苏科版数学九年级上册期末复习试卷12（含答案）

这是一份苏科版数学九年级上册期末复习试卷12（含答案），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

苏科版数学九年级上册期末复习试卷
一、选择题
1．方程（x﹣5）（x﹣6）=x﹣5的解是（　　）
A．x=5 B．x=5或x=6 C．x=7 D．x=5或x=7
2．二次函数y=x2﹣3x﹣4的图象必定经过点（　　）
A．（﹣1，1） B．（﹣2，6） C．（2，4） D．（4，﹣1）
3．在一次射击训练中，甲、乙两人各射击10次，两人10次射击成绩的平均数均是9.1环，方差分别是S甲2=1.2，S乙2=1.6，则关于甲、乙两人在这次射击训练中成绩稳定的描述正确的是（　　）
A．甲比乙稳定 B．乙比甲稳定
C．甲和乙一样稳定 D．甲、乙稳定性没法对比
4．若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形最小角的正切值为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．75°
6．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（　　）
A．560（1+x）2=315 B．560（1﹣x）2=315 C．560（1﹣2x）2=315 D．560（1﹣x2）=315
7．已知直角三角形ABC的一条直角边AB=12cm，另一条直角边BC=5cm，则以AB为轴旋转一周，所得到的圆锥的表面积是（　　）
A．65πcm2 B．90πcm2 C．155πcm2 D．209πcm2

8．不论m为何实数，抛物线y=x2﹣mx+m﹣2（　　）
A．在x轴上方 B．与x轴只有一个交点
C．与x轴有两个交点 D．在x轴下方
9．若A（﹣5，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）为二次函数y=ax2+2ax+2016（a＜0）的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y1＜y2
10．如图，正方形OABC的边长为2，OA与x轴负半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为（　　）

A． B． C．﹣2 D．
二、填空题
11．二次函数y=（x+1）2﹣2图象的对称轴是　　．
12．已知一组数据：3，3，4，5，5，6，6，6．这组数据的众数是　　．
13．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．则cosA=　　．
14．若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是　　．
15．将二次函数y=2x2的图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，所得图象对应的函数表达式为　　．
16．在同一时刻太阳光线与水平线的夹角是一定的．如图，有一垂直于地面的物体AB．在某一时刻太阳光线与水平线的夹角为30°时，物体AB的影长BC为4米；在另一个时刻太阳光线与水平线的夹角为45°时，则物体AB的影长BD为　　米．（结果保留根号）

17．如图，⊙O的直径AB为12点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，且∠DAC=30°，则图中阴影部分面积为　　．

18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），点P在以D（3，3）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则t的最小值是　　．

三、解答题
19．解方程：（2x+1）2﹣x2=0．


20．计算：2sin60°+cos245°﹣4tan30°．


21．关于x的方程3x2+mx﹣8=0有一个根是，求另一个根及m的值．



22．为了传承优秀传统文化，某校举行“经典诵读”比赛，诵读材料有：A《唐诗》、B《宋词》、C《论语》．将A、B、C这三个字母分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上，把这3张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．小红和小亮参加诵读比赛，比赛时小红先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的内容，放回后洗匀，再由小亮从中随机抽取一张卡片，选手按各自抽取的卡片上的内容进行比赛．
（1）小红诵读《论语》的概率是　　；
（2）请用列表法或画树状图的方法，求小红和小亮诵读两个相同材料的概率．





23．如图，△ABC中，∠B=45°，AB=3，D是BC中点，tanC=．
求：
（1）BC的长；
（2）sin∠ADB．











24．已知二次函数y=x2﹣（m﹣1）x﹣m的图象过点（﹣2，5），与x轴交于点A、B（A在B的左侧）点C在图象上，且S△ABC=8．
求：（1）求m；
（2）求点A、点B的坐标；
（3）求点C的坐标．







25．某水果店销售某种水果，原来每箱售价60元，每星期可卖200箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖20箱．已知该水果每箱的进价是40元，设该水果每箱售价x元，每星期的销售量为y箱．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每箱售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？
（3）若该水果店销售这种水果每星期想要获得不低于4320元的利润，每星期至少要销售该水果多少箱？










26．如图，直线l与⊙O相切于点A，AC为⊙O的直径，AC=8，P是直径AC右侧半圆上的一个动点（不与点A、C重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA、PC．设PA=x，PB=y．求：
（1）△APC与△APB相似吗？为什么？
（2）求y与x的函数关系式；
（3）当x为何值时，x﹣y取得最大值，最大值为多少？





27．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE=∠ADF．
（1）判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PC：AP=1：2，PF=3，求AF的长．








28．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点A（﹣1，0），且与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，点D是顶点．

（1）填空：a=　　；顶点D的坐标为　　；直线BC的函数表达式为：　　．
（2）直线x=t与x轴相交于一点．
①当t=3时得到直线BN（如图1），点M是直线BC上方抛物线上的一点．若∠COM=∠DBN，求出此时点M的坐标．
②当1＜t＜3时（如图2），直线x=t与抛物线、BD、BC及x轴分别相交于点P、E、F、G，3试证明线段PE、EF、FG总能组成等腰三角形；如果此等腰三角形底角的余弦值为，求此时t的值．
　
参考答案
1．方程（x﹣5）（x﹣6）=x﹣5的解是（　　）
A．x=5 B．x=5或x=6 C．x=7 D．x=5或x=7
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】方程左右两边都含有（x﹣5），将其看做一个整体，然后移项，再分解因式求解．
【解答】解：（x﹣5）（x﹣6）=x﹣5
（x﹣5）（x﹣6）﹣（x﹣5）=0
（x﹣5）（x﹣7）=0
解得：x1=5，x2=7；
故选D．
　
2．二次函数y=x2﹣3x﹣4的图象必定经过点（　　）
A．（﹣1，1） B．（﹣2，6） C．（2，4） D．（4，﹣1）
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】将各点横坐标x的值代入y=x2﹣3x﹣4，计算出对应的y值，如果与点的纵坐标相等，则图象经过该点．
【解答】解：A、∵x=﹣1时，y=（﹣1）2﹣3×（﹣1）﹣4=0≠1，故本选项错误；
B、∵x=﹣2时，y=（﹣2）2﹣3×（﹣2）﹣4=6，故本选项正确；
C、∵x=2时，y=22﹣3×2﹣4=﹣6≠4，故本选项错误；
D、∵x=4时，y=42﹣3×4﹣4=0≠﹣1，故本选项错误；
故选B．
　
3．在一次射击训练中，甲、乙两人各射击10次，两人10次射击成绩的平均数均是9.1环，方差分别是S甲2=1.2，S乙2=1.6，则关于甲、乙两人在这次射击训练中成绩稳定的描述正确的是（　　）
A．甲比乙稳定 B．乙比甲稳定
C．甲和乙一样稳定 D．甲、乙稳定性没法对比
【考点】方差．
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：∵S甲2=1.2，S乙2=1.6，
∴S甲2＜S乙2，
∴甲、乙两人在这次射击训练中成绩稳定的是甲，
∴甲比乙稳定；
故选A．
　
4．若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形最小角的正切值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】特殊角的三角函数值；三角形内角和定理．
【分析】根据比例设三个内角分别为k、2k、3k，然后根据三角形内角和等于180°列出方程求出最小角，继而可得出答案．
【解答】解：∵三角形三个内角度数的比为1：2：3，
∴设三个内角分别为k、2k、3k，
∴k+2k+3k=180°，
解得k=30°，
最小角的正切值=tan30°=．
故选：C．
　
5．如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．75°
【考点】圆周角定理．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得∠BCD=90°，可求∠D=60°，即可求∠A=∠D=60°．
【解答】解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
∵∠CBD=30°，
∴∠D=60°，
∴∠A=∠D=60°．
故选C．
　
6．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（　　）
A．560（1+x）2=315 B．560（1﹣x）2=315 C．560（1﹣2x）2=315 D．560（1﹣x2）=315
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是560（1﹣x），第二次后的价格是560（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意得：
560（1﹣x）2=315，
故选：B．
　
7．已知直角三角形ABC的一条直角边AB=12cm，另一条直角边BC=5cm，则以AB为轴旋转一周，所得到的圆锥的表面积是（　　）
A．65πcm2 B．90πcm2 C．155πcm2 D．209πcm2
【考点】圆锥的计算；点、线、面、体；勾股定理．
【分析】根据圆锥的表面积=侧面积+底面积计算．
【解答】解：圆锥的表面积=×10π×13+π×52=90πcm2．
故选B．
　
8．不论m为何实数，抛物线y=x2﹣mx+m﹣2（　　）
A．在x轴上方 B．与x轴只有一个交点
C．与x轴有两个交点 D．在x轴下方
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】图象与x轴是否有交点，即是判断当y=0时，方程x2﹣mx+m﹣2=0的根的情况．
【解答】解：当y=0时，方程x2﹣mx+m﹣2=0的判别式为：
△=（﹣m）2﹣4×1×（m﹣2）=（m﹣2）2+4＞0，
∴方程有两个不相等的根，即抛物线与x轴有两个交点，
故选C．
　
9．若A（﹣5，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）为二次函数y=ax2+2ax+2016（a＜0）的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y1＜y2
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】先由a＜0，得出函数有最大值，再根据点A、B、C到对称轴的距离的大小与抛物线的增减性解答．
【解答】解：二次函数y=ax2+2ax+2016的对称轴为直线x=﹣=﹣1，
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∵点A、B、C到对称轴的距离分别为4、1、2，
∴y1＜y3＜y2．
故选A．
　
10．如图，正方形OABC的边长为2，OA与x轴负半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为（　　）

A． B． C．﹣2 D．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质．
【分析】连接OB，过B作BD⊥x轴于D，若OA与x轴负半轴的夹角为15°，那么∠BOD=30°；在正方形OABC中，已知了边长，易求得对角线OB的长，进而可在Rt△OBD中求得BD、OD的值，也就得到了B点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数a的值．
【解答】解：如图，连接OB，过B作BD⊥x轴于D；
则∠BOA=45°，∠BOD=30°；
已知正方形的边长为2，则OB=2；
Rt△OBD中，OB=2，∠BOD=30°，则：
BD=OB=，OD=OB=；
故B（﹣，﹣），
代入抛物线的解析式中，得：（﹣）2a=﹣，
解得a=﹣；
故选B．

　
二、填空题本大题共8小题，每小题3分，共24分.把答案直接填在答题纸相对应的位置上.
11．二次函数y=（x+1）2﹣2图象的对称轴是　直线x=﹣1　．
【考点】二次函数的性质．
【分析】由抛物线解析式可求得答案．
【解答】解：
∵y=（x+1）2﹣2，
∴对称轴为直线x=﹣1，
故答案为：直线x=﹣1．
　
12．已知一组数据：3，3，4，5，5，6，6，6．这组数据的众数是　6　．
【考点】众数．
【分析】根据众数的定义就可以解决．
【解答】解：6出现的次数最多，所以众数是6．
故填6．
　
13．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．则cosA=　　．
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】先根据勾股定理求得AB的长，然后根据正弦的定义即可求解．
【解答】解：根据勾股定理可得：AB==5，
∴cosA==．
故答案是：．
　
14．若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是　m＞﹣4　．
【考点】根的判别式．
【分析】由方程有两个不相等的实数根可知，b2﹣4ac＞0，代入数据可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：由已知得：
△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）=16+4m＞0，
解得：m＞﹣4．
故答案为：m＞﹣4．
　
15．将二次函数y=2x2的图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，所得图象对应的函数表达式为　y=2（x+1）2+3　．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】先得到抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），由于点（0，0）先向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到的点的坐标为（﹣1，3），则利用顶点式可得到平移后的抛物线的解析式为y=2（x+1）2+3．
【解答】解：抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）先向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到的点的坐标为（﹣1，3），
所以平移后的抛物线的解析式为y=2（x+1）2+3．
故答案为y=2（x+1）2+3．
　
16．在同一时刻太阳光线与水平线的夹角是一定的．如图，有一垂直于地面的物体AB．在某一时刻太阳光线与水平线的夹角为30°时，物体AB的影长BC为4米；在另一个时刻太阳光线与水平线的夹角为45°时，则物体AB的影长BD为　　米．（结果保留根号）

【考点】解直角三角形的应用；平行投影．
【分析】根据锐角三角函数可以求得AB的长，从而可以求得BD的长，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
∠B=90°，BC=4，∠C=30°，
∴tan30°=，
∴AB=，
∵∠B=90°，∠ADB=45°，
∴AB=BD，
∴BD=，
故答案为：．
　
17．如图，⊙O的直径AB为12点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，且∠DAC=30°，则图中阴影部分面积为　18﹣6π　．

【考点】切线的性质；扇形面积的计算．
【分析】连接OC，由圆周角定理得出∠BOC=2∠DAC=60°，可求得∠D=30°，得出OD=2OC=12，由勾股定理求出CD，利用△OCD的面积﹣扇形BOC的面积求得阴影部分的面积．
【解答】解：连接OC，如图所示：
∵DC切⊙O于点C，
∴DC⊥OC，
∵∠BOC=2∠DAC=60°，
∴∠D=30°，
在Rt△OCD中，OC=AB=6，
∴OD=2OC=12，
由勾股定理得：CD=OC=6，
∴S△OCD=OC•CD=×6×6=18，
∵∠COD=60°，
∴S扇形COB==6π，
∴S阴影=S△OCD﹣S扇形COB=18﹣6π；
故答案为：18﹣6π．

　
18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），点P在以D（3，3）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则t的最小值是　﹣1　．

【考点】直角三角形斜边上的中线；坐标与图形性质．
【分析】先求出AB，AC进而得出AC=AB，结合直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，即AP=t，即可得出t最小时，点P在AD上，用两点间的距离公式即可得出结论．
【解答】解：如图，连接AP，
∵点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），
∴AB=（1+t）﹣1=t，AC=1﹣（1﹣t）=t，
∴AB=BC，
∵∠BPC=90°，
∴AP=BC=AB=t，
要t最小，就是点A到⊙D上的一点的距离最小，
∴点P在AD上，
∵A（0，1），D（3，3），
∴AD==，
∴t的最小值是AP=AD﹣PD=﹣1，
故答案为﹣1．

　
三、解答题本大题共10小题，共76分.把解答过程写在答题纸相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔.
19．解方程：（2x+1）2﹣x2=0．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】利用平方差公式分解因式，然后可得（x+1）（3x+1）=0，进而可得x+1=0，3x+1=0，再解即可．
【解答】解：（2x+1﹣x）（2x+1+x）=0，
（x+1）（3x+1）=0，
x+1=0，3x+1=0，
解得x1=﹣1，x2=﹣．
　
20．计算：2sin60°+cos245°﹣4tan30°．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】首先把特殊角的三角函数值代入，然后进行二次根式的运算即可．
【解答】解：原式=2×+×（）2﹣4×
=．
　
21．关于x的方程3x2+mx﹣8=0有一个根是，求另一个根及m的值．
【考点】根与系数的关系．
【分析】由于x=是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出m的值，然后由根与系数的关系来求方程的另一根．
【解答】解：设方程的另一根为t．
依题意得：3×（）2+m﹣8=0，
解得m=10．
又t=﹣，
所以t=﹣4．
综上所述，另一个根是﹣4，m的值为10．
　
22．为了传承优秀传统文化，某校举行“经典诵读”比赛，诵读材料有：A《唐诗》、B《宋词》、C《论语》．将A、B、C这三个字母分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上，把这3张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．小红和小亮参加诵读比赛，比赛时小红先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的内容，放回后洗匀，再由小亮从中随机抽取一张卡片，选手按各自抽取的卡片上的内容进行比赛．
（1）小红诵读《论语》的概率是　　；
（2）请用列表法或画树状图的方法，求小红和小亮诵读两个相同材料的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出小红和小亮诵读两个相同材料的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：（1）小红诵读《论语》的概率=；
故答案为．
（2）画树状图为：

共有9种等可能的结果数，其中小红和小亮诵读两个相同材料的结果数为3，
所以小红和小亮诵读两个相同材料的概率==．
　
23．如图，△ABC中，∠B=45°，AB=3，D是BC中点，tanC=．
求：
（1）BC的长；
（2）sin∠ADB．

【考点】解直角三角形．
【分析】（1）过A作AE⊥BC于E，根据三角函数的定义得到AE=AB•sinB=3×=3，CE=15，于是得到结论；
（2）由D是BC中点，得到BD=BC=9，根据勾股定理得到AD==3，由三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：（1）过A作AE⊥BC于E，
∴∠AEB=90°，
∵∠B=45°，∵sinB=，
∴AE=AB•sinB=3×=3，
∴BE=AE=3，
∵∠AEC=90°，tanC=，
∴CE=15，
∴BC=BE+CE=18；
（2）∵D是BC中点，
∴BD=BC=9，
∴DE=BD﹣BE=6，
∴AD==3，
∴sin∠ADB===．

　
24．已知二次函数y=x2﹣（m﹣1）x﹣m的图象过点（﹣2，5），与x轴交于点A、B（A在B的左侧）点C在图象上，且S△ABC=8．
求：（1）求m；
（2）求点A、点B的坐标；
（3）求点C的坐标．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】（1）把（﹣2，5）代入解析式，求出m；
（2）解一元二次方程求出点A、点B的坐标；
（3）设点C的坐标为（n，n2﹣2n﹣3），根据三角形的面积公式求出n的值，求出点C的坐标．
【解答】解：（1）∵二次函数y=x2﹣（m﹣1）x﹣m的图象过点（﹣2，5），
∴（﹣2）2﹣（m﹣1）×（﹣2）﹣m=5，
解得，m=3；
（2）当m=3时，函数解析式为：y=x2﹣2x﹣3，
y=0时，x2﹣2x﹣3=0，
解得，x1=﹣1，x2=3，
∴点A的坐标为（﹣1，0）、点B的坐标为（3，0）；
（3）设点C的坐标为（n，n2﹣2n﹣3），
∵点A的坐标为（﹣1，0）、点B的坐标为（3，0），
∴AB=4，
由题意得，×4×|n2﹣2n﹣3|=8，
∴|n2﹣2n﹣3|=4，
当n2﹣2n﹣3=4时，n=1±2，
当n2﹣2n﹣3=﹣4时，n=1，
∴点C的坐标为（1+2，4）或（1﹣2，4）或（1，4）．
　
25．某水果店销售某种水果，原来每箱售价60元，每星期可卖200箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖20箱．已知该水果每箱的进价是40元，设该水果每箱售价x元，每星期的销售量为y箱．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每箱售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？
（3）若该水果店销售这种水果每星期想要获得不低于4320元的利润，每星期至少要销售该水果多少箱？
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【分析】（1）根据售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系即可得到结论．
（2））设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．
（3）列出不等式先求出售价的范围，再确定销售数量即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意可得：y=200+20（60﹣x）=﹣20x+1400（0＜x＜60）；

（2）设每星期利润为W元，
W=（x﹣40）（﹣20x+1400）=﹣20（x﹣55）2+4500，
∵﹣20＜0，抛物线开口向下，
∴x=55时，W最大值=4500，且x=55＜60，符合题意．
∴每箱售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润4500元；

（3）由题意W=4320时，（x﹣40）（﹣20x+1400）=4320，
解得：x1=58，x2=52，
故W≥4320时，52≤x≤58，
当x=52时，销售200+20×8=360，
当x=58时，销售200+20×2=240，
故该网店每星期想要获得不低于4320元的利润，每星期至少要销售该水果240箱．
　
26．如图，直线l与⊙O相切于点A，AC为⊙O的直径，AC=8，P是直径AC右侧半圆上的一个动点（不与点A、C重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA、PC．设PA=x，PB=y．求：
（1）△APC与△APB相似吗？为什么？
（2）求y与x的函数关系式；
（3）当x为何值时，x﹣y取得最大值，最大值为多少？

【考点】圆的综合题．
【分析】（1）利用切线的性质以及平行线的性质进而得出∠CAP=∠APB以及∠PBA=∠APC=90°，即可得出答案；
（2）根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）由x2代替y，化为关于x的二次三项式，配方即可求得答案．
【解答】解：（1）△APC∽△APB，
证明：∵⊙O与直线l相切于点A，且AB为⊙O的直径，
∴CA⊥l，∠CPA=90°，
又∵PB⊥l，
∴CA∥PB，
∴∠CAP=∠APB，
又∵PB⊥l，
∴∠APB=90°，
∴∠CAP=∠ABP，
∴△APC∽△APB；

（2）∵△APC∽△APB，
∴，
∴．
∴y=x2（0＜x＜8）；

（3）x﹣y=x﹣=﹣（（x﹣4）2+2，
∴当x为4时，x﹣y取得最大值，最大值为2．
　
27．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE=∠ADF．
（1）判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PC：AP=1：2，PF=3，求AF的长．

【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】（1）结论：AB是⊙O切线，连接DE，CF，由∠FCD+∠CDF=90°，只要证明∠ADF=∠DCF即可解决问题．
（2）只要证明△PCF∽△PAC，得=，设PC=a．则PA=2a，列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）AB是⊙O切线．
理由：连接DE、CF．
∵CD是直径，
∴∠DEC=∠DFC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DEC+∠ACE=180°，
∴DE∥AC，
∴∠DEA=∠EAC=∠DCF，
∵∠DFC=90°，
∴∠FCD+∠CDF=90°，
∵∠ADF=∠EAC=∠DCF，
∴∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADC=90°，
∴CD⊥AD，
∴AB是⊙O切线．

（2）∵∠CPF=∠CPA，∠PCF=∠PAC，
∴△PCF∽△PAC，
∴=，
∴PC2=PF•PA，设PC=a．则PA=2a，
∴a2=3×2a，
∴a=6，
∴PA=2a=12，
则AF=12﹣3=9．

　
28．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点A（﹣1，0），且与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，点D是顶点．

（1）填空：a=　﹣1　；顶点D的坐标为　（1，4）　；直线BC的函数表达式为：　y=﹣x+3　．
（2）直线x=t与x轴相交于一点．
①当t=3时得到直线BN（如图1），点M是直线BC上方抛物线上的一点．若∠COM=∠DBN，求出此时点M的坐标．
②当1＜t＜3时（如图2），直线x=t与抛物线、BD、BC及x轴分别相交于点P、E、F、G，3试证明线段PE、EF、FG总能组成等腰三角形；如果此等腰三角形底角的余弦值为，求此时t的值．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线y=ax2﹣2ax+a+4中，即可求出a的值；利用顶点坐标公式求出点D的坐标；求出点B、点C的坐标，再利用待定系数法求出解析式即可；
（2）①设点M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），利用tan∠COM=tan∠DBN，列出方程，求出m的值即可求出点M的坐标；
②利用待定系数法求出直线BD的解析式，利用用含t的式子表示出EF、FG、PE的长度，利用三边关系即可证明；底角的余弦值为，列出关于t的方程，解得即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点A（﹣1，0），
∴a+2a+a+4=0，解得：a=﹣1；
∴抛物线解析式为：y=﹣x2+2x+3，
∴=1， ==4，
∴顶点D的坐标为：（1，4）；
令x=0，得：y=3，即点C的坐标为（0，3）；
∵点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，
∴1×2﹣（﹣1）=3，
∴点B的坐标为（3，0），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
∴，解得：，
∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3；
故答案为：﹣1，（1，4），y=﹣x+3；
（2）①设点M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），
∵∠COM=∠DBN，
∴tan∠COM=tan∠DBN，
∴，解得：m=±，
∵m＞0，
∴m=，
∴点M（，2）；
②设直线BD的解析式为y=kx+b，
∴，解得：，
∴直线BD的解析式为：y=﹣2x+6；
∴点P（t，﹣t2+2t+3），点E（t，﹣2t+6），点F（t，﹣t+3），
∴PE=（﹣t2+2t+3）﹣（﹣2t+6）=﹣t2+4t﹣3，EF=（﹣2t+6）﹣（﹣t+3）=﹣t+3，FG=﹣t+3，
∴EF=FG．
∵EF+FG﹣PE=2（﹣t+3）﹣（﹣t2+4t﹣3）=（t﹣3）2＞0，
∴EF+FG＞PE，
∴当1＜t＜3时，线段PE，EF，FG总能组成等腰三角形，
由题意的：，即，
∴5t2﹣26t+33=0，解得：t=3或，
∴1＜t＜3，
∴t=．
　

2017年2月25日