2021-2022学年苏科版九年级上册数学期末复习试卷（含答案）

这是一份2021-2022学年苏科版九年级上册数学期末复习试卷（含答案），共24页。

2021-2022学年苏科新版九年级上册数学期末复习试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．抛物线y＝x2+2x+2与y轴的交点坐标为（　　）
A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（0，2）
2．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，B分别在y轴、x轴上，OA＝2，OB＝1，斜边AC∥x轴．若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AC的中点D，则k的值为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．8
3．如图，已知AB∥DE，则下列说法不一定正确的是（　　）

A．AC＝BC B．AE＝BD
C．CO⊥AB D．△ABC是等边三角形
4．如图，圆锥的底面半径为6，母线长为10，则圆锥的侧面积是（　　）

A．36π B．60π C．96π D．100π
5．如图，在边长为1的小正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA的值为（　　）

A． B． C． D．
6．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝xcm，宽BC＝ycm，把这张纸片沿一组对边AB和DC的中点连线EF对折，对折后所得矩形AEFD与原矩形ADCB相似，则x：y的值为（　　）

A．2 B． C． D．
7．如图，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC的长为6米，∠ACB＝50°，则拉线AC的长为（　　）

A． B． C．6cos50° D．
8．如图，两个三角形是以点P为位似中心的位似图形，则点P的坐标是（　　）

A．（﹣3，2） B．（﹣3，1） C．（2，﹣3） D．（﹣2，3）
9．如图，在△AOB中，S△AOB＝2，AB∥x轴，点A在反比例函数y＝的图象上，若点B在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（　　）

A．﹣ B． C．3 D．﹣3
10．设P（x，y1），Q（x，y2）分别是函数C1，C2图象上的点，当a≤x≤b时，总有﹣1≤y1﹣y2≤1恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”．则下列结论：
①函数y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”；
②函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”；
③0≤x≤1是函数y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近区间”；
④2≤x≤3是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近区间”．
其中，正确的有（　　）
A．②③ B．①④ C．①③ D．②④
二．填空题（共8小题，满分30分）
11．已知反比例函数y＝的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是　 　．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则sinB等于　 　．

13．如图，PA与⊙O相切，切点为A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CBA上一点，若∠ABC＝28°，则∠P的度数为　 　．

14．在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树AB的高度．如图，数学小组发现大树离教学楼有5m，高1.4m的竹竿在水平地面的影子长1m，此时大树的影子有一部分映在地面上，还有一部分映在教学楼的墙上，墙上的影子高CD为2m，那么这棵大树高 　 　m．

15．某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需要对每个房间每天支出40元的各种费用．房价定为　 　元时，宾馆利润最大，最大利润是　 　元．
16．如图，正方形ABCD和等边三角形AEF都内接于⊙O，若⊙O的半径为2，则扇形BOE的面积为 　 　．

17．抛物线y＝﹣x2+2x﹣5与y轴的交点坐标为　 　．
18．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，若∠BAC＝∠BDA＝135°，且AD＝2，DC＝8，则线段BD的长度为　 　．

三．解答题（共8小题，满分90分）
19．（12分）已知：如图，△ABC为等边三角形，AB＝，AH⊥BC，垂足为点H，点D在线段HC上，且HD＝2，点P为射线AH上任意一点，以点P为圆心，线段PD的长为半径作⊙P，设AP＝x．
（1）当x＝3时，求⊙P的半径长；
（2）如图1，如果⊙P与线段AB相交于E、F两点，且EF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如果△PHD与△ABH相似，求x的值（直接写出答案即可）．
20．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD，CO相交于点E．
（1）求证：＝；
（2）若AD＝16，CE＝4，求⊙O的半径．

21．（10分）如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长AB＝17cm，支撑板长CD＝16cm，底座长DE＝14cm，托板AB联结在支撑板顶端点C处，且CB＝7cm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕D点转动．如图2，若∠DCB＝70°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离（精确到0.1cm）．（参考数值sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，3≈1.73）

22．（10分）教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（min）之间的关系如图所示，回答下列问题：

（1）分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的函数关系式；
（2）求出图中a的值；
（3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他需要在什么时间段内接水？
23．（10分）如图，在矩形ABCD中，E是AD上的一点，沿CE将△CDE对折，点D刚好落在AB边的点F上．
（1）求证：△AEF∽△BFC．
（2）若AB＝20cm，BC＝16cm，求tan∠DCE．

24．（12分）如图，AD是△ABC的中线，且∠DAC＝∠B，E为AD上一点，CD＝CE．
（1）求证：△ACE∽△BAD：
（2）若AB＝10，BC＝6，试求线段AD的长．

25．（12分）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是（3，0）．抛物线与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线的顶点，连接PC．
（1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标．
（2）直线BC与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线BC上一动点．
①当△QAB的面积等于△PCD面积的2倍时，求点Q的坐标；
②在①的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线l垂直于AQ，直线y＝x﹣交直线l于点F，点G在直线y＝x﹣上，且AG＝AQ时，请直接写出GF的长．

26．（14分）对于⊙C与⊙C上一点A，若平面内的点P满足：射线AP与⊙C交于点Q，且PA＝2QA，则称点P为点A关于⊙C的“倍距点”．已知平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（﹣，0）．
（1）如图1，点O为坐标原点，⊙O的半径是，点P是点A关于⊙O的“倍距点”．
①若点P在x轴正半轴上，直接写出点P的坐标是 　 　；
②若点P在第一象限，且∠PAO＝30°，求点P的坐标；
（2）设点T（t，0），以点T为圆心，TA长为半径作⊙T，一次函数y＝x+4的图象分别与x轴、y轴交于D、E，若一次函数y＝x+4的图象上存在唯一一点P，使点P是点A关于⊙T的“倍距点”，求t的值．


参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：当x＝0时，y＝2，
∴抛物线y＝x2+2x+2与y轴的交点坐标为（0，2），
故选：D．
2．解：作CE⊥x轴于E，
∵AC∥x轴，OA＝2，OB＝1，
∴OA＝CE＝2，
∵∠ABO+∠CBE＝90°＝∠OAB+∠ABO，
∴∠OAB＝∠CBE，
∵∠AOB＝∠BEC，
∴△AOB∽△BEC，
∴＝，即＝，
∴BE＝4，
∴OE＝5，
∵点D是AC的中点，
∴D（，2）．
∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点D，
∴k＝×2＝5．
故选：B．

3．解：连接BE．

∵DE∥AB，
∴∠ABE＝∠BED，
∴＝，
∴AE＝BD，故选项B正确，
∵＝，
∴+＝+，即＝，
∴∠BAE＝∠ABD，
∴CA＝CB，故选项A正确，
∵OA＝OB，
∴OC⊥AB，故选项C正确，
故选：D．
4．解：底面周长是：2×6π＝12π，
则圆锥的侧面积是：×12π×10＝60π．
故选：B．
5．解：由题知△ABC为直角三角形，其中AC＝3，BC＝4，
∴tanA＝＝，
故选：B．
6．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝ycm，
由折叠的性质得：AE＝AB＝x，
∵矩形AEFD与原矩形ADCB相似，
∴＝，即＝，
∴x2＝2y2，
∴x＝y，
∴＝＝，
故选：B．
7．解：∵∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BC＝6m，
∴cos50°＝＝，
∴AC＝．
故选：B．
8．解：如图点P为位似中心，
∴＝，即＝，
解得，PB＝3，
∴点P的坐标为（﹣3，2），
故选：A．

9．解：设AB与y轴交于C，
∵A在反比例函数y＝的图象上，AB∥x轴，
∴OC•AC＝1，
∴S△AOC＝OC•AC＝，
∵S△AOB＝2，
∴S△BOC＝，
∴BC•OC＝，
∴BC•OC＝3，
∵点B在反比例函数y＝的图象上且B在第二象限，
∴k＝﹣3，
故选：D．

10．解：①y1﹣y2＝﹣2x﹣7，在1≤x≤2上，当x＝1时，y1﹣y2最大值为﹣9，当x＝2时，y1﹣y2最小值为﹣11，即﹣11≤y1﹣y2≤﹣9，故函数y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”不正确；
②y1﹣y2＝﹣x2+5x﹣5，在3≤x≤4上，当x＝3时，y1﹣y2最大值为1，当x＝4时，y1﹣y2最小值为﹣1，即﹣1≤y1﹣y2≤1，故函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”正确；
③y1﹣y2＝﹣x2+x﹣1，在0≤x≤1上，当x＝时，y1﹣y2最大值为﹣，当x＝0或x＝1时，y1﹣y2最小值为﹣1，即﹣1≤y1﹣y2≤﹣，当然﹣1≤y1﹣y2≤1也成立，故0≤x≤1是函数y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近区间”正确；
④y1﹣y2＝﹣x2+5x﹣5，在2≤x≤3上，当x＝时，y1﹣y2最大值为，当x＝2或x＝3时，y1﹣y2最小值为1，即1≤y1﹣y2≤，故2≤x≤3是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近区间”不正确；
∴正确的有②③，
故选：A．
二．填空题（共8小题，满分30分）
11．解：∵反比例函数y＝的图象位于第一、第三象限，
∴k﹣8＞0，
解得k＞8，
故答案为k＞8．
12．解：由题意得，sinB＝＝＝，
故答案为：．
13．解：如图，连接OA，

∵∠ABC＝28°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝56°，
∵PA与⊙O相切，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
∴∠P＝90°﹣∠AOB＝90°﹣56°＝34°．
故答案为：34°．
14．解：如图所示，过D作DE⊥AB于E，
则BE＝CD＝2（m），DE＝BC＝5（m）．
∵同一时刻物高和影长成正比，
∴＝，
∴AE＝7m，
∴AB＝AE+BE＝7+2＝9（m），
即：这棵大树高为9m．
故答案为：9．

15．解：设空闲房间为x个，则定价增加了10x元，设宾馆的利润为y元，由题意得：
y＝（180+10x﹣40）（50﹣x）
＝﹣10x2+360x+7000
＝﹣10（x﹣18）2+10240，
∵a＝﹣10＜0，抛物线开口向下，
∴当x＝18时，y有最大值，为10240．
此时房间定价为180+10×18＝360（元）．
∴房间定价为360元时，利润最大，最大利润为10240元．
故答案为：360，10240．
16．解：连接OA，
∵正方形ABCD和等边三角形AEF都内接于⊙O，
∴∠AOE＝120°，∠AOB＝90°，
∴∠BOE＝∠AOE﹣∠AOB＝30°，
∴扇形BOE的面积＝＝，
故答案为：π．

17．解：把x＝0代入y＝﹣x2+2x﹣5，求得y＝﹣5，
则抛物线y＝﹣x2+2x﹣5与y轴的交点坐标为（0，﹣5）．
故答案为（0，﹣5）．
18．解：∵∠BAC＝∠BDA，∠ABC＝∠DBA，
∴△ABC∽△DBA，
∴＝，
∴BD＝①，
如图，过点A作AE⊥BC于点E，则∠AED＝90°，

∵∠BDA＝135°，
∴∠ADE＝45°，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∵AD＝2，
∴AE＝DE＝2，
设BD＝x，则BE＝x+2，
∵DC＝8，
∴BC＝x+8，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
AB2＝AE2+BE2
＝4+（x+2）2②，
由①②及BD＝x可得：
x＝，
∴x2+8x＝4+4+4x+x2，
解得x＝2，
经检验，x＝2是原方程的解，
∴BD＝2．
故答案为2．
三．解答题（共8小题，满分90分）
19．解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴，∠B＝60°．
又∵，AH⊥BC，
∴．
即得PH＝AH﹣AP＝6﹣x＝3．
在Rt△PHD中，HD＝2，
利用勾股定理，得．
∴当x＝3时，⊙P的半径长为．

（2）过点P作PM⊥EF，垂足为点M，连接PE．
在Rt△PHD中，HD＝2，PH＝6﹣x．
利用勾股定理，得．
∵△ABC为等边三角形，AH⊥BC，
∴∠BAH＝30°．即得．
在⊙P中，PE＝PD．
∵PM⊥EF，P为圆心，
∴．
于是，在Rt△PEM中，由勾股定理得PM2+EM2＝PE2．
即得．
∴所求函数的解析式为，
定义域为．

（3）∵①△PHD∽△ABH，则有，
，
解得：PH＝，
∴x＝AP＝6﹣，
当P在AH的延长线上时，x＝6+；
②当△PHD∽△AHB时，，
即，
解得：PH＝2，
∴x＝AP＝6﹣2，
当P在AH的延长线上时，x＝6+2；
，，，．

20．解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°．
∴OC⊥AD，
∴＝；
（2）由（1）可知OC⊥AD，
又∵AD＝16，
∴．
设⊙O的半径为r，
∵CE＝4，
∴OE＝r﹣4，
由勾股定理得：82+（r﹣4）2＝r2，
∴r＝10，
∴⊙O的半径为10．

21．解：如图2，过A作AG⊥DE，垂足为G，过点C作CH⊥DE，垂足为H，过点C作CF⊥AG，垂足为F，则四边形CFGH为矩形，
∴CH＝FG，CH∥FG
在Rt△CDH中，sin∠CDH＝，
∴CH＝CD•sin∠CDH＝16×＝8≈13.84（cm），
在Rt△ACF中，∠AFC＝90°，∠A＝∠BCH＝70°﹣30°＝40°，
AC＝AB﹣BC＝17﹣7＝10，
∴AF＝AC•cos40°≈10×0.77≈7.7（cm），
∴AG＝AF+FG＝7.7+13.84＝21.54≈21.5（cm）．
答：点A到直线DE的距离约为21.5cm．

22．解：（1）当0≤x≤8时，设y＝k1x+b，
将（0，20），（8，100）的坐标分别代入y＝k1x+b得，
解得k1＝10，b＝20．
∴当0≤x≤8时，y＝10x+20．
当8＜x≤a时，设y＝，
将（8，100）的坐标代入y＝，
得k2＝800
∴当8＜x≤a时，y＝．
综上，当0≤x≤8时，y＝10x+20；当8＜x≤a时，y＝；

（2）将y＝20代入y＝，
解得x＝40，
即a＝40；

（3）当y＝40时，x＝＝20．
∴要想喝到不低于40℃的开水，x需满足8≤x≤20，
即李老师要在7：38到7：50之间接水．
23．解：（1）证明：∵在矩形ABCD中，沿CE将△CDE对折，点D刚好落在AB边的点F上，
∴△CDE≌△CFE，
∴∠EFC＝∠D＝90°，
∴∠AFE+∠BFC＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠AEF+∠AFE＝90°，
∴∠AEF＝∠BFC，
又∵∠A＝∠B，
∴△AEF∽△BFC．
（2）∵四边形ABCD为矩形，AB＝20cm，BC＝16cm，
∴CD＝20cm，AD＝16cm，
∵△CDE≌△CFE，
∴CF＝CD＝20cm，
在Rt△BCF中，由勾股定理得：BF＝＝12cm，
∴AF＝AB﹣BF＝8cm，
∵△AEF∽△BFC，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝6，
∴DE＝AD﹣AE＝16﹣6＝10cm，
∴在Rt△DCE中，tan∠DCE＝＝＝．
24．证明：（1）∵CD＝CE
∴∠CDE＝∠CED
∴∠AEC＝∠BDA
又∵∠DAC＝∠B
∴△ACE∽△BAD；
（2）∵AD是△ABC的中线，
∴CD＝BD＝CE＝BC＝3，
∵∠DAC＝∠B，
∴∠ACD＝∠BCA，
∴△ACD∽△BCA，
∴，
即，
∴AC＝3，
∵△ACE∽△BAD，
∴，
即，
∴AD＝5．
25．解（1）由题意得，
，
∴b＝2，
∴y＝﹣x2+2x+3
＝﹣（（x﹣1）2+4，
∴P（1，4）．
（2）①如图1，

作CE⊥PD于E，
∵C （0，3），B （3，0），
∴直线BC：y＝﹣x+3，
∴D（1，2），可设Q（a，3﹣a），
∴CE＝PE＝DE，
∴△PCD是等腰直角三角形，
∴S△PCD＝PD•CE＝×2×1＝1，
∴AB•|3﹣a|＝2，
∴×4•|3﹣a|＝2，
∴a＝2或a＝4．
∴Q（2，1）或（4，﹣1）．
②如图2，

设G（m， m﹣），
由AG2＝AQ2得，
（m+1）2+＝（2+1）2+12，
化简，得
5m2+2m﹣16＝0，
∴m1＝﹣2，m2＝，
∴G1（﹣2，﹣3），G2（，﹣），
作QH⊥AB于H，
∵AQ⊥QF，
∴△AHQ∽△QHM，
∴QH2＝AH•HM，
即：12＝3•HM，
∴HM＝，
∴M（，0），
设直线QM是：y＝kx+b，
∴，
∴k＝﹣3，b＝7，
∴y＝﹣3x+7，
由得，
x＝，y＝﹣
∴F（，﹣）
∴G1F＝＝，
G2F＝＝．
26．解：（1）①P在x轴正半轴时，如图1，设点Q为⊙O与x轴正半轴的交点，
∵点O为坐标原点，⊙O的半径是，点P是点A关于⊙O的“倍距点”，
∴AQ＝2，PA＝2QA＝4，
∴点P离开原点O的距离＝4＝3，
∴点P的坐标是（3，0），
故答案为：（3，0）；
②若∠PAO＝30°时，如图2，作QM⊥x轴于M，PN⊥x轴于N，连接OQ，
∴∠QMA＝∠PNA＝90°，
∵∠PAO＝∠PAO，
∴△AQM∽△APN，
∴，
∵点O为坐标原点，⊙O的半径是，点P是点A关于⊙O的“倍距点”，PA＝2QA，
∴OA＝OQ＝，，
∴∠AQO＝∠PAO＝30°，
∴∠QOM＝60°，
∴∠OQM＝30°，
在Rt△OQM中，OQ＝，∠OQM＝30°，
∴QM＝OQ•cos∠OQM＝•cos30°＝，OM＝OQ•sin∠OQM＝•sin30°＝，
∴AM＝OA+OM＝，
∴由比例式得：AN＝3，PN＝3，
∴ON＝AN﹣AO＝3﹣＝2，
∴P（2，3）；
（2）存在符合条件的点P．如图3，
∵一次函数y＝x+4的图象分别与x轴、y轴交于D、E，
∴令y＝0，则x+4＝0，令x＝0，则y＝4，
解得x＝﹣4，
∴D（﹣4，0），E（0，4），
∴OD＝4，OE＝4，
∵y轴⊥x轴，
∴∠EOD＝90°，
∴tan∠EDO＝＝＝，
∴∠EDO＝30°，
取AD的中点G（，0），过点G作GH∥DE交y轴于点H，
则直线GH的解析式为y＝x+，
当⊙T与直线GH相切时，一次函数y＝x+4的图象上存在唯一一点P，使点P是点A关于⊙T的“倍距点”，
设切点为L1或L2，连接T1L1，T2L2，
则∠GL1T1＝∠GL2T2＝90°，
∵GH∥DE，
∴∠OGH＝∠EDO＝30°，
∴AT1＝L1T1＝GT1，L2T2＝GT2，AT2＝L2T2，
∵AT1＝﹣﹣t，AT2＝t+，GT1＝t+，GT2＝t+，
∴﹣﹣t＝×（t+）或t+＝×（t+），
解得：t＝﹣或．