高中数学人教版新课标A必修23.1 直线的倾斜角与斜率教案设计

教学目标

　 (一)知识教学

理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.

(二)能力训练

通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结合能力．

(三)学科渗透

通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣．

　 重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．

难点：启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．

教学过程

衔接分析

教学反思

教学过程：

一、创设情境

上课前我们先来看这样一个故事：魔术师的地毯

一位魔术师拿了一块边长为1.3米的地毯去找地毯匠,要求把这块正方形的地毯改制成宽0.8米,长2.1米的矩形.地毯匠对魔术师说:“难道你连小学算术都没学过吗？边长为1.3米的正方形的面积是1.69平方米，而宽0.8米、长2.1米的矩形面积只有1.68平方米。两者并不相等呀！”而魔术师只给了地毯匠一幅图，让他照着做就是了。地毯匠照做了，缝好一量，果真可以，魔术师得意洋洋地取走了地毯，可地毯匠却很纳闷，百思不得其解，那0.01平方米的地毯去哪了？你能帮他解开疑团吗？

    现在大家可能不知道从何下手,那我们就带着这个问题来学习这节课的内容,看看能否利用我们下面学习的知识来解决这个问题.

    引入课题: 两条直线的平行与垂直的判定

二、实验探究两条直线的平行与垂直的条件，并完成实验报告

师:上节课我们学习了斜率,谁能告诉我斜率是什么?

生:斜率是一条直线倾斜角的正切值.

师:那什么是倾斜角?

生:倾斜角是一条直线向上的部分与x轴正半轴所夹的角.

师:两条直线的平行与垂直与这两条直线的倾斜角与斜率有什么关系呢?下面我们就一起来实验探究这个问题.大家打开几何画板,完成实验报告.

给学生10分钟时间完成实验报告

师:下面我们请两位同学来汇报一下你的实验结果

学生1:实验1,我实验探究的结果是当两条直线互相平行时,他们的斜率是相等的,当两条直线的斜率相等的时候,这两条直线是平行的.

有没有同学补充?

若没有,老师提问:当这两条直线都与y轴平行时,这两条直线的斜率也相等吗?

让大家再动手操作一下.

老师再问,若两条直线的斜率相等,这两条直线除了平行还有没有其它的位置关系?

重合.

因此,我们实验一的最终结论应该是:

两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即

学生2:实验2,我实验探究的结果是当两条直线互相垂直时,他们的斜率的乘积都等于-1,当两条直线的斜率乘积等于-1的时候,这两条直线是互相垂直的.

有没有同学补充?

若没有,老师提问:当这两条直线有一条与y轴平行时,上面的结论还成立吗?

让大家再动手操作一下.

因此,我们实验一的最终结论应该是:

两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数(即乘积为-1)；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即

师:上面是我们利用几何画板实验探究的结果,还没有经过理论验证.大家能否利用所学的知识证明这两个结论呢?首先我们先证明结论一.

一、   已知L1∥L2(图1-29)，它们的斜率分别为k1,k2,求证它们的斜率相等.

证明:因为L1∥L2,所以α1=α2．                        

∴tgα1=tgα2．

即　 k1=k2．

反过来，已知k1=k2，k1,k2分别为不重合的直线L1,L2的斜率,求证:L1∥L2

证明:因为k1=k2,所以tgα1=tgα2

由于0°≤α1＜180°，　 0°≤α＜180°，

∴α1=α2．

又∵两条直线不重合，

∴L1∥L2．

结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即

注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．

二、下面我们一起来证明两条直线垂直的情形．

如果L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行．

设α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方；乙图的特征是L1与L2的交点在x轴下方；丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有

α1=90°+α2．

因为L1、L2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．

，   

可以推出　: α1=90°+α2．           L1⊥L2．

结论: 两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即

注意: 结论成立的条件. 即如果k1·k2 = -1, 那么一定有L1⊥L2; 反之则不一定.

三、应用讲例

例1           已知A(2,-1), B(5，-1), P(4,2), Q(2,2), （1）试判断直线BA与PQ的位置关系AB与AQ的位置关系, 并证明你的结论.（2）试判断四边形ABPQ的形状，并给出证明。

让学生先画图,猜想结论.再证明

例2           已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC的形状.

例3           判断A（1，3），B（5，7），C（10，12）三点是否共线，并说明理由。

若三点共线,则每两点确定的斜率都是这条直线的斜率,应该都相等.

例4、试确定m的值,使过点A(m,1),B(-1,m)的直线与过点P(1,2),Q(-5,0)的直线

(1)平行   (2)垂直

四、解答故事“魔术师的地毯”的问题

五、课堂练习

P98   练习  1.  

三、   课堂小结

五、作业布置

现在初中新课改中多是给予学生直观、形象的感受，学生对抽象的概念很难接受，而解几是学生初中从未接触过的新的内容，而且很抽象，为了让学生在解几这块有比较好的入门学习。我结合学生的学习心理，设计了学生比较感兴趣的小故事来调动学生的学习热情。而且利用这个故事贯穿整堂课，让学生在整堂课中一直保持积极主动的态度。

信息技术的使用是这节课的另一个衔接要点，目的也是利用直观形象的图象，让学生通过自己动手操作化抽象为具体，化被动为主动，从而很好地掌握知识点。

这部分的证明让学生领会重要的数学思想实验——猜想——证明。使他们的数学学习从单纯的接受性的学习转化为数学思想的学习，体会初高中学习数学的最大的区别。

问题的设置很好的调动起了学生的学习积极性，学生也觉得这个问题很奇妙，很急迫的想知道结论。但我却甩下问题，让他们在上完本节课后自己解决。从而让他们有学习的动力。

实验报告的设置对学生来说是个惊喜，他们从未听说数学也可以做实验，因此做起来也特别开心。