广东省湛江一中、深圳实验学校2022届高三上学期10月联考试题数学含答案

2022届高三年级两校联考

数学学科  答案

一、    单项选择题

二、    多项选择题

三、    填空题

13.；   14.；    15.5；     16.

四、解答题

17．（10分）

 已知

（1）化简；

（2）若求的值.

解：（1）….3分

…………………………5分

（2）

由，可得，

………………………………10分

18．（12分）

函数的值域为集合，函数的定义域为集合，记.

（1）若，试判断是的什么条件？（以充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要之一作答）

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

解：令，因为，所以 ……2分

且        ……………………………………………………………4分

函数的值域也就是函数的值域，………6分

根据二次函数的图像特征可知，函数在上单调递增

于是可求得     ……………………………………………………7分

函数有意义需要，即

，所以 …………   9分

⑴     若，则，是的既不充分也不必要条件  ………………  10分

⑵     若是的充分不必要条件，则，即     ……… 11分

解得：        ………………………………………………………………  12分

19．（12分）

已知定义在上的函数满足，且当时，.

（1）解不等式；

（2）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围.

解：（1）函数满足，图像关于直线对称，………….2分

令，则，

设，则，

因为，所以，即，

所以函数在上单调递增，

因为在定义域内为增函数，

所以在上单调递增，……………………………………………….4分

可化为，

即，解得，；………………………………………………………6分

（2）若关于的方程在上有解，

即在上有解，显然

也就是在上有解…………………………………………………..8分

若在上有两根，则，此不等式组无解；..9分

若一根大于而另一根小于1，则，解得，…….10分

若的一个根等于1，则，此时方程为，即，得或不合题意，………………………………………………………………..11分

综上，若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是，.

……………………………………………………………………………………………………………………………………..12分

20. 已知函数(,为常数)在内有两个极值点．

（1）求参数的取值范围；

（2）求证：．

解：(1)由，得．……………1分

记，由题意知，在上存在两个零点．

因为，则

当时，，在上递增，至多只有一个零点，不合题意；……………………………………………………………………………………………………………………….2分

当时，令，得．

（i）若，即时，在上递减，在上递增，

则 ．

当，且，，此时，

从而在和上各有一个零点，

所以，在上存在两个零点．………………………………………4分

（ii）若，即时，在上递减，至多只有一个零点，不合题意．…………………………………………………………………………………………5分

（iii）若，且，即时，此时在上只有一个零点，而在上没有零点，不合题意．

综上所述，．                              …………………………6分

（2）若函数在上存在两个零点，

即，则，两式相减可得……7分

要证，即证…………………………………….8分

即

令，即……………………………………….9分

设，则………10分

所以在区间上单调递增，则……………………….11分

即，那么原不等式成立………………………………….12分

21．（12分）

已知函数．

（1）当时，求的单调性及零点的个数；

（2）当时，求的零点的个数.

解：（1），，………..1分

当时，，所以单调递减. ……………………………………………2分

又因为，，………………………………..3分

所以，有，所以存在一个零点……….5分

（2）当时，，，

所以单调递增，………………………………………….6分

又，，……………………………………..7分

所以，有，

且有时，，单调递减；…..8分

时，，单调递增，

又因为，，

所以，有.

又当时，，，所以.  ……..9分

所以当时，，单调递减；

时，，单调递增，

又，，

所以存在，有，………………………………..10分

当时，，，所以有，

当，有.  …….11分

所以，当时，函数有且仅有一个零点………………………..12分

22．（12分）

已知函数．

（1）探究函数的单调性；

（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

解：（1），得，…………1分

①       若，则，在上单调递增；………………………2分

②若，则，此时，当时，；时，；所以在区间上单调递增，在上单调递减．…………………………….4分

（2）法一：不等式在上恒成立，相当于在上恒成立．令，

则……………….5分

①       当时，因在上恒有，因此是的极大值点．所以此时有；  ……………………………6分

②当时，，此时，可知分别是函数的极大值点和极小值点，因此，有

；……………………………………8分

③当时，，知在上单调递增，所以,

即，所以；……………………………………………………9分

④当时，同理可知分别是函数的极大值点和极小值点，因此，有；…………………………………………………………….11分

综上可知，实数的取值范围是．…………………………………..12分

（2）法二：不等式变为：………………………………5分

①若，则；………………………………………………………………6分

②       若，则，

令，则，…………………..7分

令，则，，

当时，单调递增；

当时，单调递减；所以当时，取得极大值，即

所以，即，……………………………………………………8分

所以………9分

可知是的唯一极大值点，因而也是最大值点．所以；..10分

③       若，，此时，即在上单调递减，所以；……………………………………………………….. 11分

综上可知，实数的取值范围是．………………………………..12分