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苏科版九年级下册第5章 二次函数综合与测试巩固练习
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这是一份苏科版九年级下册第5章 二次函数综合与测试巩固练习，共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第5章二次函数提优练习
一、单选题
1.方程ax2+bx+c=0的两个根是－3和1，那么二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线（ ）
A. x＝－3 B. x＝－2 C. x＝－1 D. x＝1
2.太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄地点的一种方法 为了确定视频拍摄地的经度，我们需要对比视频中影子最短的时刻与同一天东经120度影子最短的时刻 在一定条件下，直杆的太阳影子长度 l( 单位：米 ) 与时 t( t( 单位：时 ) 的关系满足函数关系 l=at2+bt+c （a,b,c是常数），如图记录了三个时刻的数据，根据上述函数模型和记录的数据，则该地影子最短时，最接近的时刻t是（ ）
A. 12.75 B. 13 C. 13.33 D. 13.5
3.二次函数y=x2-2x-2与坐标轴的交点个数是（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
4.已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象如图所示，对于下列结论：① b2>4ac ；② a+b<−c ；③ abc<0 ；④ 8a+c>0 ；⑤方程 ax2+bx+c=0 的根是 x1=−1 ， x2=3 ，其中正确结论的个数是（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
5.已知直线x＝1是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a≠0）的图象的对称轴，点A（x1 ， y1）和点B（x2 ， y2）为其图象上的两点，且y10
C. 若x1＞x2 ， 则a（x1+x2-2）＞0 D. 若x1＞x2 ， 则a（x1+x2-2）<0
6.如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=1．直线y=-x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C，D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①a-b+c＜0；②2a+b+c＞0；③x（ax+b）≤a+b；④a＜-1．其中正确的有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
7.已知抛物线y=ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：
①该抛物线的对称轴在y轴左侧；
②关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根；
③a﹣b+c≥0；
④ a+b+cb−a 的最小值为3．
其中，正确结论的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（-1，0），对称轴为直线X=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（-3，y1）、点B（ -12 ，y2）、点C（ 72 ，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x-5）=-3的两根为x1和x2 ， 且x1＜x2 ， 则x1＜-1＜5＜x2 ． 其中正确的结论有（ ）个．
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
9.如图，抛物线y=﹣x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列三个判断中:
①当x＞0时，y＞0；
②若a=﹣1，则b=4；
③抛物线上有两点P（x1 ， y1）和Q（x2 ， y2），若x1＜1＜x2 ， 且x1+x2＞2，则y1＞y2；正确的是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ①②③都不对
10.对于二次函数y=x2+mx+1，当0＜x≤2时的函数值总是非负数，则实数m的取值范围为（ ）
A. m≥﹣2 B. ﹣4≤m≤﹣2 C. m≥﹣4 D. m≤﹣4或m≥﹣2
二、填空题
11.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；④当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞5；⑤8a+7b+2c＞0．其中正确的结论是________．
12.如图，二次函数 y=(x+2)2+m 的图象与y轴交于点C,与x轴的一个交点为 A(−1,0) ,点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称.已知一次函数 y=kx+b 的图象经过 A,B 两点,根据图象,则满足不等式 (x+2)2+m≤kx+b 的x的取值范围是________
13.如图，一段抛物线： y=−x(x−3)(0≤x≤3) ，记为 C1 ，它与 x 轴交于两点 O ， A1 ：将 C1 绕 A1 旋转 180° 得到 C2 ，交 x 轴于 A2 ：将 C2 绕 A2 旋转 180° 得到 C3 ，交 x 轴于 A3 .过抛物线 C1 ， C3 顶点的直线与 C1 ， C2 ， C3 围成的如图中的阴影部分，那么该面积为________.
14.将函数y＝x2﹣x﹣2的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的图形是函数y＝|x2﹣x﹣2|的图象，已知过点D（0，4）的直线y＝kx+4恰好与y＝|x2﹣x﹣2|的图象只有三个交点，则k的值为________．
15.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，与y轴负半轴交于点C．下面五个结论：①2a+b=0；②a+b+c＞0；③4a+b+c＞0；④只有当a= 12 时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a的值可以有三个．那么，其中正确的结论是________．
16.如图是抛物线 y1=ax2+bx+c(a≠0) 图象的一部分，抛物线的顶点坐标为 A(1,3) ，与 x 轴的一个交点为 B(4,0) ，点 A 和点 B 均在直线 y2=mx+n(m≠0) 上.① 2a+b=0 ；② abc>0 ；③抛物线与 x 轴的另一个交点时 (−4,0) ；④方程 ax2+bx+c=−3 有两个不相等的实数根；⑤ a−b+c<4m+n ；⑥不等式 mx+n>ax2+bx+c 的解集为 1
上述六个结论中，其中正确的结论是________.（填写序号即可）
17.如图，一段抛物线：y=-x(x-2)（0≤x≤2）记为C1 ,它与x轴交于两点O，A；将C1绕点A旋转180°得到C2 ， 交x轴于A1；将C2绕点A1旋转180°得到C3 ， 交x轴于点A2 ． ．．．．．如此进行下去，直至得到C2018 ， 若点P（4035，m）在第2018段抛物线上，则m的值为 ．
18.已知抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，其顶点为M，将此抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新的图象．如图，当直线y=﹣x+n与此图象有且只有两个公共点时，则n的取值范围为________．
三、解答题
19.已知二次函数的顶点坐标为 (2，−2) ，且其图象经过点 (1，−1) ，求此二次函数的解析式.
20.若函数y=（a-1）x（b+1）+x2+1是二次函数，试讨论a、b的取值范围.
21.如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点 A 处出手，出手时球离地面约 53m .铅球落地点在 B 处，铅球运行中在运动员前 4m 处（即 OC=4 ）达到最高点，最高点高为 3m .已知铅球经过的路线是抛物线，根据如图所示的直角坐标系，你能算出该运动员的成绩吗？
22.下表给出了代数式﹣x2+bx+c与x的一些对应值：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
﹣x2+bx+c
…
5
n
c
2
﹣3
﹣10
…
（1）根据表格中的数据，确定b，c，n的值；
（2）设y=﹣x2+bx+c，直接写出0≤x≤2时y的最大值．
23.如图(1)，直线y=3x+23与x轴交于点A、与y轴交于点D，以AD为腰，以x轴为底作等腰梯形ABCD(AB＞CD)，且等腰梯形的面积是83 ， 抛物线经过等腰梯形的四个顶点.
图(1)
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 如图（2）若点P为BC上的—个动点（与B、C不重合），以P为圆心，BP长为半径作圆，与轴的另一个交点为E，作EF⊥AD，垂足为F，请判断EF与⊙P的位置关系，并给以证明；
图（2）
(3) 在（2）的条件下，是否存在点P，使⊙P与y轴相切，如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.
24.如图，是一块三角形材料，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6.用这块材料剪出一个矩形DECF，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，要使剪出的矩形DECF面积最大，点D应该选在何处？
25.已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）如图①，点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交直线BC于点E．是否存在一点P，使线段PE的长最大？若存在，求出PE长的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，过点A作y轴的平行线，交直线BC于点F，连接DA、DB．四边形OAFC沿射线CB方向运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当点C与点B重合时立即停止运动．设运动过程中四边形OAFC与四边形ADBF重叠部分面积为S，请求出S与t的函数关系式．
26.如图，抛物线 y=12x2+mx+m （m＜0）的顶点为A，交y轴于点C．
（1）求出点A的坐标（用含m的式子表示）；
（2）平移直线y=x经过点A交抛物线C于另一点B，直线AB下方抛物线C上一点P，求点P到直线AB的最大距离
（3）设直线AC交x轴于点D，直线AC关于x轴对称的直线交抛物线C于E、F两点．若∠ECF=90°，求m的值．
27.如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0），经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=2，∠AOB=120°．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）连接OM，求∠AOM的大小；
（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．
28.如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC，动点P以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，动点Q以每秒2个单位长度的速度从B向C运动，P、Q同时出发，连接PQ，当点Q到达C点时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t秒．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，当△BPQ为直角三角形时，求t的值；
（3）如图2，当t＜2时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上存在一点N，使得PQ的中点恰为MN的中点，请直接写出N点的坐标．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【考点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】先根据题意得出抛物线与x轴的交点坐标，再由两点坐标关于抛物线的对称轴对称即可得出结论．
【解答】∵方程ax2+bx+c=0的两个根是-3和1，
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点分别为（-3，0)，（1，0)．
∵此两点关于对称轴对称，
∴对称轴是直线x=-3+12=-1．
故选C．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．
2.【答案】 C
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：把（12，0.6）、（13，0.35）、（14，0.4）代入l=at2+bt+c中得：
{144a+12b+c=0.6169a+13b+c=0.35196a+14b+c=0.4 ，解得 {a=0.15b=−4c=27 ，
∴l=0.15t2-4t+27，
∵0.15＞0，
∴l有最小值，
当t=- −42×0.15 = 403 ≈13.33时，该地影子最短；
故答案为：C
【分析】由题意将三个点的坐标代入解析式可得关于a、b、c的方程组，解方程组即可求解析式，配成顶点式根据二次函数的性质即可求解。
3.【答案】 D
【考点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】因为△=b2﹣4ac>0判断，图象与x轴有两个交点．∵当x=0时，y=-2，∴函数图象与y轴有一个交点，∴二次函数与坐标轴有3个交点．
故选D．
4.【答案】 B
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数的其他应用
【解析】【解答】解： ∵ 抛物线与 x 轴有两个不同的交点，
∴b2−4ac>0 ，
∴ b2>4ac ，即①符合题意；
∵x=1 时， y<0 ，
∴a+b+c<0 ，
∴ a+b<−c ，即②符合题意；
∵ 抛物线开口向上，
∴a>0 ，
∵ 抛物线的对称轴为直线 x=−b2a=1 ，
∴b=−2a<0 ，
∵ 抛物线与 y 轴交点位于 y 轴负半轴，
∴c<0 ，
∴abc>0 ，所以③不符合题意；
∵x=−2 ， y>0 ，
∴4a−2b+c>0 ，
而 b=−2a ，
∴8a+c>0 ，所以④符合题意；
∵ 抛物线与 x 轴的交点坐标为 (−1,0) 、 (3,0) ，
即 x=−1 或3时， y=0 ，
∴ 方程 ax2+bx+c=0 的根是 x1=−1 ， x2=3 ，所以⑤符合题意．
综上所述：符合题意结论有①②④⑤，符合题意结论有4个.
故答案为： B ．
【分析】根据抛物线与 x 轴的交点个数可对①进行判断；利用 x=1 时函数值为负数可对②进行判断；由抛物线开口方向得 a>0 ，由抛物线的对称轴方程得到 b=−2a<0 ，由抛物线与 y 轴交点位置得 c<0 ，于是可对③进行判断；由于 x=−2 时， y>0 ，得到 4a−2b+c>0 ，然后把 b=−2a 代入计算，则可对④进行判断；根据抛物线与 x 轴的交点问题可对⑤进行判断．
5.【答案】 D
【考点】二次函数图象上点的坐标特征，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵ 直线x＝1是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a≠0）的图象的对称轴，
∴x=-b2a=1
∴b=-2a
∴y=ax2-2ax+c
∵ 点A（x1 ， y1）和点B（x2 ， y2）为其图象上的两点，
∴y1=ax12-2ax1+c，y2=ax22-2ax2+c
当 x1
整理得：a（x1-x2）（x1+x2-2）＜0
∵x1-x2＜0
∴a（x1+x2-2）＞0，故A，B不符合题意；
当 x1＞x2 ， y1
整理得：a（x1-x2）（x1+x2-2）＜0
∵x1-x2＞0
∴a（x1+x2-2）＜0，故C不符合题意，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】由已知抛物线的对称轴为1，可得到b=-2a，由此可得函数解析式为y=ax2-2ax+c，再根据点A（x1 ， y1）和点B（x2 ， y2）为其图象上的两点，可得到y1=ax12-2ax1+c，y2=ax22-2ax2+c，再分情况讨论：当 x1
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式（组）的综合应用，二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，
而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（-1，0）右侧，
∴当x=-1时，y＜0，
∴a-b+c＜0，故①正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=- b2a =1，
∴b=-2a，
∴2a+b+c=2a-2a+c=c＞0，故②正确；
∵x=1时，二次函数有最大值，
∴ax2+bx+c≤a+b+c，
∴ax2+bx≤a+b，故③正确；
∵直线y=-x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，
∴x=3时，一次函数值比二次函数值大，
即9a+3b+c＜-3+c，
而b=-2a，
∴9a-6a＜-3，
解得a＜-1，故④正确．
故答案为：A．
【分析】①根据题意结合二次函数的对称性可知抛物线与x轴的另一个交点在点（-1，0）右侧，从而可得当x=-1时，a-b+c＜0，故①正确；
②根据抛物线与y轴的交点可得c＞0，由抛物线的对称轴可得b=-2a，从而可得2a+b+c＞0，故②正确；
③根据图像可知当x=1时，二次函数有最大值，即ax2+bx+c≤a+b+c，从而可得③正确；
④根据图像可知x=3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c＜-3+c，将b=-2a代入解得a＜-1，故④正确．
7.【答案】 D
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数的最值，二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵b＞a＞0
∴﹣ b2a ＜0，
所以①正确；
∵抛物线与x轴最多有一个交点，
∴b2﹣4ac≤0，
∴关于x的方程ax2+bx+c+2=0中，△=b2﹣4a（c+2）=b2﹣4ac﹣8a＜0，
所以②正确；
∵a＞0及抛物线与x轴最多有一个交点，
∴x取任何值时，y≥0
∴当x=﹣1时，a﹣b+c≥0；
所以③正确；
当x=﹣2时，4a﹣2b+c≥0
a+b+c≥3b﹣3a
a+b+c≥3（b﹣a）
a+b+cb−a ≥3
所以④正确．
故选：D．
【分析】从抛物线与x轴最多一个交点及b＞a＞0，可以推断抛物线最小值最小为0，对称轴在y轴左侧，并得到b2﹣4ac≤0，从而得到①②为正确；由x=﹣1及x=﹣2时y都大于或等于零可以得到③④正确．
8.【答案】 B
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵对称轴为直线X=2，
∴-b2a=2 ， 即4a+b=0，故（1）正确；
由图像可知当x=-3时，9a-3b+c＜0，即9a+c＜3b，故（2）错误；
∵抛物线与x轴的一个交点为(−1,0)，
∴a−b+c=0
∵b=−4a，
∴a+4a+c=0，即c=−5a，
∴8a+7b+2c=8a−28a−10a=−30a，
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∴8a+7b+2c>0，故③正确；
∵抛物线的对称轴为x=2，C(72 ， y3)，
∴(12 ， y3）
∵−3<−12<12 ， 在对称轴的左侧，
∴y随x的增大而增大，
∴y1
过y=−3作x轴的平行线，直线y=−3与抛物线的交点的横坐标为方程的两根，
依据函数图象可知：x1<−1<5
故答案为：B
【分析】根据抛物线的对称轴为直线x=2，则有4a+b=0，可对（1）作出判断；观察函数图象得到当x=-3时，函数值小于0，则9a-3b+c<0，即9a+c<3b，可对（2）作出判断；由于x=-1时，y=0，则a-b+c=0，易得c=-5a，所以8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a，再根据抛物线开口向下得a<0，可对（3）作出判断；利用抛物线的对称性得到（12 ， y3），然后利用二次函数的增减性求解，就可得出y1、y2、y3的大小，可对（4）作出判断；过y=−3作x轴的平行线，直线y=−3与抛物线的交点的横坐标为方程的两根，然后依据函数图象进行判断，可对（5）作出判断，综上所述可得出答案。
9.【答案】 C
【考点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当a＜x＜b时，y＞0，所以①错误；
当a=﹣1时，A点坐标为（﹣1，0），把A（﹣1，0）代入y=﹣x2+2x+m+1得﹣1﹣2+m+1=0，解得m=2，则抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3，解方程﹣x2+2x+3=0得x1=﹣1，x2=3，则B（3，0），即b=3，所以②错误；
抛物线的对称轴为直线x=﹣22×-1=1，因为x1＜1＜x2 ， 所以点P和点Q在对称轴两侧，点P到直线x=1的距离为1﹣x1 ， 点Q到直线x=1的距离为x2﹣1，则x2﹣1﹣（1﹣x1）=x2+x1﹣2，而x1+x2＞2，所以x2﹣1﹣（1﹣x1）＞0，所以点Q到对称轴的距离比点P到对称轴的距离要大，所以y1＞y2 ， 所以③正确．
故选C．
【分析】观察函数图象可直接得到抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围，从而可对①进行判断；把A点坐标代入y=﹣x2+2x+m+1中求出m，确定抛物线解析式，再通过解方程﹣x2+2x+3=0得到B点坐标，从而可对②进行判断；先确定抛物线的对称轴为直线x=1，则点P和点Q在对称轴两侧，所以点P到直线x=1的距离为1﹣x1 ， 点Q到直线x=1的距离为x2﹣1，然后比较点Q点对称轴的距离和点P点对称轴的距离的大小，再根据二次函数的性质可对③进行判断．
10.【答案】 A
【考点】二次函数与不等式（组）的综合应用，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：对顶点坐标为：x=﹣ b2a =﹣ m2 ，y=1﹣ m24 ，其对称轴为 ：x=﹣ b2a=﹣ m2
分三种情况：①当对称轴x＜0时，即﹣ m2 ＜0，m＞0，满足当0＜x≤2时的函数值总是非负数；
②当0≤x＜2时，0≤﹣ m2 ＜2，﹣4＜m≤0，当1﹣ m24 ＞0时，﹣2＜m≤2，满足当0＜x≤2时的函数值总是非负数；
当1﹣ m24 ＜0时，不能满足当0＜x≤2时的函数值总是非负数；
∴当﹣2＜m≤0时，当0＜x≤2时的函数值总是非负数，
③当对称轴﹣ m2 ≥2时，即m≤﹣4，如果满足当0＜x≤2时的函数值总是非负数，则有x=2时，y≥0，
4+2m+1≥0，
m≥﹣ 52 ，
此种情况m无解；
故答案为：A．
【分析】根据抛物线表示出其顶点的坐标，及对称轴，分三种情况：①当对称轴x＜0时，②当0≤x＜2时，③当对称轴x ≥2时,分别列出关于m的不等式，求解并判断当0＜x≤2时的函数值总是非负数，即可得出答案。
二、填空题
11.【答案】 ①④⑤
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：抛物线过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．
∴x＝ −b2a ＝2，与x轴的另一个交点为（5，0），
即，4a+b＝0，故①符合题意；
当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0，即，9a+c＜3b ， 因此②不符合题意；
当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，因此③不符合题意；
抛物线与x轴的两个交点为（﹣1，0），（5，0），又a＜0，因此当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞5，故④符合题意；
当x＝3时，y＝9a+3b+c＞0，
当x＝4时，y＝16a+4b+c＞0，
∴25a+7b+2c＞0，
又∵a＜0，
∴8a+7b+c＞0，故⑤符合题意；
综上所述，正确的结论有：①④⑤，
故答案为：①④⑤．
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，逐项判断即可．
12.【答案】 -4≤x≤-1
【考点】二次函数与不等式（组）的综合应用，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解： ∵ 抛物线 y=(x+2)2+m 经过点 A(−1,0)
∴0=1+m
∴m=−1
∴ 抛物线解析式为 y=(x+2)2−1=x2+4x+3
∴ 点 C 坐标 (0,3)
∴ 对称轴为x=-2,B、C关于对称轴对称,
∴ 点 B 坐标 (−4,3)
由图象可知，满足 (x+2)2+m≤kx+b 的 x 的取值范围为 −4≤x≤−1
故答案为: −4≤x≤−1 .
【分析】将点A的坐标代入二次函数解析式求出m的值，再根据二次函数解析式求出点C的坐标，然后根据抛物线的对称性求出点B的坐标，点A、B之间部分的自变量x的取值范围即为不等式的解集.
13.【答案】 272
【考点】二次函数图象的几何变换，二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：对于抛物线C1： y=−x(x−3)(0≤x≤3) ，当y=0时， −x(x−3)=0 ，所以 x1=0,x2=3 ，∴点A1的坐标为（3，0）；
由题意：将 C1 绕 A1 旋转 180° 得到 C2 ，交 x 轴于 A2 ，将 C2 绕 A2 旋转 180° 得到 C3 ，交 x 轴于 A3 ，∴点A2的坐标为（6，0），点A3的坐标为（9，0）；
设抛物线C1的顶点为F，抛物线C2的顶点为H，抛物线C3的顶点为G，则F、H、G的坐标分别为（ 32,94 ）、（ 92,−94 ）、（ 152,94 ），
连接A1F、A1H，如图，根据题意可知F、A1、H三点共线，同理H、A2、G三点共线，
∴由抛物线的对称性可得：S阴影=S△FGH= 12×(152−32)×92=272 .
故答案为 272 .
【分析】利用配方法将函数解析式转化为顶点式，可得到点F的坐标，再求出点A1的坐标，再利用旋转的性质求出点A2的坐标和点A3的坐标及点H，G的坐标，连接FH，GH，利用二次函数的对称性可知F、A1、H三点共线，H、A2、G三点共线，阴影部分的面积等于△FGH的面积，利用点的坐标求出FG及点H到FG的距离，利用三角形的面积公式可求解。
14.【答案】 1﹣2 2 或﹣2
【考点】函数的图象，翻折变换（折叠问题），二次函数的其他应用
【解析】【解答】当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2，
则抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴的交点为（﹣1，0），（2，0），
把抛物线y＝x2+2x图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，
则翻折部分的抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2（﹣1≤x≤2），
当直线y＝kx+4与抛物线y＝﹣x2+x+2（﹣1≤x≤2）相切时，
直线y＝kx+4与函数y＝|x2﹣x﹣2|的图象恰好有三个公共点，
即﹣x2+x+2＝kx+4有相等的实数解，整理得x2+（k﹣1）x+2＝0，△＝（k﹣1）2﹣8＝0，
解得k＝1±2 2 ，
所以k的值为1+2 2 或1﹣2 2 ．
当k＝1+2√2时，经检验，切点横坐标为x＝﹣ 2 ＜﹣1不符合题意，舍去．
当y＝kx+4过（2，0）时，k＝﹣2，也满足条件，
故答案为1﹣2 2 或﹣2．
【分析】根据题意和二次函数的解析式，求出将图像进行翻折后抛物线的解析式和自变量的取值范围，将一次函数和二次函数的解析式进行联立，根据直线与抛物线的交点的个数，通过△求取k的值，然后求取交点横坐标看是否符合题意即可解决.
15.【答案】 ①④
【考点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】.①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，
∴AB=4，
∴对称轴x= −b2a =1，
即2a+b=0；
故①正确；
②由抛物线的开口方向向上可推出a＞0，而 −b2a ＞0
∴b＜0，
∵对称轴x=1，
∴当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0；
故②错误；
③∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，
∴当x=2时y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
又∵b＜0，
∴4a+b+c无法确定；
故③错误；
④要使△ABD为等腰直角三角形，必须保证D到x轴的距离等于AB长的一半；
D到x轴的距离就是当x=1时y的值的绝对值．
当x=1时，y=a+b+c，
即|a+b+c|=2，
∵当x=1时y＜0，
∴a+b+c=﹣2，
又∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，
∴当x=﹣1时y=0即a﹣b+c=0；
x=3时y=0．
∴9a+3b+c=0，
解这三个方程可得：b=﹣1，a= 12 ，c=﹣ 32 ；
故④正确；
⑤要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，
当AB=BC=4时，
∵AO=1，△BOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2=16﹣9=7，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c=﹣ 7 ，
与2a+b=0、a﹣b+c=0联立组成解方程组，解得a= 73 ；
同理当AB=AC=4时，
∵AO=1，△AOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2=16﹣1=15，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c=﹣ 15
与2a+b=0、a﹣b+c=0联立组成解方程组，解得a= 153 ；
同理当AC=BC时
在△AOC中，AC2=1+c2 ，
在△BOC中BC2=c2+9，
∵AC=BC，
∴1+c2=c2+9，此方程无解．
经解方程组可知只有两个a值满足条件．故⑤错误．
所以正确的额结论有：①④
【分析】根据抛物线的对称性得出x= −b2a =1，即2a+b=0；由抛物线的开口方向向上可推出a＞0，根据对称轴在y轴的右侧判断出a,b异号，故b＜0;根据对称轴是x=1得出当x=1的时候函数有最小值，即x=1对应的点使函数的顶点，根据顶点位置判断出该点的函数值小于0，故a+b+c＜0；当x=2时y＜0，故4a+2b+c＜0，又b＜0，故4a+b+c无法确定；根据抛物线的对称性可知AD=BD，故要使△ABD为等腰直角三角形，只能∠ADB=90°,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出必须保证D到x轴的距离等于AB长的一半；D到x轴的距离就是当x=1时y的值的绝对值．当x=1时，y=a+b+c，即|a+b+c|=2，a+b+c=﹣2，然后将A,B两点的坐标分别代入解析式得出两个关于a,b,c的方程，解三个方程组成的方程组即可求出a,b,c的值，从而 只有当a= 12 时，△ABD是等腰直角三角形； 要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，当AB=BC=4时，由AO=1，△BOC为直角三角形，OC的长即为|c|，故c2=16﹣9=7，c=﹣ 7 ，与2a+b=0、a﹣b+c=0联立组成解方程组，解得a= 73 ；同理当AB=AC=4时，AO=1，△AOC为直角三角形，又OC的长即为|c|，c2=16﹣1=15，故c=﹣ 15 ， 与2a+b=0、a﹣b+c=0联立组成解方程组，解得a= 153 ；同理当AC=BC时
在△AOC中，AC2=1+c2 ， 在△BOC中BC2=c2+9，根据AC=BC，建立方程，由于此方程无解．综上所述即可得出答案。
16.【答案】 ①④
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式（组）的综合应用，二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：①因为抛物线的顶点坐标A（1，3），所以对称轴为：x=1，则- b2a =1，2a+b=0，故①符合题意；
②∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故②不符合题意；
③∵抛物线对称轴为x=1,抛物线与x轴的交点B的坐标为（4,0），∴根据对称性可得，抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-2,0），故③不符合题意；
④∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，∴ ax2+bx+c=−3 的判别式， Δ =b2-4a（c+3）= b2-4ac-12a,又a＜0，∴-12a＞0，∴ Δ = b2-4ac-12a＞0，故④符合题意；
⑤当x=-1时，y1=a-b+c＞0;当x=4时，y2=4m+n=0,∴a-b+c＞4m+n,故⑤不符合题意；
⑥由图象得： mx+n>ax2+bx+c 的解集为x＜1或x＞4；故⑥不符合题意；
则其中正确的有：①④．
故答案为：①④．
【分析】①由对称轴x=1判断；②根据图象确定a、b、c的符号；③根据对称轴以及B点坐标，通过对称性得出结果；③根据 ax2+bx+c=−3 的判别式的符号确定；④比较x=1时得出y1的值与x=4时得出y2值的大小即可；⑤由图象得出，抛物线总在直线的下面，即y2＞y1时x的取值范围即可．
17.【答案】 -1
【考点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：由抛物线C1：y=-x(x-2)，
令y=0，∴-x(x-2)=0，解得 x1=0,x2=2
∴与x轴的交点为O（0,0），A（2,0）.
抛物线C2的开口向上，且与x轴的交点为∴A（2,0）和A1（4，0），
则抛物线C2：y= (x−2)(x−4) ；
抛物线C3的开口向下，且与x轴的交点为∴A1（4，0）和A2（6，0），
则抛物线C3：y= −(x−4)(x−6) ；
抛物线C4的开口向上，且与x轴的交点为∴A2（6，0）和A3（8，0），
则抛物线C4：y= −(x−6)(x−8) ；
同理：
抛物线C2018的开口向上，且与x轴的交点为∴A2016（4034，0）和A2017（4036，0），
则抛物线C2018：y= (x−4034)(x−4036) ；
当x=4035时，y= 1×(−1)=−1 .
故答案为：-1.
【分析】每次变化时，开口方向变化但形状不变，则 |a|=1 ，故开口向上时a=1，开口向下时a=-1；与x轴的交点在变化，可发现规律抛物线Cn与x轴交点的规律是（2n-2，0）和（2n，0），由两点式 y=a(x−x1)(x−x2) 解答即可.
18.【答案】 n＞ 214 或﹣1＜n＜3
【考点】二次函数图象的几何变换，二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数与不等式（组）的综合应用，二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：当y=0时，y=x2﹣2x﹣3=0，
（x﹣3）（x+1）=0，
x=﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴M（1，﹣4），
如图，作直线y=﹣x，
分别过A、B作直线y=﹣x的平行线，
当直线y=﹣x+n经过A（﹣1，0）时，1+n=0，n=﹣1，
当直线y=﹣x+n经过B（3，0）时，﹣3+n=0，n=3，
∴n的取值范围为：﹣1＜n＜3，
根据题意得：翻折后的顶点坐标为（1，4），
∴翻折后的抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3，
当直线y=﹣x+n与抛物线y=﹣x2+2x+3只有一个公共点时，
则 {y=−x+ny=−x2+2x+3 ，
﹣x2+2x+3=﹣x+n，
﹣x2+3x+3﹣n=0，
△=9+4（3﹣n）=0，
n= 214 ，
综上所述：当直线y=﹣x+n与此图象有且只有两个公共点时，则n的取值范围为n＞ 214 或﹣1＜n＜3．
【分析】（1）根据解析式求与x轴交点A、B的坐标，确定二次函数的顶点M，由翻折性质求新抛物线顶点坐标为（1，4），得出新抛物线的解析式；（2）求直线y=﹣x+n过两个边界点时对应的n的值，并求直线与新抛物线相切时的n值，继而得出n的取值范围．
三、解答题
19.【答案】 解：因为二次函数的顶点坐标为 (2,−2) ，
所以可设二次函数的解析式为： y=a(x−2)2−2
因为图象经过点(1,-1)，所以 −1=a(1−2)2−2 ，解得 a=1 ，
所以，所求二次函数的解析式为： y=(x−2)2−2 .
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】根据已知顶点坐标，利用待定系数法可设二次函数的解析式为 y=a(x-2)2-2 ，代入坐标求解即可求得二次函数的解析式.
20.【答案】 解：①a-1+1≠0且b+1=2.解得a≠0，b=1.
②a-1=0且b为任意实数，解得a=1，b为任意实数.
③a为任意实数且b=1=1或0，解得a为任意实数，b=0或-1.
综上所述，当a≠0，b=1或a=1，b为任意实数或a为任意实数，b=0或-1时，y=（a-1）x（b+1）+x2+1是二次函数.
【考点】二次函数的定义
【解析】【分析】根据二次函数的定义，二次项系数不等于0列式求解即可.
21.【答案】 解：能.
∵ OC=4 ， CD=3 ，
∴顶点 D 坐标为 (4, 3) ，
设 y=a(x−4)2+3 ，
代入A点坐标（0， 53 ），得： 53=a(0−4)2+3 ，
∴ a=−112 ，
∴ y=−112(x−4)2+3 ，
即 y=−112x2+23x+53 ，
令 y=0 ，得 −112x2+23x+53=0 ，
∴ x1=10 ， x2=−2 （舍去）.
故该运动员的成绩为 10m .
【考点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】根据题意得出该抛物线的顶点坐标为（4,3），故设出抛物线的顶点式，再代入点A的坐标即可求出二次项系数a的值，从而求出抛物线的解析式，然后将y=0代入所求的函数解析式即可算出对应的自变量的值，再检验即可得出答案.
22.【答案】 解：（1）根据表格数据可得-4-2b+c=5-1+b+c=2 ， 解得b=-2c=5 ，
∴﹣x2+bx+c=﹣x2﹣2x+5，
当x=﹣1时，﹣x2﹣2x+5=6，即n=6；
（2）根据表中数据得当0≤x≤2时，y的最大值是5．
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）把（﹣2，0）、（1，2）分别代入﹣x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可得到b、c的值；然后计算x=﹣1时的代数式的值即可得到n的值；
（2）利用表中数据求解．
23.【答案】 解：(1) ∵y=3x+23 ， 当x=0时， y=23；当y=0时，x=-2，
∴A(-2,0)，D(0,23)，
∵ABCD为等腰梯形，
∴AD=BC，∠OAD=∠OBC
过点C作CH⊥AB于点H，则AO=BH，OH=DC.
∵ABCD的面积是S=12（DC+AB）·DO，
∴83=12（DC+OH+2+2）×23 ，
∴DC=2，
∴C(2, 23)，B（4,0），
设抛物线解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，代入A(-2,0)，D(0,23)，B（4,0）
得0=4a-2b+c23=c0=16a+4b+c ，
解得a=-34b=32c=23 ，
即y=-34x2+32x+23；
（2）连结PE，∵PE=PB，
∴∠PBE=∠PEB，
∵∠PBE=∠DAB，
∴∠DAB=∠PBE，
∴PE∥DA，
∵EF⊥AD，
∴∠FEP=∠AFE=90°，
又PE为半径，EF与⊙P相切.；
(3)设⊙P与y轴相切于点G，P作PQ⊥x轴于点Q，
设Q(x,0),则QB=4-x，
∵∠PBA=∠DAO，ODOA=3 ，
∴∠PBA=∠DAO=60°，
∴PQ=34-x ， PB=8-2x ，P(x, 34-x),
∵⊙P与y轴相切于点G，⊙P过点B，
∴PG=PB，
∴x=8-2x，
∴x=83 ， P(83 ， 433)．
【考点】二次函数的实际应用-动态几何问题
【解析】【分析】
（1）过C作CE⊥AB于E，利用矩形的性质分别求得三点的坐标，利用求得的点的坐标，用待定系数法求得二次函数的解析式即可；
（2）连结PE，可以得到：PE∥DA，从而得出EF与⊙P相切；
（3）设⊙P与y轴相切于点G，P作PQ⊥x轴于点Q，设Q(x,0),用含有x的代数式分别表示出PG和PB，再根据PG=PB求出x的值即可．
24.【答案】 解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴BC＝ 12 AB＝3，
由勾股定理得，AC＝ AB2−BC2=62−32=33
在Rt△ADF中，∠A＝30°，
∴AD＝2DF，AF＝ 3 DF，
∴CF＝AC﹣AF＝ 33−3 DF，
则矩形DECF面积＝DF×（ 33−3 DF）
＝﹣ 3 DF2+3 3 DF= −3(DF−32)2+934
当DF＝ 32 时，剪出的矩形DECF面积最大，
则AD＝2DF＝3，
∴使剪出的矩形DECF面积最大，点D应该选在AB的中点.
【考点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】根据直角三角形的性质求出BC，根据勾股定理求出AC，根据矩形的面积公式列出函数解析式，根据二次函数的性质解答即可.
25.【答案】 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．∴， 解得， ∴抛物线的解析式：y=﹣x2+4x﹣3，由y=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1，可知：顶点D的坐标（2，1）．（2）存在；设直线BC的解析式为：y=kx+b，则3k+b=0b=-3 ， 解得k=1b=-3 ， ∴直线BC的解析式为y=x﹣3，设P（x，﹣x2+4x﹣3），则E（x，x﹣3），∴PE=（﹣x2+4x﹣3）﹣（x﹣3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣32）2+94 ， ∴当x=32时，PF有最大值为94 ． ∴存在一点P，使线段PE的长最大，最大值为94 ． （3）∵A（1，0）、B（3，0）、D（2，1）、C（0，﹣3），∴可求得直线AD的解析式为：y=x﹣1；直线BC的解析式为：y=x﹣3．∴AD∥BC，且与x轴正半轴夹角均为45°．∵AF∥y轴，∴F（1，﹣2），∴AF=2．①当0≤t≤2时，如答图1﹣1所示．此时四边形AFF′A′为平行四边形．设A′F′与x轴交于点K，则AK=22AA′=22t．∴S=S▱AFF′A′=AF•AK=2×22t=2t；②当2＜t≤22时，如答图1﹣2所示．设O′C′与AD交于点P，A′F′与BD交于点Q，则四边形PC′F′A′为平行四边形，△A′DQ为等腰直角三角形．∴S=S▱PC′F′A′﹣S△A′DQ=2×1﹣12（t﹣2）2=﹣12t2+2t+1；③当22＜t≤32时，如答图1﹣3所示．设O′C′与BD交于点Q，则△BC′Q为等腰直角三角形．∵BC=32 ， CC′=t，∴BC′=32﹣t．∴S=S△BC′Q=12（32﹣t）2=12t2﹣32t+9．综上所述，S与t的函数关系式为：S=
【考点】二次函数与一次函数的综合应用，二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）应用待定系数法即可求得抛物线的解析式，然后化为顶点式即可求得顶点的坐标．
（2）先求得直线BC的解析式，设P（x，﹣x2+4x﹣3），则F（x，x﹣3），根据PF等于P点的纵坐标减去F点的纵坐标即可求得PF关于x的函数关系式，从而求得P的坐标和PF的最大值；
（3）在运动过程中，分三种情形，需要分类讨论，避免漏解．
26.【答案】 （1）解：∵ y=12x2+mx+m=12(x−m)2−12m2+m ，
∴顶点A坐标 (−m,−12m2+m)
（2）解：∵直线AB的解析式为 y=x−12m2+2m ，
设P (a,12a2+ma+m) ，
过点P作PQ∥y轴交AB于Q，如图1中，
∴Q (a,a−12m2+2m)
∴PQ= a−12m2+2m−(12a2+ma+m)=−12a2+(1−m)a−12m2+m
= −12[a−(1−m)]2+12 ，
当 a=1−m 时，PQ有最大值为 12 ，
∵PQ与直线AB的夹角为45°
∴P到直线AB的距离d的最大值为 d=24 ．
（3）解：A（﹣m，﹣ 12 m2+m）、C（0，m）
A′（﹣m， 12 m2﹣m，）、C′（0，﹣m）
∴直线EF的解析式为y=﹣ 12 mx﹣m，
设E（x1 ， y1）、F（x2 ， y2）
过点C作MN∥x轴，过点E作EM⊥MN于M，过点F作FN⊥MN于N，
∵∠ECF=90°，
∴∠ECM+∠FCN=90°，∠FCN+∠CFN=90°，
∴∠ECM=∠CFN，∵∠EMC=∠FNC=90°，
∴Rt△EMC∽Rt△CNF，∴ EMCN=MCFN ，
即 y1−mx2=−x1y2−m ，
化简得：y1y2﹣m（y1+y2）+m2=﹣x1x2
由 {y=−12mx−my=12x2+mx+m ，消去y，整理得：x2+3mx+4m=0
∴x1+x2=﹣3m，x1x2=4m
y1y2=（﹣ 12 mx1﹣m）（﹣ 12 mx2﹣m）=﹣ 12 m3+m2
y1+y2= 32 m2﹣2m，
∴﹣ 12 m3+m2﹣m（ 32 m2﹣2m）+m2=﹣4m，
∴m（m²-2m-2）=0
解得m=1- 3 或1+ 3 或0，
∵m＜0，∴m=1- 3 .
【考点】二次函数与一次函数的综合应用，二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化，二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】把抛物线的解析式写成顶点式的形式，表示出顶点；表示出PQ的距离，根据二次的函数的性质求最值。
27.【答案】 （1）解：过点A作AE⊥y轴于点E，
∵AO=OB=2，∠AOB=120°，
∴∠AOE=30°，
∴OE= 3 ，AE=1，
∴A点坐标为：（﹣1， 3 ），B点坐标为：（2，0），
将两点代入y=ax2+bx得：
{a−b=34a+2b=0 ，
解得： {a=33b=−233 ，
∴抛物线的表达式为：y= 33 x2﹣ 233 x；
（2）解：过点M作MF⊥OB于点F，
∵y= 33 x2﹣ 233 x= 33 （x2﹣2x）= 33 （x2﹣2x+1﹣1）= 33 （x﹣1）2﹣ 33 ，
∴M点坐标为：（1，﹣ 33 ），
∴tan∠FOM= 331 = 33 ，
∴∠FOM=30°，
∴∠AOM=30°+120°=150°；
（3）解：当点C在x轴负半轴上时，则∠BAC=150°，而∠ABC=30°，此时∠C=0°，故此种情况不存在；
当点C在x轴正半轴上时，
∵AO=OB=2，∠AOB=120°，
∴∠ABO=∠OAB=30°，
∴AB=2EO=2 3 ，
当△ABC1∽△AOM，
∴ AOAB=MOBC1 ，
∵MO= FM2+FO2 = 233 ，
∴ 223=232BC1 ，
解得：BC1=2，∴OC1=4，
∴C1的坐标为：（4，0）；
当△C2BA∽△AOM，
∴ BC2AO=ABMO ，
∴ BC22=23233 ，
解得：BC2=6，∴OC2=8，
∴C2的坐标为：（8，0）．
综上所述，△ABC与△AOM相似时，点C的坐标为：（4，0）或（8，0）．
【考点】待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）过点A作AE⊥y轴。根据∠AOB=120°即可得出∠AOE=30°，由AO的长度，即可求出点A的坐标，点B坐标也可求出，将点A和点B坐标代入抛物线表达式中，即可求出a和b的数值，既而得出抛物线的表达式。
（2）过点M作x轴的垂线，垂足为点F，根据二次函数解析式，即可求出点M的坐标，既而得出MF和OF的长度，求∠FOM的正切值，根据正切的数值，即可得出∠FOM的度数，所以就可以求出∠AOM的度数。
（3）当C点在x轴负半轴时，作图此时∠C的度数为0°，由题可知不符合条件，即C点在x轴的正半轴。分类讨论，根据相似三角形的对应边成比例，所以当△ABC1∽△AOM时，即可求出C点的坐标；当△C2BA∽△AOM时，对应成比例，所以C点的坐标可求出。
28.【答案】 解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴1-b+c=09+3b+c=0
解得b=-2c=3 ，
∴二次函数的表达式是：y=x2﹣2x﹣3．
（2）∵y=x2﹣2x﹣3，
∴点C的坐标是（0，﹣3），
①如图1：
，
当∠QPB=90°时，
∵经过t秒，AP=t，BQ=2t，BP=3﹣（t﹣1）=4﹣t．
∵OB=OC=3，
∴∠OBC=∠OCB=45°．
∴BQ=2BP
∴2t=2×（4﹣t）
解得t=2．
即当t=2时，△BPQ为直角三角形．
②如图2：
，
当∠PQB=90°时，
∵∠PBQ=45°，
∴BP=2BQ．
∵BP═4﹣t，BQ=2t，
∴4﹣t=2×2t
解得t=43
即当t=43时，△BPQ为直角三角形．
综上，当△BPQ为直角三角形，t=2或43 ．
（3）N点的坐标是（2，﹣3）
（3）如图3：
，
延长MQ交抛物线于点N，H是PQ的中点，
设PQ所在的直线的解析式是y=px+q，
∵点P的坐标是（t﹣1，0），点Q的坐标是（3﹣t，﹣t），
pt-1+q=0p3-t+q=-t
解得p=t2t-4q=t-t24-2t ．
∴PQ所在的直线的解析式是y=t2t-4x+t-t24-2t ，
∴点M的坐标是（0，t-t24-2t）．
∵t-1+3-t2=1，-t+02=﹣t2 ，
∴PQ的中点H的坐标是（1，﹣t2）
假设PQ的中点恰为MN的中点，
∵1×2﹣0=2，t2×2﹣t-t24-2t=3t-t24-2t ，
∴点N的坐标是（2，3t-t24-2t），
又∵点N在抛物线上，
∴3t-t24-2t=22﹣2×2﹣3=﹣3，
∴点N的坐标是（2，﹣3），
解得t=9+332或t=9-332 ，
∵t＜2，
∴t=9-332 ，
∴当t＜2时，延长QP交y轴于点M，当t=9-332时在抛物线上存在一点N（2，﹣3），使得PQ的中点恰为MN的中点
【考点】二次函数与一次函数的综合应用，二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）首先根据待定系数法，求出BC所在的直线的解析式，再分别求出点P、点Q的坐标各是多少；然后分两种情况：①当∠QPB=90°时；②当∠PQB=90°时；根据等腰直角三角形的性质，求出t的值各是多少即可．
（3）首先延长MQ交抛物线于点N，H是PQ的中点，再用待定系数法，求出PQ所在的直线的解析式，然后根据PQ的中点恰为MN的中点，判断出是否存在满足题意的点N即可．
第5章二次函数提优练习
一、单选题
1.方程ax2+bx+c=0的两个根是－3和1，那么二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线（ ）
A. x＝－3 B. x＝－2 C. x＝－1 D. x＝1
2.太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄地点的一种方法 为了确定视频拍摄地的经度，我们需要对比视频中影子最短的时刻与同一天东经120度影子最短的时刻 在一定条件下，直杆的太阳影子长度 l( 单位：米 ) 与时 t( t( 单位：时 ) 的关系满足函数关系 l=at2+bt+c （a,b,c是常数），如图记录了三个时刻的数据，根据上述函数模型和记录的数据，则该地影子最短时，最接近的时刻t是（ ）
A. 12.75 B. 13 C. 13.33 D. 13.5
3.二次函数y=x2-2x-2与坐标轴的交点个数是（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
4.已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象如图所示，对于下列结论：① b2>4ac ；② a+b<−c ；③ abc<0 ；④ 8a+c>0 ；⑤方程 ax2+bx+c=0 的根是 x1=−1 ， x2=3 ，其中正确结论的个数是（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
5.已知直线x＝1是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a≠0）的图象的对称轴，点A（x1 ， y1）和点B（x2 ， y2）为其图象上的两点，且y1
C. 若x1＞x2 ， 则a（x1+x2-2）＞0 D. 若x1＞x2 ， 则a（x1+x2-2）<0
6.如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=1．直线y=-x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C，D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①a-b+c＜0；②2a+b+c＞0；③x（ax+b）≤a+b；④a＜-1．其中正确的有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
7.已知抛物线y=ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：
①该抛物线的对称轴在y轴左侧；
②关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根；
③a﹣b+c≥0；
④ a+b+cb−a 的最小值为3．
其中，正确结论的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（-1，0），对称轴为直线X=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（-3，y1）、点B（ -12 ，y2）、点C（ 72 ，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x-5）=-3的两根为x1和x2 ， 且x1＜x2 ， 则x1＜-1＜5＜x2 ． 其中正确的结论有（ ）个．
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
9.如图，抛物线y=﹣x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列三个判断中:
①当x＞0时，y＞0；
②若a=﹣1，则b=4；
③抛物线上有两点P（x1 ， y1）和Q（x2 ， y2），若x1＜1＜x2 ， 且x1+x2＞2，则y1＞y2；正确的是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ①②③都不对
10.对于二次函数y=x2+mx+1，当0＜x≤2时的函数值总是非负数，则实数m的取值范围为（ ）
A. m≥﹣2 B. ﹣4≤m≤﹣2 C. m≥﹣4 D. m≤﹣4或m≥﹣2
二、填空题
11.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；④当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞5；⑤8a+7b+2c＞0．其中正确的结论是________．
12.如图，二次函数 y=(x+2)2+m 的图象与y轴交于点C,与x轴的一个交点为 A(−1,0) ,点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称.已知一次函数 y=kx+b 的图象经过 A,B 两点,根据图象,则满足不等式 (x+2)2+m≤kx+b 的x的取值范围是________
13.如图，一段抛物线： y=−x(x−3)(0≤x≤3) ，记为 C1 ，它与 x 轴交于两点 O ， A1 ：将 C1 绕 A1 旋转 180° 得到 C2 ，交 x 轴于 A2 ：将 C2 绕 A2 旋转 180° 得到 C3 ，交 x 轴于 A3 .过抛物线 C1 ， C3 顶点的直线与 C1 ， C2 ， C3 围成的如图中的阴影部分，那么该面积为________.
14.将函数y＝x2﹣x﹣2的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的图形是函数y＝|x2﹣x﹣2|的图象，已知过点D（0，4）的直线y＝kx+4恰好与y＝|x2﹣x﹣2|的图象只有三个交点，则k的值为________．
15.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，与y轴负半轴交于点C．下面五个结论：①2a+b=0；②a+b+c＞0；③4a+b+c＞0；④只有当a= 12 时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a的值可以有三个．那么，其中正确的结论是________．
16.如图是抛物线 y1=ax2+bx+c(a≠0) 图象的一部分，抛物线的顶点坐标为 A(1,3) ，与 x 轴的一个交点为 B(4,0) ，点 A 和点 B 均在直线 y2=mx+n(m≠0) 上.① 2a+b=0 ；② abc>0 ；③抛物线与 x 轴的另一个交点时 (−4,0) ；④方程 ax2+bx+c=−3 有两个不相等的实数根；⑤ a−b+c<4m+n ；⑥不等式 mx+n>ax2+bx+c 的解集为 1
上述六个结论中，其中正确的结论是________.（填写序号即可）
17.如图，一段抛物线：y=-x(x-2)（0≤x≤2）记为C1 ,它与x轴交于两点O，A；将C1绕点A旋转180°得到C2 ， 交x轴于A1；将C2绕点A1旋转180°得到C3 ， 交x轴于点A2 ． ．．．．．如此进行下去，直至得到C2018 ， 若点P（4035，m）在第2018段抛物线上，则m的值为 ．
18.已知抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，其顶点为M，将此抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新的图象．如图，当直线y=﹣x+n与此图象有且只有两个公共点时，则n的取值范围为________．
三、解答题
19.已知二次函数的顶点坐标为 (2，−2) ，且其图象经过点 (1，−1) ，求此二次函数的解析式.
20.若函数y=（a-1）x（b+1）+x2+1是二次函数，试讨论a、b的取值范围.
21.如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点 A 处出手，出手时球离地面约 53m .铅球落地点在 B 处，铅球运行中在运动员前 4m 处（即 OC=4 ）达到最高点，最高点高为 3m .已知铅球经过的路线是抛物线，根据如图所示的直角坐标系，你能算出该运动员的成绩吗？
22.下表给出了代数式﹣x2+bx+c与x的一些对应值：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
﹣x2+bx+c
…
5
n
c
2
﹣3
﹣10
…
（1）根据表格中的数据，确定b，c，n的值；
（2）设y=﹣x2+bx+c，直接写出0≤x≤2时y的最大值．
23.如图(1)，直线y=3x+23与x轴交于点A、与y轴交于点D，以AD为腰，以x轴为底作等腰梯形ABCD(AB＞CD)，且等腰梯形的面积是83 ， 抛物线经过等腰梯形的四个顶点.
图(1)
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 如图（2）若点P为BC上的—个动点（与B、C不重合），以P为圆心，BP长为半径作圆，与轴的另一个交点为E，作EF⊥AD，垂足为F，请判断EF与⊙P的位置关系，并给以证明；
图（2）
(3) 在（2）的条件下，是否存在点P，使⊙P与y轴相切，如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.
24.如图，是一块三角形材料，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6.用这块材料剪出一个矩形DECF，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，要使剪出的矩形DECF面积最大，点D应该选在何处？
25.已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）如图①，点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交直线BC于点E．是否存在一点P，使线段PE的长最大？若存在，求出PE长的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，过点A作y轴的平行线，交直线BC于点F，连接DA、DB．四边形OAFC沿射线CB方向运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当点C与点B重合时立即停止运动．设运动过程中四边形OAFC与四边形ADBF重叠部分面积为S，请求出S与t的函数关系式．
26.如图，抛物线 y=12x2+mx+m （m＜0）的顶点为A，交y轴于点C．
（1）求出点A的坐标（用含m的式子表示）；
（2）平移直线y=x经过点A交抛物线C于另一点B，直线AB下方抛物线C上一点P，求点P到直线AB的最大距离
（3）设直线AC交x轴于点D，直线AC关于x轴对称的直线交抛物线C于E、F两点．若∠ECF=90°，求m的值．
27.如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0），经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=2，∠AOB=120°．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）连接OM，求∠AOM的大小；
（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．
28.如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC，动点P以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，动点Q以每秒2个单位长度的速度从B向C运动，P、Q同时出发，连接PQ，当点Q到达C点时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t秒．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，当△BPQ为直角三角形时，求t的值；
（3）如图2，当t＜2时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上存在一点N，使得PQ的中点恰为MN的中点，请直接写出N点的坐标．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【考点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】先根据题意得出抛物线与x轴的交点坐标，再由两点坐标关于抛物线的对称轴对称即可得出结论．
【解答】∵方程ax2+bx+c=0的两个根是-3和1，
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点分别为（-3，0)，（1，0)．
∵此两点关于对称轴对称，
∴对称轴是直线x=-3+12=-1．
故选C．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．
2.【答案】 C
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：把（12，0.6）、（13，0.35）、（14，0.4）代入l=at2+bt+c中得：
{144a+12b+c=0.6169a+13b+c=0.35196a+14b+c=0.4 ，解得 {a=0.15b=−4c=27 ，
∴l=0.15t2-4t+27，
∵0.15＞0，
∴l有最小值，
当t=- −42×0.15 = 403 ≈13.33时，该地影子最短；
故答案为：C
【分析】由题意将三个点的坐标代入解析式可得关于a、b、c的方程组，解方程组即可求解析式，配成顶点式根据二次函数的性质即可求解。
3.【答案】 D
【考点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】因为△=b2﹣4ac>0判断，图象与x轴有两个交点．∵当x=0时，y=-2，∴函数图象与y轴有一个交点，∴二次函数与坐标轴有3个交点．
故选D．
4.【答案】 B
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数的其他应用
【解析】【解答】解： ∵ 抛物线与 x 轴有两个不同的交点，
∴b2−4ac>0 ，
∴ b2>4ac ，即①符合题意；
∵x=1 时， y<0 ，
∴a+b+c<0 ，
∴ a+b<−c ，即②符合题意；
∵ 抛物线开口向上，
∴a>0 ，
∵ 抛物线的对称轴为直线 x=−b2a=1 ，
∴b=−2a<0 ，
∵ 抛物线与 y 轴交点位于 y 轴负半轴，
∴c<0 ，
∴abc>0 ，所以③不符合题意；
∵x=−2 ， y>0 ，
∴4a−2b+c>0 ，
而 b=−2a ，
∴8a+c>0 ，所以④符合题意；
∵ 抛物线与 x 轴的交点坐标为 (−1,0) 、 (3,0) ，
即 x=−1 或3时， y=0 ，
∴ 方程 ax2+bx+c=0 的根是 x1=−1 ， x2=3 ，所以⑤符合题意．
综上所述：符合题意结论有①②④⑤，符合题意结论有4个.
故答案为： B ．
【分析】根据抛物线与 x 轴的交点个数可对①进行判断；利用 x=1 时函数值为负数可对②进行判断；由抛物线开口方向得 a>0 ，由抛物线的对称轴方程得到 b=−2a<0 ，由抛物线与 y 轴交点位置得 c<0 ，于是可对③进行判断；由于 x=−2 时， y>0 ，得到 4a−2b+c>0 ，然后把 b=−2a 代入计算，则可对④进行判断；根据抛物线与 x 轴的交点问题可对⑤进行判断．
5.【答案】 D
【考点】二次函数图象上点的坐标特征，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵ 直线x＝1是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a≠0）的图象的对称轴，
∴x=-b2a=1
∴b=-2a
∴y=ax2-2ax+c
∵ 点A（x1 ， y1）和点B（x2 ， y2）为其图象上的两点，
∴y1=ax12-2ax1+c，y2=ax22-2ax2+c
当 x1
整理得：a（x1-x2）（x1+x2-2）＜0
∵x1-x2＜0
∴a（x1+x2-2）＞0，故A，B不符合题意；
当 x1＞x2 ， y1
整理得：a（x1-x2）（x1+x2-2）＜0
∵x1-x2＞0
∴a（x1+x2-2）＜0，故C不符合题意，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】由已知抛物线的对称轴为1，可得到b=-2a，由此可得函数解析式为y=ax2-2ax+c，再根据点A（x1 ， y1）和点B（x2 ， y2）为其图象上的两点，可得到y1=ax12-2ax1+c，y2=ax22-2ax2+c，再分情况讨论：当 x1
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式（组）的综合应用，二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，
而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（-1，0）右侧，
∴当x=-1时，y＜0，
∴a-b+c＜0，故①正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=- b2a =1，
∴b=-2a，
∴2a+b+c=2a-2a+c=c＞0，故②正确；
∵x=1时，二次函数有最大值，
∴ax2+bx+c≤a+b+c，
∴ax2+bx≤a+b，故③正确；
∵直线y=-x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，
∴x=3时，一次函数值比二次函数值大，
即9a+3b+c＜-3+c，
而b=-2a，
∴9a-6a＜-3，
解得a＜-1，故④正确．
故答案为：A．
【分析】①根据题意结合二次函数的对称性可知抛物线与x轴的另一个交点在点（-1，0）右侧，从而可得当x=-1时，a-b+c＜0，故①正确；
②根据抛物线与y轴的交点可得c＞0，由抛物线的对称轴可得b=-2a，从而可得2a+b+c＞0，故②正确；
③根据图像可知当x=1时，二次函数有最大值，即ax2+bx+c≤a+b+c，从而可得③正确；
④根据图像可知x=3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c＜-3+c，将b=-2a代入解得a＜-1，故④正确．
7.【答案】 D
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数的最值，二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵b＞a＞0
∴﹣ b2a ＜0，
所以①正确；
∵抛物线与x轴最多有一个交点，
∴b2﹣4ac≤0，
∴关于x的方程ax2+bx+c+2=0中，△=b2﹣4a（c+2）=b2﹣4ac﹣8a＜0，
所以②正确；
∵a＞0及抛物线与x轴最多有一个交点，
∴x取任何值时，y≥0
∴当x=﹣1时，a﹣b+c≥0；
所以③正确；
当x=﹣2时，4a﹣2b+c≥0
a+b+c≥3b﹣3a
a+b+c≥3（b﹣a）
a+b+cb−a ≥3
所以④正确．
故选：D．
【分析】从抛物线与x轴最多一个交点及b＞a＞0，可以推断抛物线最小值最小为0，对称轴在y轴左侧，并得到b2﹣4ac≤0，从而得到①②为正确；由x=﹣1及x=﹣2时y都大于或等于零可以得到③④正确．
8.【答案】 B
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵对称轴为直线X=2，
∴-b2a=2 ， 即4a+b=0，故（1）正确；
由图像可知当x=-3时，9a-3b+c＜0，即9a+c＜3b，故（2）错误；
∵抛物线与x轴的一个交点为(−1,0)，
∴a−b+c=0
∵b=−4a，
∴a+4a+c=0，即c=−5a，
∴8a+7b+2c=8a−28a−10a=−30a，
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∴8a+7b+2c>0，故③正确；
∵抛物线的对称轴为x=2，C(72 ， y3)，
∴(12 ， y3）
∵−3<−12<12 ， 在对称轴的左侧，
∴y随x的增大而增大，
∴y1
过y=−3作x轴的平行线，直线y=−3与抛物线的交点的横坐标为方程的两根，
依据函数图象可知：x1<−1<5
故答案为：B
【分析】根据抛物线的对称轴为直线x=2，则有4a+b=0，可对（1）作出判断；观察函数图象得到当x=-3时，函数值小于0，则9a-3b+c<0，即9a+c<3b，可对（2）作出判断；由于x=-1时，y=0，则a-b+c=0，易得c=-5a，所以8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a，再根据抛物线开口向下得a<0，可对（3）作出判断；利用抛物线的对称性得到（12 ， y3），然后利用二次函数的增减性求解，就可得出y1、y2、y3的大小，可对（4）作出判断；过y=−3作x轴的平行线，直线y=−3与抛物线的交点的横坐标为方程的两根，然后依据函数图象进行判断，可对（5）作出判断，综上所述可得出答案。
9.【答案】 C
【考点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当a＜x＜b时，y＞0，所以①错误；
当a=﹣1时，A点坐标为（﹣1，0），把A（﹣1，0）代入y=﹣x2+2x+m+1得﹣1﹣2+m+1=0，解得m=2，则抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3，解方程﹣x2+2x+3=0得x1=﹣1，x2=3，则B（3，0），即b=3，所以②错误；
抛物线的对称轴为直线x=﹣22×-1=1，因为x1＜1＜x2 ， 所以点P和点Q在对称轴两侧，点P到直线x=1的距离为1﹣x1 ， 点Q到直线x=1的距离为x2﹣1，则x2﹣1﹣（1﹣x1）=x2+x1﹣2，而x1+x2＞2，所以x2﹣1﹣（1﹣x1）＞0，所以点Q到对称轴的距离比点P到对称轴的距离要大，所以y1＞y2 ， 所以③正确．
故选C．
【分析】观察函数图象可直接得到抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围，从而可对①进行判断；把A点坐标代入y=﹣x2+2x+m+1中求出m，确定抛物线解析式，再通过解方程﹣x2+2x+3=0得到B点坐标，从而可对②进行判断；先确定抛物线的对称轴为直线x=1，则点P和点Q在对称轴两侧，所以点P到直线x=1的距离为1﹣x1 ， 点Q到直线x=1的距离为x2﹣1，然后比较点Q点对称轴的距离和点P点对称轴的距离的大小，再根据二次函数的性质可对③进行判断．
10.【答案】 A
【考点】二次函数与不等式（组）的综合应用，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：对顶点坐标为：x=﹣ b2a =﹣ m2 ，y=1﹣ m24 ，其对称轴为 ：x=﹣ b2a=﹣ m2
分三种情况：①当对称轴x＜0时，即﹣ m2 ＜0，m＞0，满足当0＜x≤2时的函数值总是非负数；
②当0≤x＜2时，0≤﹣ m2 ＜2，﹣4＜m≤0，当1﹣ m24 ＞0时，﹣2＜m≤2，满足当0＜x≤2时的函数值总是非负数；
当1﹣ m24 ＜0时，不能满足当0＜x≤2时的函数值总是非负数；
∴当﹣2＜m≤0时，当0＜x≤2时的函数值总是非负数，
③当对称轴﹣ m2 ≥2时，即m≤﹣4，如果满足当0＜x≤2时的函数值总是非负数，则有x=2时，y≥0，
4+2m+1≥0，
m≥﹣ 52 ，
此种情况m无解；
故答案为：A．
【分析】根据抛物线表示出其顶点的坐标，及对称轴，分三种情况：①当对称轴x＜0时，②当0≤x＜2时，③当对称轴x ≥2时,分别列出关于m的不等式，求解并判断当0＜x≤2时的函数值总是非负数，即可得出答案。
二、填空题
11.【答案】 ①④⑤
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：抛物线过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．
∴x＝ −b2a ＝2，与x轴的另一个交点为（5，0），
即，4a+b＝0，故①符合题意；
当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0，即，9a+c＜3b ， 因此②不符合题意；
当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，因此③不符合题意；
抛物线与x轴的两个交点为（﹣1，0），（5，0），又a＜0，因此当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞5，故④符合题意；
当x＝3时，y＝9a+3b+c＞0，
当x＝4时，y＝16a+4b+c＞0，
∴25a+7b+2c＞0，
又∵a＜0，
∴8a+7b+c＞0，故⑤符合题意；
综上所述，正确的结论有：①④⑤，
故答案为：①④⑤．
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，逐项判断即可．
12.【答案】 -4≤x≤-1
【考点】二次函数与不等式（组）的综合应用，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解： ∵ 抛物线 y=(x+2)2+m 经过点 A(−1,0)
∴0=1+m
∴m=−1
∴ 抛物线解析式为 y=(x+2)2−1=x2+4x+3
∴ 点 C 坐标 (0,3)
∴ 对称轴为x=-2,B、C关于对称轴对称,
∴ 点 B 坐标 (−4,3)
由图象可知，满足 (x+2)2+m≤kx+b 的 x 的取值范围为 −4≤x≤−1
故答案为: −4≤x≤−1 .
【分析】将点A的坐标代入二次函数解析式求出m的值，再根据二次函数解析式求出点C的坐标，然后根据抛物线的对称性求出点B的坐标，点A、B之间部分的自变量x的取值范围即为不等式的解集.
13.【答案】 272
【考点】二次函数图象的几何变换，二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：对于抛物线C1： y=−x(x−3)(0≤x≤3) ，当y=0时， −x(x−3)=0 ，所以 x1=0,x2=3 ，∴点A1的坐标为（3，0）；
由题意：将 C1 绕 A1 旋转 180° 得到 C2 ，交 x 轴于 A2 ，将 C2 绕 A2 旋转 180° 得到 C3 ，交 x 轴于 A3 ，∴点A2的坐标为（6，0），点A3的坐标为（9，0）；
设抛物线C1的顶点为F，抛物线C2的顶点为H，抛物线C3的顶点为G，则F、H、G的坐标分别为（ 32,94 ）、（ 92,−94 ）、（ 152,94 ），
连接A1F、A1H，如图，根据题意可知F、A1、H三点共线，同理H、A2、G三点共线，
∴由抛物线的对称性可得：S阴影=S△FGH= 12×(152−32)×92=272 .
故答案为 272 .
【分析】利用配方法将函数解析式转化为顶点式，可得到点F的坐标，再求出点A1的坐标，再利用旋转的性质求出点A2的坐标和点A3的坐标及点H，G的坐标，连接FH，GH，利用二次函数的对称性可知F、A1、H三点共线，H、A2、G三点共线，阴影部分的面积等于△FGH的面积，利用点的坐标求出FG及点H到FG的距离，利用三角形的面积公式可求解。
14.【答案】 1﹣2 2 或﹣2
【考点】函数的图象，翻折变换（折叠问题），二次函数的其他应用
【解析】【解答】当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2，
则抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴的交点为（﹣1，0），（2，0），
把抛物线y＝x2+2x图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，
则翻折部分的抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2（﹣1≤x≤2），
当直线y＝kx+4与抛物线y＝﹣x2+x+2（﹣1≤x≤2）相切时，
直线y＝kx+4与函数y＝|x2﹣x﹣2|的图象恰好有三个公共点，
即﹣x2+x+2＝kx+4有相等的实数解，整理得x2+（k﹣1）x+2＝0，△＝（k﹣1）2﹣8＝0，
解得k＝1±2 2 ，
所以k的值为1+2 2 或1﹣2 2 ．
当k＝1+2√2时，经检验，切点横坐标为x＝﹣ 2 ＜﹣1不符合题意，舍去．
当y＝kx+4过（2，0）时，k＝﹣2，也满足条件，
故答案为1﹣2 2 或﹣2．
【分析】根据题意和二次函数的解析式，求出将图像进行翻折后抛物线的解析式和自变量的取值范围，将一次函数和二次函数的解析式进行联立，根据直线与抛物线的交点的个数，通过△求取k的值，然后求取交点横坐标看是否符合题意即可解决.
15.【答案】 ①④
【考点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】.①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，
∴AB=4，
∴对称轴x= −b2a =1，
即2a+b=0；
故①正确；
②由抛物线的开口方向向上可推出a＞0，而 −b2a ＞0
∴b＜0，
∵对称轴x=1，
∴当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0；
故②错误；
③∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，
∴当x=2时y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
又∵b＜0，
∴4a+b+c无法确定；
故③错误；
④要使△ABD为等腰直角三角形，必须保证D到x轴的距离等于AB长的一半；
D到x轴的距离就是当x=1时y的值的绝对值．
当x=1时，y=a+b+c，
即|a+b+c|=2，
∵当x=1时y＜0，
∴a+b+c=﹣2，
又∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，
∴当x=﹣1时y=0即a﹣b+c=0；
x=3时y=0．
∴9a+3b+c=0，
解这三个方程可得：b=﹣1，a= 12 ，c=﹣ 32 ；
故④正确；
⑤要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，
当AB=BC=4时，
∵AO=1，△BOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2=16﹣9=7，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c=﹣ 7 ，
与2a+b=0、a﹣b+c=0联立组成解方程组，解得a= 73 ；
同理当AB=AC=4时，
∵AO=1，△AOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2=16﹣1=15，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c=﹣ 15
与2a+b=0、a﹣b+c=0联立组成解方程组，解得a= 153 ；
同理当AC=BC时
在△AOC中，AC2=1+c2 ，
在△BOC中BC2=c2+9，
∵AC=BC，
∴1+c2=c2+9，此方程无解．
经解方程组可知只有两个a值满足条件．故⑤错误．
所以正确的额结论有：①④
【分析】根据抛物线的对称性得出x= −b2a =1，即2a+b=0；由抛物线的开口方向向上可推出a＞0，根据对称轴在y轴的右侧判断出a,b异号，故b＜0;根据对称轴是x=1得出当x=1的时候函数有最小值，即x=1对应的点使函数的顶点，根据顶点位置判断出该点的函数值小于0，故a+b+c＜0；当x=2时y＜0，故4a+2b+c＜0，又b＜0，故4a+b+c无法确定；根据抛物线的对称性可知AD=BD，故要使△ABD为等腰直角三角形，只能∠ADB=90°,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出必须保证D到x轴的距离等于AB长的一半；D到x轴的距离就是当x=1时y的值的绝对值．当x=1时，y=a+b+c，即|a+b+c|=2，a+b+c=﹣2，然后将A,B两点的坐标分别代入解析式得出两个关于a,b,c的方程，解三个方程组成的方程组即可求出a,b,c的值，从而 只有当a= 12 时，△ABD是等腰直角三角形； 要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，当AB=BC=4时，由AO=1，△BOC为直角三角形，OC的长即为|c|，故c2=16﹣9=7，c=﹣ 7 ，与2a+b=0、a﹣b+c=0联立组成解方程组，解得a= 73 ；同理当AB=AC=4时，AO=1，△AOC为直角三角形，又OC的长即为|c|，c2=16﹣1=15，故c=﹣ 15 ， 与2a+b=0、a﹣b+c=0联立组成解方程组，解得a= 153 ；同理当AC=BC时
在△AOC中，AC2=1+c2 ， 在△BOC中BC2=c2+9，根据AC=BC，建立方程，由于此方程无解．综上所述即可得出答案。
16.【答案】 ①④
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式（组）的综合应用，二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：①因为抛物线的顶点坐标A（1，3），所以对称轴为：x=1，则- b2a =1，2a+b=0，故①符合题意；
②∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故②不符合题意；
③∵抛物线对称轴为x=1,抛物线与x轴的交点B的坐标为（4,0），∴根据对称性可得，抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-2,0），故③不符合题意；
④∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，∴ ax2+bx+c=−3 的判别式， Δ =b2-4a（c+3）= b2-4ac-12a,又a＜0，∴-12a＞0，∴ Δ = b2-4ac-12a＞0，故④符合题意；
⑤当x=-1时，y1=a-b+c＞0;当x=4时，y2=4m+n=0,∴a-b+c＞4m+n,故⑤不符合题意；
⑥由图象得： mx+n>ax2+bx+c 的解集为x＜1或x＞4；故⑥不符合题意；
则其中正确的有：①④．
故答案为：①④．
【分析】①由对称轴x=1判断；②根据图象确定a、b、c的符号；③根据对称轴以及B点坐标，通过对称性得出结果；③根据 ax2+bx+c=−3 的判别式的符号确定；④比较x=1时得出y1的值与x=4时得出y2值的大小即可；⑤由图象得出，抛物线总在直线的下面，即y2＞y1时x的取值范围即可．
17.【答案】 -1
【考点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：由抛物线C1：y=-x(x-2)，
令y=0，∴-x(x-2)=0，解得 x1=0,x2=2
∴与x轴的交点为O（0,0），A（2,0）.
抛物线C2的开口向上，且与x轴的交点为∴A（2,0）和A1（4，0），
则抛物线C2：y= (x−2)(x−4) ；
抛物线C3的开口向下，且与x轴的交点为∴A1（4，0）和A2（6，0），
则抛物线C3：y= −(x−4)(x−6) ；
抛物线C4的开口向上，且与x轴的交点为∴A2（6，0）和A3（8，0），
则抛物线C4：y= −(x−6)(x−8) ；
同理：
抛物线C2018的开口向上，且与x轴的交点为∴A2016（4034，0）和A2017（4036，0），
则抛物线C2018：y= (x−4034)(x−4036) ；
当x=4035时，y= 1×(−1)=−1 .
故答案为：-1.
【分析】每次变化时，开口方向变化但形状不变，则 |a|=1 ，故开口向上时a=1，开口向下时a=-1；与x轴的交点在变化，可发现规律抛物线Cn与x轴交点的规律是（2n-2，0）和（2n，0），由两点式 y=a(x−x1)(x−x2) 解答即可.
18.【答案】 n＞ 214 或﹣1＜n＜3
【考点】二次函数图象的几何变换，二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数与不等式（组）的综合应用，二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：当y=0时，y=x2﹣2x﹣3=0，
（x﹣3）（x+1）=0，
x=﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴M（1，﹣4），
如图，作直线y=﹣x，
分别过A、B作直线y=﹣x的平行线，
当直线y=﹣x+n经过A（﹣1，0）时，1+n=0，n=﹣1，
当直线y=﹣x+n经过B（3，0）时，﹣3+n=0，n=3，
∴n的取值范围为：﹣1＜n＜3，
根据题意得：翻折后的顶点坐标为（1，4），
∴翻折后的抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3，
当直线y=﹣x+n与抛物线y=﹣x2+2x+3只有一个公共点时，
则 {y=−x+ny=−x2+2x+3 ，
﹣x2+2x+3=﹣x+n，
﹣x2+3x+3﹣n=0，
△=9+4（3﹣n）=0，
n= 214 ，
综上所述：当直线y=﹣x+n与此图象有且只有两个公共点时，则n的取值范围为n＞ 214 或﹣1＜n＜3．
【分析】（1）根据解析式求与x轴交点A、B的坐标，确定二次函数的顶点M，由翻折性质求新抛物线顶点坐标为（1，4），得出新抛物线的解析式；（2）求直线y=﹣x+n过两个边界点时对应的n的值，并求直线与新抛物线相切时的n值，继而得出n的取值范围．
三、解答题
19.【答案】 解：因为二次函数的顶点坐标为 (2,−2) ，
所以可设二次函数的解析式为： y=a(x−2)2−2
因为图象经过点(1,-1)，所以 −1=a(1−2)2−2 ，解得 a=1 ，
所以，所求二次函数的解析式为： y=(x−2)2−2 .
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】根据已知顶点坐标，利用待定系数法可设二次函数的解析式为 y=a(x-2)2-2 ，代入坐标求解即可求得二次函数的解析式.
20.【答案】 解：①a-1+1≠0且b+1=2.解得a≠0，b=1.
②a-1=0且b为任意实数，解得a=1，b为任意实数.
③a为任意实数且b=1=1或0，解得a为任意实数，b=0或-1.
综上所述，当a≠0，b=1或a=1，b为任意实数或a为任意实数，b=0或-1时，y=（a-1）x（b+1）+x2+1是二次函数.
【考点】二次函数的定义
【解析】【分析】根据二次函数的定义，二次项系数不等于0列式求解即可.
21.【答案】 解：能.
∵ OC=4 ， CD=3 ，
∴顶点 D 坐标为 (4, 3) ，
设 y=a(x−4)2+3 ，
代入A点坐标（0， 53 ），得： 53=a(0−4)2+3 ，
∴ a=−112 ，
∴ y=−112(x−4)2+3 ，
即 y=−112x2+23x+53 ，
令 y=0 ，得 −112x2+23x+53=0 ，
∴ x1=10 ， x2=−2 （舍去）.
故该运动员的成绩为 10m .
【考点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】根据题意得出该抛物线的顶点坐标为（4,3），故设出抛物线的顶点式，再代入点A的坐标即可求出二次项系数a的值，从而求出抛物线的解析式，然后将y=0代入所求的函数解析式即可算出对应的自变量的值，再检验即可得出答案.
22.【答案】 解：（1）根据表格数据可得-4-2b+c=5-1+b+c=2 ， 解得b=-2c=5 ，
∴﹣x2+bx+c=﹣x2﹣2x+5，
当x=﹣1时，﹣x2﹣2x+5=6，即n=6；
（2）根据表中数据得当0≤x≤2时，y的最大值是5．
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）把（﹣2，0）、（1，2）分别代入﹣x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可得到b、c的值；然后计算x=﹣1时的代数式的值即可得到n的值；
（2）利用表中数据求解．
23.【答案】 解：(1) ∵y=3x+23 ， 当x=0时， y=23；当y=0时，x=-2，
∴A(-2,0)，D(0,23)，
∵ABCD为等腰梯形，
∴AD=BC，∠OAD=∠OBC
过点C作CH⊥AB于点H，则AO=BH，OH=DC.
∵ABCD的面积是S=12（DC+AB）·DO，
∴83=12（DC+OH+2+2）×23 ，
∴DC=2，
∴C(2, 23)，B（4,0），
设抛物线解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，代入A(-2,0)，D(0,23)，B（4,0）
得0=4a-2b+c23=c0=16a+4b+c ，
解得a=-34b=32c=23 ，
即y=-34x2+32x+23；
（2）连结PE，∵PE=PB，
∴∠PBE=∠PEB，
∵∠PBE=∠DAB，
∴∠DAB=∠PBE，
∴PE∥DA，
∵EF⊥AD，
∴∠FEP=∠AFE=90°，
又PE为半径，EF与⊙P相切.；
(3)设⊙P与y轴相切于点G，P作PQ⊥x轴于点Q，
设Q(x,0),则QB=4-x，
∵∠PBA=∠DAO，ODOA=3 ，
∴∠PBA=∠DAO=60°，
∴PQ=34-x ， PB=8-2x ，P(x, 34-x),
∵⊙P与y轴相切于点G，⊙P过点B，
∴PG=PB，
∴x=8-2x，
∴x=83 ， P(83 ， 433)．
【考点】二次函数的实际应用-动态几何问题
【解析】【分析】
（1）过C作CE⊥AB于E，利用矩形的性质分别求得三点的坐标，利用求得的点的坐标，用待定系数法求得二次函数的解析式即可；
（2）连结PE，可以得到：PE∥DA，从而得出EF与⊙P相切；
（3）设⊙P与y轴相切于点G，P作PQ⊥x轴于点Q，设Q(x,0),用含有x的代数式分别表示出PG和PB，再根据PG=PB求出x的值即可．
24.【答案】 解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴BC＝ 12 AB＝3，
由勾股定理得，AC＝ AB2−BC2=62−32=33
在Rt△ADF中，∠A＝30°，
∴AD＝2DF，AF＝ 3 DF，
∴CF＝AC﹣AF＝ 33−3 DF，
则矩形DECF面积＝DF×（ 33−3 DF）
＝﹣ 3 DF2+3 3 DF= −3(DF−32)2+934
当DF＝ 32 时，剪出的矩形DECF面积最大，
则AD＝2DF＝3，
∴使剪出的矩形DECF面积最大，点D应该选在AB的中点.
【考点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】根据直角三角形的性质求出BC，根据勾股定理求出AC，根据矩形的面积公式列出函数解析式，根据二次函数的性质解答即可.
25.【答案】 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．∴， 解得， ∴抛物线的解析式：y=﹣x2+4x﹣3，由y=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1，可知：顶点D的坐标（2，1）．（2）存在；设直线BC的解析式为：y=kx+b，则3k+b=0b=-3 ， 解得k=1b=-3 ， ∴直线BC的解析式为y=x﹣3，设P（x，﹣x2+4x﹣3），则E（x，x﹣3），∴PE=（﹣x2+4x﹣3）﹣（x﹣3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣32）2+94 ， ∴当x=32时，PF有最大值为94 ． ∴存在一点P，使线段PE的长最大，最大值为94 ． （3）∵A（1，0）、B（3，0）、D（2，1）、C（0，﹣3），∴可求得直线AD的解析式为：y=x﹣1；直线BC的解析式为：y=x﹣3．∴AD∥BC，且与x轴正半轴夹角均为45°．∵AF∥y轴，∴F（1，﹣2），∴AF=2．①当0≤t≤2时，如答图1﹣1所示．此时四边形AFF′A′为平行四边形．设A′F′与x轴交于点K，则AK=22AA′=22t．∴S=S▱AFF′A′=AF•AK=2×22t=2t；②当2＜t≤22时，如答图1﹣2所示．设O′C′与AD交于点P，A′F′与BD交于点Q，则四边形PC′F′A′为平行四边形，△A′DQ为等腰直角三角形．∴S=S▱PC′F′A′﹣S△A′DQ=2×1﹣12（t﹣2）2=﹣12t2+2t+1；③当22＜t≤32时，如答图1﹣3所示．设O′C′与BD交于点Q，则△BC′Q为等腰直角三角形．∵BC=32 ， CC′=t，∴BC′=32﹣t．∴S=S△BC′Q=12（32﹣t）2=12t2﹣32t+9．综上所述，S与t的函数关系式为：S=
【考点】二次函数与一次函数的综合应用，二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）应用待定系数法即可求得抛物线的解析式，然后化为顶点式即可求得顶点的坐标．
（2）先求得直线BC的解析式，设P（x，﹣x2+4x﹣3），则F（x，x﹣3），根据PF等于P点的纵坐标减去F点的纵坐标即可求得PF关于x的函数关系式，从而求得P的坐标和PF的最大值；
（3）在运动过程中，分三种情形，需要分类讨论，避免漏解．
26.【答案】 （1）解：∵ y=12x2+mx+m=12(x−m)2−12m2+m ，
∴顶点A坐标 (−m,−12m2+m)
（2）解：∵直线AB的解析式为 y=x−12m2+2m ，
设P (a,12a2+ma+m) ，
过点P作PQ∥y轴交AB于Q，如图1中，
∴Q (a,a−12m2+2m)
∴PQ= a−12m2+2m−(12a2+ma+m)=−12a2+(1−m)a−12m2+m
= −12[a−(1−m)]2+12 ，
当 a=1−m 时，PQ有最大值为 12 ，
∵PQ与直线AB的夹角为45°
∴P到直线AB的距离d的最大值为 d=24 ．
（3）解：A（﹣m，﹣ 12 m2+m）、C（0，m）
A′（﹣m， 12 m2﹣m，）、C′（0，﹣m）
∴直线EF的解析式为y=﹣ 12 mx﹣m，
设E（x1 ， y1）、F（x2 ， y2）
过点C作MN∥x轴，过点E作EM⊥MN于M，过点F作FN⊥MN于N，
∵∠ECF=90°，
∴∠ECM+∠FCN=90°，∠FCN+∠CFN=90°，
∴∠ECM=∠CFN，∵∠EMC=∠FNC=90°，
∴Rt△EMC∽Rt△CNF，∴ EMCN=MCFN ，
即 y1−mx2=−x1y2−m ，
化简得：y1y2﹣m（y1+y2）+m2=﹣x1x2
由 {y=−12mx−my=12x2+mx+m ，消去y，整理得：x2+3mx+4m=0
∴x1+x2=﹣3m，x1x2=4m
y1y2=（﹣ 12 mx1﹣m）（﹣ 12 mx2﹣m）=﹣ 12 m3+m2
y1+y2= 32 m2﹣2m，
∴﹣ 12 m3+m2﹣m（ 32 m2﹣2m）+m2=﹣4m，
∴m（m²-2m-2）=0
解得m=1- 3 或1+ 3 或0，
∵m＜0，∴m=1- 3 .
【考点】二次函数与一次函数的综合应用，二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化，二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】把抛物线的解析式写成顶点式的形式，表示出顶点；表示出PQ的距离，根据二次的函数的性质求最值。
27.【答案】 （1）解：过点A作AE⊥y轴于点E，
∵AO=OB=2，∠AOB=120°，
∴∠AOE=30°，
∴OE= 3 ，AE=1，
∴A点坐标为：（﹣1， 3 ），B点坐标为：（2，0），
将两点代入y=ax2+bx得：
{a−b=34a+2b=0 ，
解得： {a=33b=−233 ，
∴抛物线的表达式为：y= 33 x2﹣ 233 x；
（2）解：过点M作MF⊥OB于点F，
∵y= 33 x2﹣ 233 x= 33 （x2﹣2x）= 33 （x2﹣2x+1﹣1）= 33 （x﹣1）2﹣ 33 ，
∴M点坐标为：（1，﹣ 33 ），
∴tan∠FOM= 331 = 33 ，
∴∠FOM=30°，
∴∠AOM=30°+120°=150°；
（3）解：当点C在x轴负半轴上时，则∠BAC=150°，而∠ABC=30°，此时∠C=0°，故此种情况不存在；
当点C在x轴正半轴上时，
∵AO=OB=2，∠AOB=120°，
∴∠ABO=∠OAB=30°，
∴AB=2EO=2 3 ，
当△ABC1∽△AOM，
∴ AOAB=MOBC1 ，
∵MO= FM2+FO2 = 233 ，
∴ 223=232BC1 ，
解得：BC1=2，∴OC1=4，
∴C1的坐标为：（4，0）；
当△C2BA∽△AOM，
∴ BC2AO=ABMO ，
∴ BC22=23233 ，
解得：BC2=6，∴OC2=8，
∴C2的坐标为：（8，0）．
综上所述，△ABC与△AOM相似时，点C的坐标为：（4，0）或（8，0）．
【考点】待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）过点A作AE⊥y轴。根据∠AOB=120°即可得出∠AOE=30°，由AO的长度，即可求出点A的坐标，点B坐标也可求出，将点A和点B坐标代入抛物线表达式中，即可求出a和b的数值，既而得出抛物线的表达式。
（2）过点M作x轴的垂线，垂足为点F，根据二次函数解析式，即可求出点M的坐标，既而得出MF和OF的长度，求∠FOM的正切值，根据正切的数值，即可得出∠FOM的度数，所以就可以求出∠AOM的度数。
（3）当C点在x轴负半轴时，作图此时∠C的度数为0°，由题可知不符合条件，即C点在x轴的正半轴。分类讨论，根据相似三角形的对应边成比例，所以当△ABC1∽△AOM时，即可求出C点的坐标；当△C2BA∽△AOM时，对应成比例，所以C点的坐标可求出。
28.【答案】 解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴1-b+c=09+3b+c=0
解得b=-2c=3 ，
∴二次函数的表达式是：y=x2﹣2x﹣3．
（2）∵y=x2﹣2x﹣3，
∴点C的坐标是（0，﹣3），
①如图1：
，
当∠QPB=90°时，
∵经过t秒，AP=t，BQ=2t，BP=3﹣（t﹣1）=4﹣t．
∵OB=OC=3，
∴∠OBC=∠OCB=45°．
∴BQ=2BP
∴2t=2×（4﹣t）
解得t=2．
即当t=2时，△BPQ为直角三角形．
②如图2：
，
当∠PQB=90°时，
∵∠PBQ=45°，
∴BP=2BQ．
∵BP═4﹣t，BQ=2t，
∴4﹣t=2×2t
解得t=43
即当t=43时，△BPQ为直角三角形．
综上，当△BPQ为直角三角形，t=2或43 ．
（3）N点的坐标是（2，﹣3）
（3）如图3：
，
延长MQ交抛物线于点N，H是PQ的中点，
设PQ所在的直线的解析式是y=px+q，
∵点P的坐标是（t﹣1，0），点Q的坐标是（3﹣t，﹣t），
pt-1+q=0p3-t+q=-t
解得p=t2t-4q=t-t24-2t ．
∴PQ所在的直线的解析式是y=t2t-4x+t-t24-2t ，
∴点M的坐标是（0，t-t24-2t）．
∵t-1+3-t2=1，-t+02=﹣t2 ，
∴PQ的中点H的坐标是（1，﹣t2）
假设PQ的中点恰为MN的中点，
∵1×2﹣0=2，t2×2﹣t-t24-2t=3t-t24-2t ，
∴点N的坐标是（2，3t-t24-2t），
又∵点N在抛物线上，
∴3t-t24-2t=22﹣2×2﹣3=﹣3，
∴点N的坐标是（2，﹣3），
解得t=9+332或t=9-332 ，
∵t＜2，
∴t=9-332 ，
∴当t＜2时，延长QP交y轴于点M，当t=9-332时在抛物线上存在一点N（2，﹣3），使得PQ的中点恰为MN的中点
【考点】二次函数与一次函数的综合应用，二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）首先根据待定系数法，求出BC所在的直线的解析式，再分别求出点P、点Q的坐标各是多少；然后分两种情况：①当∠QPB=90°时；②当∠PQB=90°时；根据等腰直角三角形的性质，求出t的值各是多少即可．
（3）首先延长MQ交抛物线于点N，H是PQ的中点，再用待定系数法，求出PQ所在的直线的解析式，然后根据PQ的中点恰为MN的中点，判断出是否存在满足题意的点N即可．
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