广东省深圳实验学校光明部2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷

这是一份广东省深圳实验学校光明部2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时间：120分钟满分：150分 命题人：林佳彦 审题人：杜云华
第一卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．下列条件中，是的充分不必要条件的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（ ）
A．B．C．D．
4．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
5．我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
6．近来猪肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的猪肉价格分别为元/斤、元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲、乙两次平均单价分别记为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．的大小无法确定
7．已知命题：任意，命题：存在，若“且”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有多项是符合题目要求的．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．
9．下列各组函数表示不同函数的是（ ）
A．B．
C．D．
10．对于实数，下列命题是真命题的为（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
11．已知集合，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则或D．若时，则或
12．下列说法不正确的是（ ）
A．函数的最小值为2．
B．函数在定义域上是减函数．
C．定义在上的奇函数满足，则函数的周期为4
D．若定义在上的函数为增函数，且，则实数的取值范围为．
第二卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．命题“”的否定为______．
14．已知，则的最大值为______．
15．已知函数是上的增函数，则的取值范围是______．
16．定义在上的函数满足对任意的实数都有，当时，，当时，，则______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知全集为全体实数，集合，集合．
（1）求和；
（2）求和．
18．（本小题满分12分）
已知函数定义域为．
（1）证明在上为奇函数；
（2）用定义证明在上为增函数；
（3）解不等式．
19．（本小题满分12分）
已知集合．
（1）若集合，求此时实数的值；
（2）已知命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围．
20．（本小题满分12分）
已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．
（1）求函数的解析式并画出其图象；
（2）求函数的单调区间；
（3）设函数在上的最大值为，求．
21．（本小题满分12分）
为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为（宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是），设．
（1）当时，求海报纸（矩形）的周长；
（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？
22．（本小题满分12分）
已知函数，
（1）若成立，求的取值范围；
（2）若对，总，使得，求实数的取值范围．
深圳实验学校光明部2023－2024学年度第一学期期中考试
高一数学答案及评分标准
一、单选题（每小题5分，共40分）
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有多项是符合题目要求的．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．也可
14．－1；
15．；也可
16．338．
四、解答题
17．（本小题满分10分）
【详解】（1），
所以．
，
故，
18．（本小题满分12分）
【详解】（1）函数定义域为，因为，都有，
且，故在上为奇函数．
（2）任取，且，则，
因为，所以，
因为，所以，所以，
所以在上为增函数；
（3）函数是定义在上的奇函数，
由，得，又在上为增函数，
所以，解得．所以的取值范围为．
19．（本小题满分12分）
【详解】（1），
所以，方程的两根分别为－5和1，
由韦达定理得，解得；
（2），由于是的充分条件，则．
当时，，此时不成立；
当时，，
，则有，解得；
当时，，
，则有，解得．
综上所述，实数的取值范围是．
20．（本小题满分12分）
【详解】（1）由是定义在上的奇函数，可得，
当时，，那么，则，
所以
函数的解析式为，图象如
（2）函数的单调递增区间为；函数
（3）由图象可知：
当时，在上单调递增，；
时，令，解得；当时，；
当时，．所以．
21．（本小题满分12分）
【详解】（1）设阴影部分直角三角形的高为，所以阴影部分的面积，
所以，又，故，
由图可知．
海报纸的周长为．
故海报纸的周长为．
（2）由（1）知，
，
当且仅当，即时等号成立，
此时，．
故选择矩形的长、宽分别为的海报纸，可使用纸量最少．
22．（本小题满分12分）
【详解】（1）解：因为成立，即成立，
所以，
设，则，
解得或，故的取值范围为．
（2）解：，总，使得，等价于，
由于在上单调递增，因此；
的对称轴为：．
①若，即，函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
，即，解得，舍去；
②若，即，函数在上单调递增，则，
，解得，此时，；
③若，即，函数在上单调递减，则，
所以，，即，该不等式无解．
综上所述，的取值范围是．1
2
3
4
5
6
7
8
B
C
D
A
D
C
D
B
9
10
11
12
ABD
BC
ABC
ABD