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苏科版数学九年级上册期末复习试卷07（含答案）
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这是一份苏科版数学九年级上册期末复习试卷07（含答案），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
苏科版数学九年级上册期末复习试卷
一、选择题
1．2tan60°的值是（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程：x2﹣9=0的解是（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．9
3．一组数据7，8，10，12，13的平均数是（ ）
A．7 B．9 C．10 D．12
4．一个扇形的圆心角是120°，半径是3cm，那么这个扇形的面积是（ ）
A．3πcm2 B． C．6πcm2 D．9πcm2
5．已知点（2，y1），（﹣3，y2）均在抛物线y=x2﹣1上，则y1、y2的大小关系为（ ）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1≤y2 D．y1≥y2
6．下列说法错误的是（ ）
A．直径是圆中最长的弦 B．长度相等的两条弧是等弧
C．面积相等的两个圆是等圆 D．半径相等的两个半圆是等弧
7．如图，在直角坐标系中，△OAB和△OCD是位似图形，O为位似中心，若A点的坐标为（1，1），B点的坐标为（2，1），C点的坐标为（3，3），那么点D的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（6，3） C．（8，4） D．（8，3）
8．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1 250元，衬衫的单价降了x元，那么下面所列的方程正确的是（ ）
A．（20+x）（40﹣2x）=1250 B．（20+x）（40﹣x）=1250
C．（20+2x）（40﹣2x）=1250 D．（20+2x）（40﹣x）=1250
9．如图，已知AB为⊙O的直径，AB=2，AD和BE是圆O的两条切线，A、B为切点，过圆上一点C作⊙O的切线CF，分别交AD、BE于点M、N，连接AC、CB．若∠ABC=30°，则AM等于（ ）
A．0.5 B．1 C． D．
10．已知二次函数y=ax2﹣bx﹣2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a﹣b为整数时，ab的值为（ ）
A．或1 B．或1 C．或 D．或
二、填空题：
11．判别一元二次方程x2﹣2x+2=0的根的情况，该方程 实数根（填“有”或“无”）．
12．把抛物线y=2x2向上平移1个单位后得到的抛物线解析式是： ．
13．在直角三角形ABC中，∠C=90°，若AB=5，AC=4，则sinB= ．
14．一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB=10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是 ．
15．如图，若△ADE∽△ACB，AB=8，AE=4，DE=3，则BC= ．
16．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=2cm，扇形的圆心角θ=120°，则该圆锥的母线长l为 cm．
17．中秋佳节我国有赏月和吃月饼的传统，某校数学兴趣小组为了了解本校学生喜爱月饼的情况，随机抽取了60名同学进行问卷调查，经过统计后绘制了两幅尚不完整的统计图．（注：参与问卷调查的每一位同学在任何一种分类统计中只有一种选择）
请根据统计图完成下列问题：
（1）扇形统计图中，“很喜欢”的部分所对应的圆心角为 度；
（2）条形统计图中，喜欢“豆沙”月饼的学生有 人；
（3）若该校共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该校学生中“很喜欢”和“比较喜欢”月饼的共有 人．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，O是△ABC的内心，以O为圆心，r为半径的圆与线段AB有公共点，则r的取值范围是 ．
三、解答题
19．计算：
（1）÷+（﹣1）3﹣|﹣3| （2）（﹣1）0﹣（）﹣1+2cos30°．
20．解方程：
（1）x2﹣3x﹣4=0 （2）（1﹣2x）2=4x﹣2．
21．已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）=p2，p为实数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）试说明，方程的根不可能是3．
22．如图，己知四边形ABCD内接于圆O，连结BD，∠BAD=115°，∠DBC=65°．
（1）求证：BD=CD；
（2）若圆O的半径为6，求的长（结果保留π）．
23．一只不透明的袋子里共有4个球，其中3个白球，1个红球，它们除颜色外均相同：
（1）从袋子中随机摸出一个球是白球的概率是 ；
（2）从袋子中随机摸出一个球，不放回袋子，摇匀袋子后再摸一个球，请用列表或画树状图的方法，求出两次摸出的球一个是白球，一个是红球的概率．
24．海关缉私人员驾艇在C处发现正北方向30km的A处有一艘可疑船只，并测得它正以60km/h的速度向北偏东60°的方向航行，缉私艇随即以90km/h的速度在B处将可疑船只拦截．缉私艇从C处到B处需航行多长时间？（结果保留根号）
25．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且经A（1，0）、B（0，﹣3）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上，是否存在点M，使它到点A的距离与到点B的距离之和最小，如果存在求出点M的坐标，如果不存在请说明理由．
26．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=45°，OC∥AD，AD交BC的延长线于D，AB交OC于E．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AE=2，CE=2．求⊙O的半径和线段BE的长．
27．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm．点P从点A出发，以4cm/s的速度在线段AB上运动；同时点Q也从点A出发，沿线段AC运动，且始终保持PQ⊥AB．以点Q为圆心，PQ为半径作⊙O．设运动时间为t（s）．
（1）求点Q的运动速度；
（2）若⊙O与BC相切，求运动时间t；
（3）过点Q作QD∥AB交⊙O于点D（点D在AC所在的直线下方），连结DC．当点Q在线段AC上运动时，求△CDQ面积的最大值．
28．如图，抛物线y=﹣x2+bx+3，与x轴交于点B（﹣2，0）和C，与y轴交于点A，点M在y轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连结BM并延长，交抛物线于D，过点D作DE⊥x轴于E．当以B、D、E为顶点的三角形与△AOC相似时，求点M的坐标；
（3）连结BM，当∠OMB+∠OAB=∠ACO时，求AM的长．
参考答案
1．2tan60°的值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：2tan60°=2，
故选：B．
2．一元二次方程：x2﹣9=0的解是（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．9
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．
【分析】直接开平方法求解可得．
【解答】解：∵x2=9，
∴x=3或x=﹣3，
故选：C．
3．一组数据7，8，10，12，13的平均数是（ ）
A．7 B．9 C．10 D．12
【考点】算术平均数．
【分析】根据平均数的定义：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数进行计算即可．
【解答】解：（7+8+10+12+13）÷5
=50÷5
=10
答：一组数据7，8，10，12，13的平均数是10．
故选：C．
4．一个扇形的圆心角是120°，半径是3cm，那么这个扇形的面积是（ ）
A．3πcm2 B． C．6πcm2 D．9πcm2
【考点】扇形面积的计算．
【分析】根据扇形的面积进行计算即可．
【解答】解：S===3π，
故选A．
5．已知点（2，y1），（﹣3，y2）均在抛物线y=x2﹣1上，则y1、y2的大小关系为（ ）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1≤y2 D．y1≥y2
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=0，然后比较两个点离直线x=0的远近得到y1、y2的大小关系．
【解答】解：∵二次函数的解析式为y=x2﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x=0，
∵（2，y1）、B（﹣3，y2），
∴点（﹣3，y2）离直线x=0远，点（2，y1）离直线x=0近，
而抛物线开口向上，
∴y1＜y2．
故选A．
6．下列说法错误的是（ ）
A．直径是圆中最长的弦 B．长度相等的两条弧是等弧
C．面积相等的两个圆是等圆 D．半径相等的两个半圆是等弧
【考点】圆的认识．
【分析】根据直径的定义对A进行判断；根据等弧的定义对B进行判断；根据等圆的定义对C进行判断；根据半圆和等弧的定义对D进行判断．
【解答】解：A、直径是圆中最长的弦，所以A选项的说法正确；
B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以B选项的说法错误；
C、面积相等的两个圆的半径相等，则它们是等圆，所以C选项的说法正确；
D、半径相等的两个半圆是等弧，所以D选项的说法正确．
故选B．
7．如图，在直角坐标系中，△OAB和△OCD是位似图形，O为位似中心，若A点的坐标为（1，1），B点的坐标为（2，1），C点的坐标为（3，3），那么点D的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（6，3） C．（8，4） D．（8，3）
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【分析】利用位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，ky），进而求出即可．
【解答】解：∵A点的坐标为（1，1），C点的坐标为（3，3），
∴位似比k=3，
∵B点的坐标为（2，1），
∴点D的坐标是：（2×3，1×3 ），即（6，3）．
故选：B．
8．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1 250元，衬衫的单价降了x元，那么下面所列的方程正确的是（ ）
A．（20+x）（40﹣2x）=1250 B．（20+x）（40﹣x）=1250
C．（20+2x）（40﹣2x）=1250 D．（20+2x）（40﹣x）=1250
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】设衬衫的单价降了x元．根据题意等量关系：降价后的销量×每件的利润=1250，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设衬衫的单价降了x元．根据题意，得
（20+2x）（40﹣x）=1250，
故选D．
9．如图，已知AB为⊙O的直径，AB=2，AD和BE是圆O的两条切线，A、B为切点，过圆上一点C作⊙O的切线CF，分别交AD、BE于点M、N，连接AC、CB．若∠ABC=30°，则AM等于（ ）
A．0.5 B．1 C． D．
【考点】切线的性质．
【分析】过点M作MG⊥AC，垂足为G．依据圆周角定理可知∠C=90°，然后依据含30度直角三角形的性质可求得AC=1，然后依据切线长定理可求得AM=MC，依据等腰三角形三线合一的性质可求得AG=0.5，接下来，再依据切线的性质可求得∠MAB=90°，然后可求得∠DAG=30°，最后在Rt△AMG中利用特殊锐角三角函数值求解即可．
【解答】解：过点M作MG⊥AC，垂足为G．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠C=90°．
又∵∠ABC=30°，AB=2，
∴AC=1，∠CAB=60°．
∵AD为⊙O的切线，
∴∠DAB=90°．
∴∠MAC=30°．
由切线长定理可知MC=MA．
又∵MG⊥AC，
∴AG=AC=．
在Rt△AMG中，∠MAG=30°，
∴=，即，解得：AM=．
故选：C．
10．已知二次函数y=ax2﹣bx﹣2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a﹣b为整数时，ab的值为（ ）
A．或1 B．或1 C．或 D．或
【考点】二次函数的性质．
【分析】首先根据题意确定a、b的符号，然后进一步确定a的取值范围，根据a﹣b为整数确定a、b的值，从而确定答案．
【解答】解：依题意知a＞0，＞0，a+b﹣2=0，
故b＞0，且b=2﹣a，a﹣b=a﹣（2﹣a）=2a﹣2，
于是0＜a＜2，
∴﹣2＜2a﹣2＜2，
又a﹣b为整数，
∴2a﹣2=﹣1，0，1，
故a=，1，，
b=，1，，
∴ab=或1，
故选A．
二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分；请将正确答案填在相应的横线上）
11．判别一元二次方程x2﹣2x+2=0的根的情况，该方程 无 实数根（填“有”或“无”）．
【考点】根的判别式．
【分析】把a=1，b=﹣2，c=2代入判别式△=b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断根的情况．
【解答】解：∵a=1，b=﹣2，c=2
∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×2×1=﹣4＜0，
∴方程没有实数根．
故答案为无．
12．把抛物线y=2x2向上平移1个单位后得到的抛物线解析式是： y=2x2+1 ．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用抛物线顶点式解析式写出即可．
【解答】解：∵抛物线y=2x2的顶点坐标是（0，0），
∴平移后的抛物线的顶点坐标是（0，1），
∴得到的抛物线解析式是y=2x2+1．
故答案为：y=2x2+1．
13．在直角三角形ABC中，∠C=90°，若AB=5，AC=4，则sinB= ．
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】根据三角函数的定义可得出sinB=，代入计算即可．
【解答】解：∵∠C=90°，
∴sinB=，
∵AB=5，AC=4，
∴sinB==，
故答案为．
14．一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB=10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是 16 ．
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【分析】先根据垂径定理得出AB=2BC，再根据勾股定理求出BC的长，进而可得出答案．
【解答】解：∵截面圆圆心O到水面的距离OC是6，
∴OC⊥AB，
∴AB=2BC，
在Rt△BOC中，OB=10，OC=6，
∴BC===8，
∴AB=2BC=2×8=16．
故答案为：16．
15．如图，若△ADE∽△ACB，AB=8，AE=4，DE=3，则BC= 6 ．
【考点】相似三角形的性质．
【分析】根据相似三角形的对应边的比相等列出比例式，计算即可．
【解答】解：∵△ADE∽△ACB，
∴=，即=，
解得，BC=6，
故答案为6．
16．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=2cm，扇形的圆心角θ=120°，则该圆锥的母线长l为 6 cm．
【考点】圆锥的计算．
【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
【解答】解：圆锥的底面周长=2π×2=4πcm，
设圆锥的母线长为R，则： =4π，
解得R=6．
故答案为：6．
17．中秋佳节我国有赏月和吃月饼的传统，某校数学兴趣小组为了了解本校学生喜爱月饼的情况，随机抽取了60名同学进行问卷调查，经过统计后绘制了两幅尚不完整的统计图．（注：参与问卷调查的每一位同学在任何一种分类统计中只有一种选择）
请根据统计图完成下列问题：
（1）扇形统计图中，“很喜欢”的部分所对应的圆心角为 126 度；
（2）条形统计图中，喜欢“豆沙”月饼的学生有 4 人；
（3）若该校共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该校学生中“很喜欢”和“比较喜欢”月饼的共有 675 人．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）由扇形统计图各部分百分比之和为1得“很喜欢”的部分所对应的百分比，再乘以360°即可得；
（2）由总人数及很喜欢的人数所占百分比求得很喜欢部分的人数，再减去其它3个品种的人数即可得答案；
（3）总人数乘以“很喜欢”和“比较喜欢”月饼的百分比之和可得．
【解答】解：（1）∵“很喜欢”的部分所对应的百分比为1﹣25%﹣40%=35%，
∴“很喜欢”的部分所对应的圆心角为360°×35%=126°，
故答案为：126；
（2）∵“很喜欢”的人数为60×35%=21人，
∴喜欢“豆沙”月饼的学生有21﹣6﹣3﹣8=4（人），
故答案为：4；
（3）900×（35%+40%）=675（人），
∴估计该校学生中“很喜欢”和“比较喜欢”月饼的共有675人，
故答案为：675．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，O是△ABC的内心，以O为圆心，r为半径的圆与线段AB有公共点，则r的取值范围是 1≤r≤ ．
【考点】三角形的内切圆与内心；勾股定理．
【分析】作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，根据题意得出四边形OECF是正方形，得出OF=CF，由勾股定理得出AB==5，由内心的性质得出CF=OF=1，AF=AC﹣CF=3，由勾股定理求出OA，由直线与圆的位置关系，即可得出结果．
【解答】解：作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，连接OA、OB，如图所示
则四边形OECF是正方形，
∴OF=CF=OE=CE，
∵∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB==5，
∵O是△ABC的内心，
∴CE=CF=OF=OE=（AC+BC﹣AB）=1，
∴AF=AC﹣CF=3，BE=BC﹣CE=2，
∴OA===，OB===，
当r=1时，以O为圆心，r为半径的圆与线段AB有唯一交点；
当1＜r≤时，以O为圆心，r为半径的圆与线段AB有两个交点；
当＜r≤时，以O为圆心，r为半径的圆与线段AB有1个交点；
∴以O为圆心，r为半径的圆与线段AB有交点，则r的取值范围是1≤r≤；
故答案为1≤r≤．
三、解答题（本大题共10小题，共76分；解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：
（1）÷+（﹣1）3﹣|﹣3|
（2）（﹣1）0﹣（）﹣1+2cos30°．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】（1）原式利用二次根式除法，乘方的意义，以及绝对值的代数意义计算即可得到结果；
（2）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式=﹣1﹣3=3﹣1﹣3=﹣1；
（2）原式=1﹣2+=﹣1．
20．解方程：
（1）x2﹣3x﹣4=0
（2）（1﹣2x）2=4x﹣2．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】（1）因式分解法求解可得；
（2）因式分解法求解即可得．
【解答】解：（1）∵（x﹣4）（x+1）=0，
∴x﹣4=0或x+1=0，
解得：x=4或x=﹣1；
（2）∵（1﹣2x）2+2（1﹣2x）=0，
∴（1﹣2x）（3﹣2x）=0，
则1﹣2x=0或3﹣2x=0，
解得：x=或x=．
21．已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）=p2，p为实数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）试说明，方程的根不可能是3．
【考点】根的判别式．
【分析】（1）首先把原方程转化为一般式，然后用p表示出根的判别式，最后利用非负数的性质作出判断；
（2）假设方程的根是3，得到一个数的平方是负数，进而作出判断．
【解答】（1）证明：已知方程化为：
x2﹣5x+（4﹣p2）=0，
∴△=（﹣5）2﹣4×1×（4﹣p2）=4p2+9，
∵p为实数，
∴4p2+9＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：若方程有一根为3，
则p2=（3﹣1）（3﹣4）=﹣2，
这与一个实数的平方根是非负数矛盾，
即原方程的根不可能是3．
22．如图，己知四边形ABCD内接于圆O，连结BD，∠BAD=115°，∠DBC=65°．
（1）求证：BD=CD；
（2）若圆O的半径为6，求的长（结果保留π）．
【考点】圆内接四边形的性质；弧长的计算．
【分析】（1）直接利用圆周角定理得出∠DCB的度数，再利用∠DCB=∠DBC求出答案；
（2）首先求出的度数，再利用弧长公式直接求出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠DCB+∠BAD=180°，
∵∠BAD=115°，
∴∠DCB=180°﹣115°=65°，
∵∠DBC=65°，
∴∠DCB=∠DBC=65°，
∴BD=CD；
（2）解：∵∠DCB=∠DBC=65°，
∴∠BDC=50°，
由圆周角定理，得的度数为：100°，
故===π，
答：的长为π．
23．一只不透明的袋子里共有4个球，其中3个白球，1个红球，它们除颜色外均相同：
（1）从袋子中随机摸出一个球是白球的概率是 ；
（2）从袋子中随机摸出一个球，不放回袋子，摇匀袋子后再摸一个球，请用列表或画树状图的方法，求出两次摸出的球一个是白球，一个是红球的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）根据总球的个数和概率公式进行计算即可；
（2）根据题意先画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【解答】解：（1）∵共有4个球，其中3个白球，1个红球，
∴P（摸出一个球是白球）=；
故答案为：；
（2）根据题意画树形图如下：
共有12中等可能的结果，P（两次摸出的求都是白球）==．
24．海关缉私人员驾艇在C处发现正北方向30km的A处有一艘可疑船只，并测得它正以60km/h的速度向北偏东60°的方向航行，缉私艇随即以90km/h的速度在B处将可疑船只拦截．缉私艇从C处到B处需航行多长时间？（结果保留根号）
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【分析】过B作BD⊥AC于点D，设缉私艇从C处到B处需航行xkm，在直角△ABD中利用三角函数表示出BD和AD，然后在直角△BCD中利用勾股定理即可列方程求解．
【解答】解：设缉私艇从C处到B处需航行xkm，则
AB=60xkm，BC=90xkm．
过B作BD⊥AC于点D，则
AD=30xkm，BD=30xkm．
根据题意得（90x）2=（30+30x）2+（30x）2，
即5x2﹣2x﹣1=0，
解得x1=，x2=（舍去）．
答：缉私艇从C处到B处需航行小时．
25．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且经A（1，0）、B（0，﹣3）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上，是否存在点M，使它到点A的距离与到点B的距离之和最小，如果存在求出点M的坐标，如果不存在请说明理由．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称﹣最短路线问题．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）抛物线与x轴的除A外的另一个交点C就是A的对称点，则BC与对称轴的交点就是M，首先求得C的坐标，然后求得BC的解析式，进而求得M的坐标．
【解答】解：（1）根据题意得：，
解得：，
则二次函数的解析式是y=x2+2x﹣3；
（2）存在．
设抛物线与x轴的另一个交点是C，由抛物线的对称性得BC与对称轴的交点就是M．
∵C点的坐标是（﹣3，0），
设直线BC的解析式是y=kx﹣3，则0=﹣3k﹣3，
解得k=﹣1，
∴直线BC的解析式是y=﹣x﹣3．
当x=﹣1时，y=﹣2，
∴点M的坐标是（﹣1，﹣2）．
26．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=45°，OC∥AD，AD交BC的延长线于D，AB交OC于E．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AE=2，CE=2．求⊙O的半径和线段BE的长．
【考点】切线的判定；圆周角定理．
【分析】（1）连结OA，根据切线的性质得到OA⊥AD，再根据圆周角定理得到∠AOC=2∠ABC=90°，然后根据平行线的判定即可得到结论；
（2）设⊙O的半径为R，则OA=R，OE=R﹣2，AE=2，在Rt△OAE中根据勾股定理可计算出R=4；设⊙O的半径为R，延长CO交⊙O于F，连接AF，GJ 相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连结OA，如图，
∵AD是⊙O的切线，
∴OA⊥AD，
∵∠AOC=2∠ABC=2×45°=90°，
∴OA⊥OC，
∴AD∥OC；
（2）解：设⊙O的半径为R，则OA=R，OE=R﹣2，AE=2，
在Rt△OAE中，∵AO2+OE2=AE2，
∴R2+（R﹣2）2=（2）2，解得R=1，（负值舍去），
延长CO交⊙O于F，连接AF，
则△CEB∽△AEF，
∴，
∵EF=2R﹣2=2，
∴BE=．
27．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm．点P从点A出发，以4cm/s的速度在线段AB上运动；同时点Q也从点A出发，沿线段AC运动，且始终保持PQ⊥AB．以点Q为圆心，PQ为半径作⊙O．设运动时间为t（s）．
（1）求点Q的运动速度；
（2）若⊙O与BC相切，求运动时间t；
（3）过点Q作QD∥AB交⊙O于点D（点D在AC所在的直线下方），连结DC．当点Q在线段AC上运动时，求△CDQ面积的最大值．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）根据PQ⊥AB和直角三角形ABC得出Rt△ACB∽Rt△APQ，进而求出PQ，再用勾股定理得出AQ即可；
（2）根据BC与⊙Q相切得出QC=PQ=3t，用AQ+QC=AC建立方程求解即可；
（3）先判断出Rt△APQ∽Rt△QED进而求出DE，用三角形的面积公式得出S△CDQ=﹣（t﹣）2+，进而确定出最大值．
【解答】解：（1）
∵PQ⊥AB，△ABC是直角三角形，
∴Rt△ACB∽Rt△APQ，
∴，
由运动知，AP=4t，
∵AC=8，BC=6，
∴，
∴PQ=3t，
∴根据勾股定理得，AQ=5t，
∴点Q的速度为=5（cm/s），
（2）∵⊙Q与BC相切，
∴QC=PQ=3t，
∵AC=AQ+QC=8，
∴5t+3t=8，
∴t=1，
（3）如图，过点D作DE⊥AC于E，
∵QD∥AB，PQ⊥AB，
∴Rt△APQ∽Rt△QED，
∴，
∵PQ=3t，AQ=5t，DQ=PQ=3t，
∴，
∴DE=t，
∵QC=8﹣5t，
∴S△CDQ=QC•DE=（8﹣5t）•t=﹣（t﹣）2+，
∵﹣＜0，∴
∴△CDQ面积的最大值为．
28．如图，抛物线y=﹣x2+bx+3，与x轴交于点B（﹣2，0）和C，与y轴交于点A，点M在y轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连结BM并延长，交抛物线于D，过点D作DE⊥x轴于E．当以B、D、E为顶点的三角形与△AOC相似时，求点M的坐标；
（3）连结BM，当∠OMB+∠OAB=∠ACO时，求AM的长．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）如图1中，首先证明△AOC是等腰直角三角形，由OM∥DE，推出△BMO∽△BDE，要使B、D、E为顶点的三角形与△AOC相似，只要△BOM∽△AOC，设M（0，m），可得=，可得=，解方程即可．
（3）如图2中，作AG⊥AC交x轴于G，BF⊥AG于F．首先证明∠FAB=∠OMB，设M（n，0），由△AFB∽△MOB，得=，由此列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）将点B（﹣2，0）代入抛物线的解析式y=﹣x2+bx+3得
﹣×（﹣2）2﹣2b+3=0，
∴b=，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+3．
（2）如图1中，
∵抛物线的解析式为y=﹣x2+x+3，与x轴交于B（﹣2，0），A（3，0），C（0，3），
∴OA=OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∵OM∥DE，
∴△BMO∽△BDE，
∵要使B、D、E为顶点的三角形与△AOC相似，
∴只要△BOM∽△AOC，设M（0，m），
∴=，
∴=，
∴m=±2，
∴点M的坐标为（2，0）或（﹣2，0）．
（3）如图2中，作AG⊥AC交x轴于G，BF⊥AG于F．
∵OA=OC，∠AOC=∠GAC=90°，
∴∠OAC=∠ACO=∠OAG=45°，
∵∠OMB+∠OAB=∠ACO=45°，
∴∠FAB=∠OMB，设M（n，0），
∵∠AFB=∠BOM=90°，
∴△AFB∽△MOB，
∴=，∵FB=，AF=，OB=2，
∴=，
∴n=±10，
∴点M的坐标为（0，10）或（0，﹣10）．
2017年3月16日
苏科版数学九年级上册期末复习试卷
一、选择题
1．2tan60°的值是（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程：x2﹣9=0的解是（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．9
3．一组数据7，8，10，12，13的平均数是（ ）
A．7 B．9 C．10 D．12
4．一个扇形的圆心角是120°，半径是3cm，那么这个扇形的面积是（ ）
A．3πcm2 B． C．6πcm2 D．9πcm2
5．已知点（2，y1），（﹣3，y2）均在抛物线y=x2﹣1上，则y1、y2的大小关系为（ ）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1≤y2 D．y1≥y2
6．下列说法错误的是（ ）
A．直径是圆中最长的弦 B．长度相等的两条弧是等弧
C．面积相等的两个圆是等圆 D．半径相等的两个半圆是等弧
7．如图，在直角坐标系中，△OAB和△OCD是位似图形，O为位似中心，若A点的坐标为（1，1），B点的坐标为（2，1），C点的坐标为（3，3），那么点D的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（6，3） C．（8，4） D．（8，3）
8．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1 250元，衬衫的单价降了x元，那么下面所列的方程正确的是（ ）
A．（20+x）（40﹣2x）=1250 B．（20+x）（40﹣x）=1250
C．（20+2x）（40﹣2x）=1250 D．（20+2x）（40﹣x）=1250
9．如图，已知AB为⊙O的直径，AB=2，AD和BE是圆O的两条切线，A、B为切点，过圆上一点C作⊙O的切线CF，分别交AD、BE于点M、N，连接AC、CB．若∠ABC=30°，则AM等于（ ）
A．0.5 B．1 C． D．
10．已知二次函数y=ax2﹣bx﹣2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a﹣b为整数时，ab的值为（ ）
A．或1 B．或1 C．或 D．或
二、填空题：
11．判别一元二次方程x2﹣2x+2=0的根的情况，该方程 实数根（填“有”或“无”）．
12．把抛物线y=2x2向上平移1个单位后得到的抛物线解析式是： ．
13．在直角三角形ABC中，∠C=90°，若AB=5，AC=4，则sinB= ．
14．一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB=10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是 ．
15．如图，若△ADE∽△ACB，AB=8，AE=4，DE=3，则BC= ．
16．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=2cm，扇形的圆心角θ=120°，则该圆锥的母线长l为 cm．
17．中秋佳节我国有赏月和吃月饼的传统，某校数学兴趣小组为了了解本校学生喜爱月饼的情况，随机抽取了60名同学进行问卷调查，经过统计后绘制了两幅尚不完整的统计图．（注：参与问卷调查的每一位同学在任何一种分类统计中只有一种选择）
请根据统计图完成下列问题：
（1）扇形统计图中，“很喜欢”的部分所对应的圆心角为 度；
（2）条形统计图中，喜欢“豆沙”月饼的学生有 人；
（3）若该校共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该校学生中“很喜欢”和“比较喜欢”月饼的共有 人．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，O是△ABC的内心，以O为圆心，r为半径的圆与线段AB有公共点，则r的取值范围是 ．
三、解答题
19．计算：
（1）÷+（﹣1）3﹣|﹣3| （2）（﹣1）0﹣（）﹣1+2cos30°．
20．解方程：
（1）x2﹣3x﹣4=0 （2）（1﹣2x）2=4x﹣2．
21．已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）=p2，p为实数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）试说明，方程的根不可能是3．
22．如图，己知四边形ABCD内接于圆O，连结BD，∠BAD=115°，∠DBC=65°．
（1）求证：BD=CD；
（2）若圆O的半径为6，求的长（结果保留π）．
23．一只不透明的袋子里共有4个球，其中3个白球，1个红球，它们除颜色外均相同：
（1）从袋子中随机摸出一个球是白球的概率是 ；
（2）从袋子中随机摸出一个球，不放回袋子，摇匀袋子后再摸一个球，请用列表或画树状图的方法，求出两次摸出的球一个是白球，一个是红球的概率．
24．海关缉私人员驾艇在C处发现正北方向30km的A处有一艘可疑船只，并测得它正以60km/h的速度向北偏东60°的方向航行，缉私艇随即以90km/h的速度在B处将可疑船只拦截．缉私艇从C处到B处需航行多长时间？（结果保留根号）
25．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且经A（1，0）、B（0，﹣3）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上，是否存在点M，使它到点A的距离与到点B的距离之和最小，如果存在求出点M的坐标，如果不存在请说明理由．
26．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=45°，OC∥AD，AD交BC的延长线于D，AB交OC于E．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AE=2，CE=2．求⊙O的半径和线段BE的长．
27．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm．点P从点A出发，以4cm/s的速度在线段AB上运动；同时点Q也从点A出发，沿线段AC运动，且始终保持PQ⊥AB．以点Q为圆心，PQ为半径作⊙O．设运动时间为t（s）．
（1）求点Q的运动速度；
（2）若⊙O与BC相切，求运动时间t；
（3）过点Q作QD∥AB交⊙O于点D（点D在AC所在的直线下方），连结DC．当点Q在线段AC上运动时，求△CDQ面积的最大值．
28．如图，抛物线y=﹣x2+bx+3，与x轴交于点B（﹣2，0）和C，与y轴交于点A，点M在y轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连结BM并延长，交抛物线于D，过点D作DE⊥x轴于E．当以B、D、E为顶点的三角形与△AOC相似时，求点M的坐标；
（3）连结BM，当∠OMB+∠OAB=∠ACO时，求AM的长．
参考答案
1．2tan60°的值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：2tan60°=2，
故选：B．
2．一元二次方程：x2﹣9=0的解是（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．9
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．
【分析】直接开平方法求解可得．
【解答】解：∵x2=9，
∴x=3或x=﹣3，
故选：C．
3．一组数据7，8，10，12，13的平均数是（ ）
A．7 B．9 C．10 D．12
【考点】算术平均数．
【分析】根据平均数的定义：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数进行计算即可．
【解答】解：（7+8+10+12+13）÷5
=50÷5
=10
答：一组数据7，8，10，12，13的平均数是10．
故选：C．
4．一个扇形的圆心角是120°，半径是3cm，那么这个扇形的面积是（ ）
A．3πcm2 B． C．6πcm2 D．9πcm2
【考点】扇形面积的计算．
【分析】根据扇形的面积进行计算即可．
【解答】解：S===3π，
故选A．
5．已知点（2，y1），（﹣3，y2）均在抛物线y=x2﹣1上，则y1、y2的大小关系为（ ）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1≤y2 D．y1≥y2
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=0，然后比较两个点离直线x=0的远近得到y1、y2的大小关系．
【解答】解：∵二次函数的解析式为y=x2﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x=0，
∵（2，y1）、B（﹣3，y2），
∴点（﹣3，y2）离直线x=0远，点（2，y1）离直线x=0近，
而抛物线开口向上，
∴y1＜y2．
故选A．
6．下列说法错误的是（ ）
A．直径是圆中最长的弦 B．长度相等的两条弧是等弧
C．面积相等的两个圆是等圆 D．半径相等的两个半圆是等弧
【考点】圆的认识．
【分析】根据直径的定义对A进行判断；根据等弧的定义对B进行判断；根据等圆的定义对C进行判断；根据半圆和等弧的定义对D进行判断．
【解答】解：A、直径是圆中最长的弦，所以A选项的说法正确；
B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以B选项的说法错误；
C、面积相等的两个圆的半径相等，则它们是等圆，所以C选项的说法正确；
D、半径相等的两个半圆是等弧，所以D选项的说法正确．
故选B．
7．如图，在直角坐标系中，△OAB和△OCD是位似图形，O为位似中心，若A点的坐标为（1，1），B点的坐标为（2，1），C点的坐标为（3，3），那么点D的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（6，3） C．（8，4） D．（8，3）
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【分析】利用位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，ky），进而求出即可．
【解答】解：∵A点的坐标为（1，1），C点的坐标为（3，3），
∴位似比k=3，
∵B点的坐标为（2，1），
∴点D的坐标是：（2×3，1×3 ），即（6，3）．
故选：B．
8．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1 250元，衬衫的单价降了x元，那么下面所列的方程正确的是（ ）
A．（20+x）（40﹣2x）=1250 B．（20+x）（40﹣x）=1250
C．（20+2x）（40﹣2x）=1250 D．（20+2x）（40﹣x）=1250
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】设衬衫的单价降了x元．根据题意等量关系：降价后的销量×每件的利润=1250，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设衬衫的单价降了x元．根据题意，得
（20+2x）（40﹣x）=1250，
故选D．
9．如图，已知AB为⊙O的直径，AB=2，AD和BE是圆O的两条切线，A、B为切点，过圆上一点C作⊙O的切线CF，分别交AD、BE于点M、N，连接AC、CB．若∠ABC=30°，则AM等于（ ）
A．0.5 B．1 C． D．
【考点】切线的性质．
【分析】过点M作MG⊥AC，垂足为G．依据圆周角定理可知∠C=90°，然后依据含30度直角三角形的性质可求得AC=1，然后依据切线长定理可求得AM=MC，依据等腰三角形三线合一的性质可求得AG=0.5，接下来，再依据切线的性质可求得∠MAB=90°，然后可求得∠DAG=30°，最后在Rt△AMG中利用特殊锐角三角函数值求解即可．
【解答】解：过点M作MG⊥AC，垂足为G．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠C=90°．
又∵∠ABC=30°，AB=2，
∴AC=1，∠CAB=60°．
∵AD为⊙O的切线，
∴∠DAB=90°．
∴∠MAC=30°．
由切线长定理可知MC=MA．
又∵MG⊥AC，
∴AG=AC=．
在Rt△AMG中，∠MAG=30°，
∴=，即，解得：AM=．
故选：C．
10．已知二次函数y=ax2﹣bx﹣2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a﹣b为整数时，ab的值为（ ）
A．或1 B．或1 C．或 D．或
【考点】二次函数的性质．
【分析】首先根据题意确定a、b的符号，然后进一步确定a的取值范围，根据a﹣b为整数确定a、b的值，从而确定答案．
【解答】解：依题意知a＞0，＞0，a+b﹣2=0，
故b＞0，且b=2﹣a，a﹣b=a﹣（2﹣a）=2a﹣2，
于是0＜a＜2，
∴﹣2＜2a﹣2＜2，
又a﹣b为整数，
∴2a﹣2=﹣1，0，1，
故a=，1，，
b=，1，，
∴ab=或1，
故选A．
二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分；请将正确答案填在相应的横线上）
11．判别一元二次方程x2﹣2x+2=0的根的情况，该方程 无 实数根（填“有”或“无”）．
【考点】根的判别式．
【分析】把a=1，b=﹣2，c=2代入判别式△=b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断根的情况．
【解答】解：∵a=1，b=﹣2，c=2
∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×2×1=﹣4＜0，
∴方程没有实数根．
故答案为无．
12．把抛物线y=2x2向上平移1个单位后得到的抛物线解析式是： y=2x2+1 ．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用抛物线顶点式解析式写出即可．
【解答】解：∵抛物线y=2x2的顶点坐标是（0，0），
∴平移后的抛物线的顶点坐标是（0，1），
∴得到的抛物线解析式是y=2x2+1．
故答案为：y=2x2+1．
13．在直角三角形ABC中，∠C=90°，若AB=5，AC=4，则sinB= ．
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】根据三角函数的定义可得出sinB=，代入计算即可．
【解答】解：∵∠C=90°，
∴sinB=，
∵AB=5，AC=4，
∴sinB==，
故答案为．
14．一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB=10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是 16 ．
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【分析】先根据垂径定理得出AB=2BC，再根据勾股定理求出BC的长，进而可得出答案．
【解答】解：∵截面圆圆心O到水面的距离OC是6，
∴OC⊥AB，
∴AB=2BC，
在Rt△BOC中，OB=10，OC=6，
∴BC===8，
∴AB=2BC=2×8=16．
故答案为：16．
15．如图，若△ADE∽△ACB，AB=8，AE=4，DE=3，则BC= 6 ．
【考点】相似三角形的性质．
【分析】根据相似三角形的对应边的比相等列出比例式，计算即可．
【解答】解：∵△ADE∽△ACB，
∴=，即=，
解得，BC=6，
故答案为6．
16．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=2cm，扇形的圆心角θ=120°，则该圆锥的母线长l为 6 cm．
【考点】圆锥的计算．
【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
【解答】解：圆锥的底面周长=2π×2=4πcm，
设圆锥的母线长为R，则： =4π，
解得R=6．
故答案为：6．
17．中秋佳节我国有赏月和吃月饼的传统，某校数学兴趣小组为了了解本校学生喜爱月饼的情况，随机抽取了60名同学进行问卷调查，经过统计后绘制了两幅尚不完整的统计图．（注：参与问卷调查的每一位同学在任何一种分类统计中只有一种选择）
请根据统计图完成下列问题：
（1）扇形统计图中，“很喜欢”的部分所对应的圆心角为 126 度；
（2）条形统计图中，喜欢“豆沙”月饼的学生有 4 人；
（3）若该校共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该校学生中“很喜欢”和“比较喜欢”月饼的共有 675 人．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）由扇形统计图各部分百分比之和为1得“很喜欢”的部分所对应的百分比，再乘以360°即可得；
（2）由总人数及很喜欢的人数所占百分比求得很喜欢部分的人数，再减去其它3个品种的人数即可得答案；
（3）总人数乘以“很喜欢”和“比较喜欢”月饼的百分比之和可得．
【解答】解：（1）∵“很喜欢”的部分所对应的百分比为1﹣25%﹣40%=35%，
∴“很喜欢”的部分所对应的圆心角为360°×35%=126°，
故答案为：126；
（2）∵“很喜欢”的人数为60×35%=21人，
∴喜欢“豆沙”月饼的学生有21﹣6﹣3﹣8=4（人），
故答案为：4；
（3）900×（35%+40%）=675（人），
∴估计该校学生中“很喜欢”和“比较喜欢”月饼的共有675人，
故答案为：675．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，O是△ABC的内心，以O为圆心，r为半径的圆与线段AB有公共点，则r的取值范围是 1≤r≤ ．
【考点】三角形的内切圆与内心；勾股定理．
【分析】作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，根据题意得出四边形OECF是正方形，得出OF=CF，由勾股定理得出AB==5，由内心的性质得出CF=OF=1，AF=AC﹣CF=3，由勾股定理求出OA，由直线与圆的位置关系，即可得出结果．
【解答】解：作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，连接OA、OB，如图所示
则四边形OECF是正方形，
∴OF=CF=OE=CE，
∵∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB==5，
∵O是△ABC的内心，
∴CE=CF=OF=OE=（AC+BC﹣AB）=1，
∴AF=AC﹣CF=3，BE=BC﹣CE=2，
∴OA===，OB===，
当r=1时，以O为圆心，r为半径的圆与线段AB有唯一交点；
当1＜r≤时，以O为圆心，r为半径的圆与线段AB有两个交点；
当＜r≤时，以O为圆心，r为半径的圆与线段AB有1个交点；
∴以O为圆心，r为半径的圆与线段AB有交点，则r的取值范围是1≤r≤；
故答案为1≤r≤．
三、解答题（本大题共10小题，共76分；解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：
（1）÷+（﹣1）3﹣|﹣3|
（2）（﹣1）0﹣（）﹣1+2cos30°．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】（1）原式利用二次根式除法，乘方的意义，以及绝对值的代数意义计算即可得到结果；
（2）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式=﹣1﹣3=3﹣1﹣3=﹣1；
（2）原式=1﹣2+=﹣1．
20．解方程：
（1）x2﹣3x﹣4=0
（2）（1﹣2x）2=4x﹣2．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】（1）因式分解法求解可得；
（2）因式分解法求解即可得．
【解答】解：（1）∵（x﹣4）（x+1）=0，
∴x﹣4=0或x+1=0，
解得：x=4或x=﹣1；
（2）∵（1﹣2x）2+2（1﹣2x）=0，
∴（1﹣2x）（3﹣2x）=0，
则1﹣2x=0或3﹣2x=0，
解得：x=或x=．
21．已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）=p2，p为实数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）试说明，方程的根不可能是3．
【考点】根的判别式．
【分析】（1）首先把原方程转化为一般式，然后用p表示出根的判别式，最后利用非负数的性质作出判断；
（2）假设方程的根是3，得到一个数的平方是负数，进而作出判断．
【解答】（1）证明：已知方程化为：
x2﹣5x+（4﹣p2）=0，
∴△=（﹣5）2﹣4×1×（4﹣p2）=4p2+9，
∵p为实数，
∴4p2+9＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：若方程有一根为3，
则p2=（3﹣1）（3﹣4）=﹣2，
这与一个实数的平方根是非负数矛盾，
即原方程的根不可能是3．
22．如图，己知四边形ABCD内接于圆O，连结BD，∠BAD=115°，∠DBC=65°．
（1）求证：BD=CD；
（2）若圆O的半径为6，求的长（结果保留π）．
【考点】圆内接四边形的性质；弧长的计算．
【分析】（1）直接利用圆周角定理得出∠DCB的度数，再利用∠DCB=∠DBC求出答案；
（2）首先求出的度数，再利用弧长公式直接求出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠DCB+∠BAD=180°，
∵∠BAD=115°，
∴∠DCB=180°﹣115°=65°，
∵∠DBC=65°，
∴∠DCB=∠DBC=65°，
∴BD=CD；
（2）解：∵∠DCB=∠DBC=65°，
∴∠BDC=50°，
由圆周角定理，得的度数为：100°，
故===π，
答：的长为π．
23．一只不透明的袋子里共有4个球，其中3个白球，1个红球，它们除颜色外均相同：
（1）从袋子中随机摸出一个球是白球的概率是 ；
（2）从袋子中随机摸出一个球，不放回袋子，摇匀袋子后再摸一个球，请用列表或画树状图的方法，求出两次摸出的球一个是白球，一个是红球的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）根据总球的个数和概率公式进行计算即可；
（2）根据题意先画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【解答】解：（1）∵共有4个球，其中3个白球，1个红球，
∴P（摸出一个球是白球）=；
故答案为：；
（2）根据题意画树形图如下：
共有12中等可能的结果，P（两次摸出的求都是白球）==．
24．海关缉私人员驾艇在C处发现正北方向30km的A处有一艘可疑船只，并测得它正以60km/h的速度向北偏东60°的方向航行，缉私艇随即以90km/h的速度在B处将可疑船只拦截．缉私艇从C处到B处需航行多长时间？（结果保留根号）
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【分析】过B作BD⊥AC于点D，设缉私艇从C处到B处需航行xkm，在直角△ABD中利用三角函数表示出BD和AD，然后在直角△BCD中利用勾股定理即可列方程求解．
【解答】解：设缉私艇从C处到B处需航行xkm，则
AB=60xkm，BC=90xkm．
过B作BD⊥AC于点D，则
AD=30xkm，BD=30xkm．
根据题意得（90x）2=（30+30x）2+（30x）2，
即5x2﹣2x﹣1=0，
解得x1=，x2=（舍去）．
答：缉私艇从C处到B处需航行小时．
25．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且经A（1，0）、B（0，﹣3）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上，是否存在点M，使它到点A的距离与到点B的距离之和最小，如果存在求出点M的坐标，如果不存在请说明理由．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称﹣最短路线问题．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）抛物线与x轴的除A外的另一个交点C就是A的对称点，则BC与对称轴的交点就是M，首先求得C的坐标，然后求得BC的解析式，进而求得M的坐标．
【解答】解：（1）根据题意得：，
解得：，
则二次函数的解析式是y=x2+2x﹣3；
（2）存在．
设抛物线与x轴的另一个交点是C，由抛物线的对称性得BC与对称轴的交点就是M．
∵C点的坐标是（﹣3，0），
设直线BC的解析式是y=kx﹣3，则0=﹣3k﹣3，
解得k=﹣1，
∴直线BC的解析式是y=﹣x﹣3．
当x=﹣1时，y=﹣2，
∴点M的坐标是（﹣1，﹣2）．
26．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=45°，OC∥AD，AD交BC的延长线于D，AB交OC于E．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AE=2，CE=2．求⊙O的半径和线段BE的长．
【考点】切线的判定；圆周角定理．
【分析】（1）连结OA，根据切线的性质得到OA⊥AD，再根据圆周角定理得到∠AOC=2∠ABC=90°，然后根据平行线的判定即可得到结论；
（2）设⊙O的半径为R，则OA=R，OE=R﹣2，AE=2，在Rt△OAE中根据勾股定理可计算出R=4；设⊙O的半径为R，延长CO交⊙O于F，连接AF，GJ 相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连结OA，如图，
∵AD是⊙O的切线，
∴OA⊥AD，
∵∠AOC=2∠ABC=2×45°=90°，
∴OA⊥OC，
∴AD∥OC；
（2）解：设⊙O的半径为R，则OA=R，OE=R﹣2，AE=2，
在Rt△OAE中，∵AO2+OE2=AE2，
∴R2+（R﹣2）2=（2）2，解得R=1，（负值舍去），
延长CO交⊙O于F，连接AF，
则△CEB∽△AEF，
∴，
∵EF=2R﹣2=2，
∴BE=．
27．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm．点P从点A出发，以4cm/s的速度在线段AB上运动；同时点Q也从点A出发，沿线段AC运动，且始终保持PQ⊥AB．以点Q为圆心，PQ为半径作⊙O．设运动时间为t（s）．
（1）求点Q的运动速度；
（2）若⊙O与BC相切，求运动时间t；
（3）过点Q作QD∥AB交⊙O于点D（点D在AC所在的直线下方），连结DC．当点Q在线段AC上运动时，求△CDQ面积的最大值．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）根据PQ⊥AB和直角三角形ABC得出Rt△ACB∽Rt△APQ，进而求出PQ，再用勾股定理得出AQ即可；
（2）根据BC与⊙Q相切得出QC=PQ=3t，用AQ+QC=AC建立方程求解即可；
（3）先判断出Rt△APQ∽Rt△QED进而求出DE，用三角形的面积公式得出S△CDQ=﹣（t﹣）2+，进而确定出最大值．
【解答】解：（1）
∵PQ⊥AB，△ABC是直角三角形，
∴Rt△ACB∽Rt△APQ，
∴，
由运动知，AP=4t，
∵AC=8，BC=6，
∴，
∴PQ=3t，
∴根据勾股定理得，AQ=5t，
∴点Q的速度为=5（cm/s），
（2）∵⊙Q与BC相切，
∴QC=PQ=3t，
∵AC=AQ+QC=8，
∴5t+3t=8，
∴t=1，
（3）如图，过点D作DE⊥AC于E，
∵QD∥AB，PQ⊥AB，
∴Rt△APQ∽Rt△QED，
∴，
∵PQ=3t，AQ=5t，DQ=PQ=3t，
∴，
∴DE=t，
∵QC=8﹣5t，
∴S△CDQ=QC•DE=（8﹣5t）•t=﹣（t﹣）2+，
∵﹣＜0，∴
∴△CDQ面积的最大值为．
28．如图，抛物线y=﹣x2+bx+3，与x轴交于点B（﹣2，0）和C，与y轴交于点A，点M在y轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连结BM并延长，交抛物线于D，过点D作DE⊥x轴于E．当以B、D、E为顶点的三角形与△AOC相似时，求点M的坐标；
（3）连结BM，当∠OMB+∠OAB=∠ACO时，求AM的长．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）如图1中，首先证明△AOC是等腰直角三角形，由OM∥DE，推出△BMO∽△BDE，要使B、D、E为顶点的三角形与△AOC相似，只要△BOM∽△AOC，设M（0，m），可得=，可得=，解方程即可．
（3）如图2中，作AG⊥AC交x轴于G，BF⊥AG于F．首先证明∠FAB=∠OMB，设M（n，0），由△AFB∽△MOB，得=，由此列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）将点B（﹣2，0）代入抛物线的解析式y=﹣x2+bx+3得
﹣×（﹣2）2﹣2b+3=0，
∴b=，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+3．
（2）如图1中，
∵抛物线的解析式为y=﹣x2+x+3，与x轴交于B（﹣2，0），A（3，0），C（0，3），
∴OA=OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∵OM∥DE，
∴△BMO∽△BDE，
∵要使B、D、E为顶点的三角形与△AOC相似，
∴只要△BOM∽△AOC，设M（0，m），
∴=，
∴=，
∴m=±2，
∴点M的坐标为（2，0）或（﹣2，0）．
（3）如图2中，作AG⊥AC交x轴于G，BF⊥AG于F．
∵OA=OC，∠AOC=∠GAC=90°，
∴∠OAC=∠ACO=∠OAG=45°，
∵∠OMB+∠OAB=∠ACO=45°，
∴∠FAB=∠OMB，设M（n，0），
∵∠AFB=∠BOM=90°，
∴△AFB∽△MOB，
∴=，∵FB=，AF=，OB=2，
∴=，
∴n=±10，
∴点M的坐标为（0，10）或（0，﹣10）．
2017年3月16日
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