《指数函数》同步练习29（人教A版必修1）

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指数函数、对数函数、幂函数 1．已知，则实数m的值为______．2．设正数x,y满足,则x+y的取值范围是_________．3．已知，则的值等于    ．4．已知在上是增函数， 则的取值范围是_______． 5．设函数f(x)=lg(x+ax-a-1),给出下述命题：⑴f(x)有最小值；⑵当a= 0时，f(x)的值域为R；⑶当a=0时，f(x)为偶函数；⑷若f(x)在区间［2，+)上单调递增，则实数a的取范围是a≥-4．则其中正确命题的序号_____________．6．如果函数在区间[－1,1]上的最大值是14，求的值.        7．已知，(1)求的定义域、值域；(2)讨论的奇偶性；(3)讨论的单调性.               8．定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3，且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．(1)求证: f(x)为奇函数；(2)若f(k·3)+f(3-9-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．       9．已知，P1（x1,y1）、P2(x2,y2)是函数图象上两点，且线段P1P2中点P的横坐标是． （1）求证点P的纵坐标是定值；（2）若数列的通项公式是…m)，求数列的前m项和Sm ；（3）在（2）的条件下，若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．           参考答案1．．2．．3.解析：           4． ． 5．（2）（3） ．6.分析：将 看成整体t,则转化为二次函数在闭区间上最值问题，需分类讨论。解析： ， （1）时，，二次函数在上单调递增，∴，∴（舍去），（2）当时，，二次函数在上单调递增，∴，∴（舍去），综上。评析：换元之后，函数解析式变了，函数定义域也变了，二次函数最值问题，一般先讨论开口方向，再讨论对称轴和区间的相对位置。 7.分析：（1）将看成整体，转化为求的值域问题。      （2）(x)的奇偶性和单调性可直接根据定义来判断。解析：（1）定义域为R ，  ，  ，∴函数的值域为。     （2）∵  ，∴为奇函数。     （3）设 ，则=，①当时， ∴，∴在上单调递增，②当时，∴，∴在上单调递减。评析：解答题中讨论复合函数的单调性也必须用单调性定义，不能用复合函数单调性判别法则。8.点拨：欲证f(x)为奇函数即要证对任意x都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明．(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，　　　　　　　　　　　　 ①令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．(2)解：f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．f(k·3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)，  k·3＜-3+9+2，3-(1+k)·3+2＞0对任意x∈R成立．令t=3＞0，问题等价于t-(1+k)t+2＞0对任意t＞0恒成立．令f(t)= ,　其对称轴．当即时，，符合题意；当时，对任意，恒成立解得．综上所述，当时f(k·3)+f(3-9-2)＜0对任意x∈R恒成立．反思：问题(2)的上述解法是根据函数的性质．f(x)是奇函数且在x∈R上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)= t-(1+k)t+2对于任意t ＞0恒成立．对二次函数f(t)进行研究求解．本题还有更简捷的解法：分离系数由k·3＜-3+9+2得．，即u的最小值为要使对不等式恒成立，只要使k<即可．变式：函数与图象的唯一交点的横坐标为，当时，不等式恒成立,求t的取值范围．（）9.解：（1）由知，x1+x2=1，则                   故点P的纵坐标是，为定值．              （2）已知…+…，           又……           二式相加，得           …          因为…m-1)，故，          又，从而．       （3）由得…①对恒成立．显然，a≠0，（ⅰ）当a<0时，由得．而当m为偶数时不成立，所以a<0不合题意；（ⅱ）当a>0时，因为，则由式①得， 又随m的增大而减小，所以当m=1时，有最大值，故 ．