的体积．
【解答】解：对于，因为平面，平面，，
所以直线与为异面直线，所以正确，
对于，因为在正方体中，，平面，平面，所以平面，所以正确，
对于，连接，则由正方体的性质可得△为等边三角形，所以，所以错误，
对于，因为正方体的棱长为2，
所以其体对角线长为，
所以正方体外接球的半径为，
所以正方体外接球体积为，所以错误，
故选：．
【点评】本题主要考查异面直线的判定，线面平行的判定，球与多面体的切接问题等知识，属于中等题．
11．（5分）已知中角、、对应的边分别为、、，为所在平面上一点，则下列说法正确的是
A．若，则为锐角
B．若，则为钝角三角形
C．若中，则
D．若为中点，则
【答案】
【分析】中，时，应考虑、同向情况；
中，时，三角形中为钝角；
中，由正弦定理得出；
中，利用中线的向量表示和余弦定理，即可得出．
【解答】解：对于，当时，为所在平面上的点，所以、也可能同向，则选项错误；
对于，时，为钝角，所以为钝角三角形，选项正确；
对于，中，，由正弦定理得，所以，其中为外接圆的半径，所以正确；
对于，为中点，所以，，
所以，选项正确．
故选：．
【点评】本题考查了平面向量的应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是中档题．
12．（5分）在长方体中，，，点是线段的中点，点为线段中点，则下列说法正确的是
A．长方体被平面截得的截面是一个五边形
B．长方体被平面截得的截面面积为
C．与平面平行
D．三棱锥的体积为6
【答案】
【分析】根据基本事实3确定截面的形状，再求截面的面积由此判断，，根据直线与平面的位置关系判断，由锥体体积公式求体积判断．
【解答】解：延长，交于点，延长，交于点，连接，分别交，与点，，连接，，，，则五边形为长方体被平面截得的截面，对，
因为，点是线段的中点，点为线段中点，
所以△为等腰直角三角形，所以，，
又△与相似，所以，又，
所以，，
所以，，
同理可得，，
在中，，，
所以的面积，
在中，，，
所以的面积，
同理的面积，
所以五边形的面积为，对，
若与平面平行，平面，平面平面，
所以，则，但，所以与平面不平行，
所以错，
因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
由
所以，对，
故选：．
【点评】本题主要考查线面平行的判定，锥体体积的计算，截面及其性质等知识，属于中等题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知，且，为虚数单位，则的最大值是 6 ．
【分析】根据复数模的几何意义，可知的轨迹是以为圆心，为半径的圆，而表示圆上的点到的距离，再求出的最大值．
【解答】解：根据复数模的几何意义，可知的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
表示圆上的点到的距离，
的最大值是，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查复数模的几何意义，考查圆的性质，解题的关键是利用复数模的几何意义进行等价转化，属基础题．
14．（5分）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则 ．
【分析】利用同角三角函数基本关系式、和差公式、正弦定理即可得出．
【解答】解：，，，，
，，
，
则，
故答案为：．
【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式、和差公式、正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
15．（5分）若，均为非零向量，且，，则向量，的夹角为 ．
【分析】根据，，由两向量垂直数量积为0，可得，代入向量夹角公式，可得答案．
【解答】解：，
即①
又，
即②
令向量，的夹角为则，
又由，
故
故答案为：
【点评】本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，其中熟练掌握向量夹角公式是解答的关键．
16．（5分）在中，角，，的对边分别为，，，，，且为锐角，则面积的最大值为 ．
【分析】由已知利用正弦定理可求，结合为锐角，可求，利用余弦定理，基本不等式可求的最大值，进而根据三角形面积公式即可计算得解．
【解答】解：因为，又，
所以，
又为锐角，
所以．
因为，
所以，当且仅当时等号成立，
即，
即当时，面积的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知是定义在上的奇函数，当时，．
（1）求时，函数的解析式；
（2）若函数在区间，上单调递增，求实数的取值范围；
（3）解不等式．
【分析】（1）根据题意，设，则，由函数的解析式可得，结合函数的奇偶性可得，综合即可得答案；
（2）根据题意，由函数的解析式分析的单调递增区间，结合题意可得，解可得的取值范围，即可得答案．
（3）直线的图象，数形结合可得不等式的解集．
【解答】解：（1）根据题意，设，则，
则，
又由函数为奇函数，则，
即时，函数的解析式为．
（2）由（1）可知作出函数的图象如图所示，
由图象可知函数的单调递增区间为，，
若函数在区间，上单调递增，则有，
解得，
故的取值范围为，．
（3）作出直线的图象，与函数图象的交点坐标为，
由图象可知不等式的解集为，．
【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是求出函数的解析式，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
18．（12分）已知，向量，且．
（1）若三角形为锐角三角形，求的大小；
（2）当，且满足时，求面积的最大值．
【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示可求得，结合的范围能求出结果；
（2）由向量的模长坐标运算可表示出，，利用三角形面积公式和基本不等式即可求得结果．
【解答】解：（1），，
，，解得，
．
（2）由（1）得：，，
，，
，
当且仅当时，取等号，
面积的最大值为．
【点评】本题考查向量的运算，考查向量垂直、正切函数性质、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19．（12分）如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）为线段上一点，且，求证：平面．
【分析】（1）要证明线面平行，需证明线线平行，即转化为证明；
（2）要证明线面平行，可转化为证明面面平行，根据判断定理转化为证明平面平面．
【解答】证明：（1）连接，在三角形中，是的中点，是的中点，所以，
平面，平面，所以平面
（2）连接，，分别是，的中点，
又平面，平面，平面
由（1）得平面，平面，平面，
平面平面
又平面，平面．
【点评】本题考查线面平行、面面平行的判定和正方体的截面的做法和面积求法，考查转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．
20．（12分）主动降噪耳机工作的主要原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示）．已知某噪声声波曲线的解析式为，，其中振幅为2且经过点．
（1）求该噪声声波曲线的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式；
（2）证明：为定值．
【分析】（1）根据图象求出函数的解析式，
（2）将解析式代入，利用和与差公式化简即可求解为定值．
【解答】解：（1）由题意，振幅为2，可得，且经过点．
则，
，
；
则解析式为；
由于降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声，
可得；
证明（2）：由（1）可知；
则
．
，即为定值．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．属于基础题．
21．（12分）如图，平面四边形，其中，．将沿折起，使在面上的投影即为，在线段上，且，为中点，过作平面，使平行于平面，且平面与直线，分别交于、，与交于．
（1）求的值；
（2）求多面体的体积．
【分析】（1）由题意结合相似关系和几何图形的特征即可求得的值；
（2）将多面体进行分割，然后结合几何体的特征即可求得其体积．
【解答】解：（1）面，且面，面面，
过做，交于．得，而，则．
（2）连接与
而，
而，
，
．
【点评】本题主要考查空间线段比例关系的求解，割补法求体积等知识，属于中等题．
22．（12分）已知函数．
（1）若时，求函数的定义域；
（2）若函数有唯一零点，求实数的取值范围．
【分析】（1）根据对数的真数为正即可列不等式求解；
（2）令可得①和②，讨论方程①和②有唯一根的的范围即可．
【解答】解：（1）当时，，
要使函数有意义，则，即，即，解得，
函数的定义域为；
（2）令，
则①，
即，
有唯一解，
当时，，解得，符合题意；
当时，方程为一元二次方程，其△，
当时，△，方程有两个相等的实数根，符合题意；
当时，△，方程有两个不等的实数根，；
若为方程①的解，则，解得；
若为方程①的解，则，解得；
要使方程①有唯一实数解，则．
综上，实数的取值范围为，，．
【点评】本题考查 了函数的零点、对数函数的性质、转化思想、分类讨论思想，属于中档题．
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