广东省深圳实验学校2021-2022学年高二上学期第二阶段考试数学含答案

深圳实验学校高中部2021-2022学年度第一学期第二阶段考试

高二数学

时间：120分钟     满分：150分     命题人：潘盛华    审题人：曾玉泉

第 I卷

一、选择题： DBACB  ACC

二、9. ABC     10. ACD      11.ABC     12．AB

第 Ⅱ卷

三、13.   14．    15．   16．       

四、解答题: 本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本题满分10分）

已知圆：，经过点的一条直线与圆交于A，B两点．

若AB的弦长|AB|,求直线AB的方程．

解：（1）若直线斜率不存在，即直线，满足条件

（2）若直线斜率存在，设直线

所以所求的直线AB的方程为，

18．（本题满分12分）

设数列的前n项和为， 已知．

(１) 求数列的通项公式；

(２) 求数列的前n项的和．

(1）． …………5分

(2）所以数列的前n项的和为       …………12分

19．（本题满分12分）

已知过点的直线与双曲线交于．

（1）求与双曲线共渐近线且过点的双曲线的方程；

（2）若线段的中点为，求直线的方程和三角形面积

（1）设所求双曲线为，点代入得

                                              …………4分

（2）设，，，，点在双曲线上

所以，

相减得，即

所以所求的直线的方程为

设，，，，

则由得

所以，

代入的

所以

20.（本题满分12分）

已知正项数列的前项和为，若是和的等差中项．

(1) 求数列的通项公式；

(2) 若，求的前项和．

解：①因为，所以当，                      …………1分

所以， ，

 因此当时：

，              ……2分

所以 ，                     ………………4分

因为 ，

所以时，即 

所以数列因为是首项为1，公差为2的等差数列，

．                                        …………6分

(2) ，

……①

……②

①-②得：    ………………8分

                                 ………………10分

所以                                  ………………11分

                                         ………………12分

21.（本题满分12分）

在直线：上任取一点，过且以椭圆的焦点为焦点作椭圆．

（1）若所作的椭圆的长轴最短，求椭圆的方程；

（2）求（１）问所求椭圆上的点到直线距离的最大值．

解: （Ⅰ）椭圆的焦点为，，………………………2分

（法一）因为点在所求的椭圆上，所以长轴长．

又长轴要求最短，即在直线：上求一点，使得的值最小．

设点关于直线：的对称点为，

则，解得，所以．       ………………6分

所作的椭圆的长轴长．

即，，，所求椭圆的方程为  ……8分

（法二）设所求椭圆的方程为           ……………2分

则由， 得      …………4分

△     =解得：或（舍去）

所求椭圆的方程为．       ……………………………………………8分

（Ⅱ）（法一）设直线：与直线平行且与椭圆：相切，

则由，得，即，

令△，解得，所以：，………11分

：与：之间的距离，

即椭圆上的点到直线距离的最大值为．………………………………12分

（注：也可以由（Ⅰ）知与椭圆相切，又椭圆关于原点对称，所以关于原点的对称直线即为．）

（法二）设椭圆上任点， …………………………9分

则点到直线距离　                   ，其中，．

而，所以椭圆上的点到直线距离的最大值为．………12分

22.（本题满分12分）

已知动直线（）与抛物线 为常数，且相交于，两点，以弦为直径的圆恒经过坐标原点．

（1）求证：直线过定点，并求出这个定点；

（2）求动圆的圆心的轨迹方程．

解：（1）直线，设，，，，

则以弦为直径的圆恒经过坐标原点．……1分

由得，所以，．… 3分

         ．………………………………4分

所以，解得或（舍去）…………5分

所以恒经过定点，．……………………………………6分

（2）因为圆心是线段的中点，设圆心，，，，，

因为，，，在抛物线上，

所以，，相减得

化简得

所以动圆的圆心的轨迹方程……………………………………12分