初中数学苏科版九年级上册第2章 对称图形——圆综合与测试练习题
展开第2章圆--章节提优练习
（共28题，共150分）
一、选择题（共10题，共30分）
- （3分）半径为 的圆在长为 、宽为 的长方形内滚动，则该圆滚动过程中所能覆盖部分的最大面积等于
A． B． C． D．
- （3分）如图， 是 的外接圆，连接 ，， ,则 的度数为
A． B． C． D．
- （3分）如图， 是正方形 的对角线 上一点， 与边 ， 都相切，点 ， 分别在边 ， 上．现将 沿着 对折，折痕 与 相切，此时点 恰好落在圆心 处．若 ，则正方形 的边长是
A． B． C． D．
- （3分）如图， 是半圆的直径， 是 延长线上的一点， 切半圆于点 ，若 ，则 等于
A． B． C． D．
- （3分）如图示， 内切于 ，切点分别为点 ，点 ，点 ．已知 ，，连接 ，，则 的度数为
A． B． C． D．
- （3分）在平面直角坐标系内，以原点 为圆心， 为半径作圆，点 在直线 上运动，过点 作该圆的一条切线，切点为 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
- （3分）如图，四边形 是菱形，，，扇形 的半径为 ，圆心角为 ，则图中阴影部分的面积是
A． B． C． D．
- （3分）对于一个函数，自变量 取 时，函数值 等于 ，则称 为这个函数的零点．若关于 的二次函数 有两个不相等的零点 ，（），关于 的方程 有两个不相等的非零实数根 ，（），则下列关系式一定正确的是
A． B． C． D．
- （3分）如图，已知⊙的半径为5，弦，所对的圆心角分别是，，若与互补，弦，则弦的长为
A．6 B．8 C． D．
- （3分）某公园计划砌一个形状如图所示的喷水池，后来有人建议改为图的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的边沿
A．图需要的材料多 B．图需要的材料多
C．图、图需要的材料一样多 D．无法确定
二、填空题（共10题，共30分）
- （3分）如图，过 外一点 作 的两条切线 ，，切点分别为 ，．下列结论：① 垂直平分 ；② ；③ ；④若 ，则 ；⑤ ．其中，正确的结论是 （填序号）．
- （3分）如图，点 ，， 在 上，弦 与半径 互相平分，则 的度数为 度．
- （3分）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根 ，，且 ，则 的取值范围是 ．
- （3分）在一个不透明的盒子里装有 个形状大小完全相同的乒乓球，上面分别标有 ，，，，，，六个数字，现将它们摇匀后从中任取一个乒乓球，将该乒乓球上的数字记为 ，则使关于 的一元二次方程 有实数根，且使关于 的分式方程 有正数解的概率为 ．
- （3分）如图，正三角形 的边长为 ，点 ， 在半径为 的圆上，点 在圆内，将正三角形 绕点 逆时针旋转，当点 第一次落在圆上时，点 运动的路线长是 ．
- （3分）如图，将弧 沿弦 折叠交直径 于点 ，若 ，，则弦 的长是 ．
- （3分）已知 中，， 是 的中点．如图．
（）以 为圆心， 为半径，作半圆 ；
（）分别以 ， 为圆心，， 为半径作弧，两弧交于点 ；
（）连接 ，，；
（）作线段 的中垂线，分别交线段 于点 ，半圆 于点 ，连接 ；
（）以点 为圆心，线段 为半径，作 ．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中：
①点 在半圆 上；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ ；
⑥ ．
一定正确的是 ．
- （3分）如图，在矩形 中，，，以 为直线作 ，将矩形 绕点 旋转，使所得矩形 的边 ，边 与 相交于点 ，则 的长为 ．
- （3分）在平面直角坐标系 中，点 ，以 为半径在第一象限内作圆弧 ，连接 ，，圆心角 ，点 为弧 的中点， 为半径 上一动点，点 关于直线 的对称点为 ，若点 落在半径 上，则点 的坐标为 ；若点 落在半径 上，则点 的坐标为 .
- （3分）东营市某中学为积极响应“书香东营，全民阅读”活动，助力学生良好阅读习惯的养成，形成浓厚的阅读氛围，随机调查了部分学生平均每天的阅读时间，统计结果如表所示，则在本次调查中，学生阅读时间的中位数是 ．\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline 时间( 小时) &0.5&1&1.5&2&2.5\\\hline 人数( 人) &12&22&10&5&3\\\hline\end{array}\)
三、解答题（共8题，共90分）
- （8分）如图，在 中，， 是 的切线，切点为 ，直线 交 于点 ，，且 ．
(1) 求 的度数；
(2) 若 ，求 的面积．
- （10分）如图， 是 的直径， 和 是 的两条切线， 为 上一点，过点 作直线 分别交 ， 于点 ， 且 ．
(1) 求证：；
(2) 若 ，，求图中阴影部分的面积．
- （10分）汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司 年盈利 万元，到 年盈利 万元，且从 年到 年，每年盈利的年增长率相同．
(1) 求每年盈利的年增长率；
(2) 若该公司盈利的年增长率继续保持不变，那么 年该公司盈利能否达到 万元？
- （10分）如图， 为 的直径， 是 延长线上一点， 切 于点 ， 是 的弦，，垂足为 ．
(1) 求证：；
(2) 过点 作 交 于点 ，交 于点 ，连接 ．若 ，，求 的长．
- （10分）如图 ，在 中，， 于点 ，点 在 上，且 ，连接 ．
(1) 求证：；
(2) 如图 ，将 绕点 逆时针旋转 得到 （点 ， 分别对应点 ，），设射线 与 相交于点 ，连接 ，试探究线段 与 之间满足的数量关系，并说明理由．
- （12分）已知关于 的二次函数 ，且关于 的方程 的两根的平方和等于 ．
(1) 求函数的解析式；
(2) 设这个二次函数的图象与 轴从左至右分别交于 、 两点，在图中所给的平面直角坐标系中画出函数的大致图象，点 是位于对称轴右侧函数图象上的一点，且锐角 的面积的等于 ，求点 的坐标．
(3) 在（2）的条件下，过点 及点 的直线与抛物线交于点 （点 不与点 重合），求证： 是直角三角形，并求 的面积．
- （14分）如图 ，直线 分别交 轴、 轴于 ， 两点，点 是线段 上的一动点，以 为圆心， 为半径画圆．
(1) 若点 的横坐标为 ，当 与 轴相切时，则半径 为 ，此时 与 轴的位置关系是 ．（直接写结果）
(2) 若 ，当 与坐标轴有且只有 个公共点时，求点 的坐标．
(3) 如图 ，当圆心 与 重合， 时，设点 为 上的一个动点，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ，连接 ，求 长的最值并直接写出对应的点 的坐标．
- （16分）已知，抛物线 （ 是常数）．
(1) 当 时，求该抛物线与 轴的公共点的坐标．
(2) 抛物线与 轴相交于不同的两点 ，．
①求 的取值范围．
②无论 取何值，该抛物线都经过非坐标轴上的定点 ，当 时，求 面积的最大值，并求出相对应的 的值．
答案
一、选择题（共10题，共30分）
1. 【答案】B
【知识点】扇形面积的计算
2. 【答案】B
【解析】因为 ，，
所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 ．
故选B．
【知识点】圆周角定理及其推理
3. 【答案】C
【知识点】勾股定理之折叠问题、切线的性质、正方形的性质
4. 【答案】D
【解析】连接 ．
，
，
切半圆于点 ，
，
．
【知识点】圆周角定理及其推理、切线的性质
5. 【答案】B
【解析】 ，
，
．
连接 ，．
内切于 ，切点分别为点 ，点 ，
，，
，
，
．
【知识点】三角形的内切圆，内心
6. 【答案】D
【知识点】切线的性质、勾股定理、一次函数的解析式
7. 【答案】A
【解析】连接 ．
四边形 是菱形，，
，
，
是等边三角形，
，
的高为 ，
扇形 的半径为 ，圆心角为 ，
，，
，
设 ， 相交于点 ，设 ， 相交于点 ，
在 和 中，
，
四边形 的面积等于 的面积，
图中阴影部分的面积是：．
【知识点】扇形面积的计算、菱形的性质
8. 【答案】B
【解析】 ， 是 的两个不相等的零点，
即 ， 是 的两个不相等的实数根，
，
解得 ，，
方程 有两个不相等的非零实数根 ，，
，
解得 ，，
，
，
，，
，
，
，
而由题意知
解得 ，
当 时，，，；
当 时，，，；
当 时， 无意义；
当 时，，
取值范围不确定，
故选B．
【知识点】一元二次方程根与系数的关系、二次函数与纯代数的综合、二次函数与方程
9. 【答案】B
【解析】【分析】延长交⊙于点，连接，由知，据此可得，在中利用勾股定理求解可得．
【解析】解：如图，延长交⊙于点，连接，
则，
又，
，
，
为⊙的直径，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查圆心角定理，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理．
【知识点】弧、弦、圆心角的关系定理
10. 【答案】C
【解析】【分析】根据圆的周长公式，将每个圆的周长计算出来，找到和周长的关系即可．
【解析】解：设大圆的直径是．根据圆周长公式，得图中，需要2π；
图中，中间的三个小圆的直径之和是，所以需要2π．
故选：．
【点评】注意：第二个图中，计算三个小圆的周长时候，提取π，所有的直径之和是大圆的直径．
【知识点】圆的相关元素
二、填空题（共10题，共30分）
11. 【答案】①③④
【知识点】边边边、切线的性质、切线长定理
12. 【答案】
【知识点】垂直平分线的性质、垂径定理
13. 【答案】
【解析】 一元二次方程 有两个不相等的实数根，
，解得 ，
， 是方程两个实数根，
，
，
，
，
．
【知识点】一元二次方程根与系数的关系
14. 【答案】
【解析】 关于 的一元二次方程 有实数根，
，解得： 且 ，
又 关于 的分式方程 有正数解，
且 ，解得： 且 ，
的取值范围为 ，
符合条件的 只有 ，
符合条件的概率为 ．
【知识点】一元二次方程根的判别式、公式求概率
15. 【答案】
【解析】如图，连接 ，，，
，，
是等腰直角三角形，
．
同理可证 ，
．
，．
当点 第一次落在圆上时，点 运动的路线长为 ．
【知识点】旋转及其性质、弧长的计算、等边三角形的性质
16. 【答案】
【解析】作 于 ，连接 ，，，如图，
以半圆的一条弦 为对称轴将弧 折叠后与直径 交于点 ，
弧与 弧所在的圆为等圆，
，
，
，
在 中，，，
，
在 中，，
为直径，
，
．
故答案为 ．
【知识点】圆周角定理推论、弧、弦、圆心角的关系定理
17. 【答案】①②④
【解析】由作图可知，以 为圆心， 为直径的半圆是 的外接圆．
，
是直径所对的圆周角．
点 在半圆 上，故①正确；
由分别以 ， 为圆心，， 为半径作弧，
两弧交于点 可知，， 是以圆 的半径，
，故②正确；
在以 为圆心、 为半径的圆中，
在以 为圆心、 为半径的圆中，
，故③错误；
，，
，，
又 ，，
，
，，
，故④正确；
在以点 为圆心、 为直径的圆中， 是直径， 是该圆的一条弦，
，即 ，故⑤错误；
作线段 的中垂线，
，
，
，故⑥错误．
综上所述：①②④正确．
【知识点】两角分别相等、圆周角定理推论、三角形的外接圆与外心
18. 【答案】
【解析】过点 作 于 ，
矩形 绕点 旋转得矩形 ，
，，，
，，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
在 中，，，，
，
，
在 中，，
的长为 ．
【知识点】垂径定理
19. 【答案】，；，
【解析】（1）当点 与点 重合时，点 的坐标为 ；
当点 在 上（与 不重合时），如图，连接 .
，， .
在 中，得 ，
．
．
的坐标为 ．
(2)当点 与点 重合时，点 落在 点 ．点 的坐标为 ；
当点 在 上（与 不重合时)，如图.
连接 ，．
．
，
．
由①知，．
．
点 的横坐标为 ，纵坐标为 ．
点 为 ．
【知识点】图形成轴对称、30度所对的直角边等于斜边的一半、弧、弦、圆心角的关系定理
20. 【答案】1
【解析】【分析】由统计表可知总人数为52，得到中位数应为第26与第27个的平均数，而第26个数和第27个数都是1，即可确定出中位数为1．
【解析】解：由统计表可知共有：人，中位数应为第26与第27个的平均数，
而第26个数和第27个数都是1，则中位数是1．
故答案为：1．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后根据奇数和偶数的个数来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．也考查了条形统计图．
【知识点】中位数
三、解答题（共8题，共90分）
21. 【答案】
(1) 连接 ．
是 的切线，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
(2) 在 中，，，
，，
．
作 交 于 ，
，
，
，即 ，
，
的面积 ．
【知识点】切线的性质、两角分别相等
22. 【答案】
(1) 连接 ．
，
．
，
，
．
为 的切线，
；
为半径，
为 的切线，
切 于点 ，
；
(2) 如图，过点 作 于点 ，则四边形 是矩形，
，，
．
，
，
．
在直角 中，，
．
在 与 中，
，
．
．
【知识点】切线的判定、解直角三角形、扇形面积的计算、切线长定理、切线的性质
23. 【答案】
(1) 设每年盈利的年增长率为 ，
根据题意得：解得答：每年盈利的年增长率为 ．
(2) ，．
答： 年该公司盈利能达到 万元．
【知识点】平均增长率
24. 【答案】
(1) 如图，连接 ，
切 于点 ，
．
．
即 ．
为 的直径，
，
即 ．
又 ，
．
．
(2) ，
．
又 ，
．
．
又 ，
．
．
又 ，
．
又 ，
．
，
．
在 中，，，
，．
．
在 中，设 ，
．
．
．
又 为 直径，
．
在 中，
，
．
又 ，
．
【知识点】圆周角定理推论、切线的性质、垂径定理、正弦
25. 【答案】
(1) 在 中，，
，
在 和 中，
，
．
(2) 方法 ：如图 ，
是由 绕点 逆时针旋转 得到，
，，
，
由（）有， 和 都为等腰三角形，
，
，
点 ，，， 四点共圆，
，
设 与 交于点 ，
，
，
，
是由 绕点 逆时针旋转 得到，
，
由（）知，，
，
，
即：．
【解析】
(2) 方法 ：如图③，取 的中点 ，连接 ，，
是由 绕点 逆时针旋转 得到，
，，
，
由（）有， 和 都为等腰三角形，
，
，
由旋转知，，
，
，
，
，
，
，
，
由旋转知，，
，
由（）知，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，即：．
【知识点】圆周角定理及其推理、两角分别相等、边角边
26. 【答案】
(1) 设 与 为方程 的两根，
则可知：，且判别式 ，
，
即：，解得：．
又 ，．
由 得：，
代入数据得：，即 ．
解得：（舍， ）与 ．
函数解析式为：，即：．（对称轴为 ）．
(2) 如图所示，
设 ，又设 的高为 ，则可知：，，
由 ，得：，
，，
．
由 得：，
解得：，
．
①当 时，则由 得：，
解得：，（舍），
为图中的 （ 轴上方），此时易知 为钝角，所以舍去．
②当 时，则 为图中的 （ 轴下方），
易知： 为锐角三角形，
所以 有效．
此时，由 ，解得 （舍），．
的坐标为 ．
(3) 由（2）知 坐标为 ，设可直线 的方程为：，则因为其过 与 ，
得：
解得：
直线 的方程：．
由 得：（舍）与 （有效，如图所示）．
坐标为 ，
易知 ，
，
是以角 为直角的直角三角形．
设 与 在底边 上的高分别为 与 ，
，，
，
【知识点】二次函数与方程、二次函数的解析式、一次函数的解析式、一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系
27. 【答案】
(1) ；相离
(2) 当 与 轴相切，与 轴相交时，则点 的纵坐标是 ，
点 在直线 上，
，得 ，
点 的坐标为 ；
当 于 轴相切，与 轴相交时，则点 的横坐标是 ，
点 在直线 上，
，得 ，
点 的坐标为 ．
(3) 最大值为 ，．
【解析】
(1) 将 代入 ，得 ，
点 的坐标为 ，
与 轴相切，
半径 为 ，
，
此时 与 轴的位置关系是相离．
(3) 连接 ，，
，
，
，
时，， 时，，
点 ，点 ，
，，
在 和 中，
，
，
，
，
点 的运动轨迹是以点 为圆心， 为半径的圆．
当点 在线段 上时， 可取得最小值为 ．
此时，设点 的坐标为 ，则 ，
解得 或 （舍去），则 ，
点 坐标为 ，
当点 在线段 的延长线上时， 可取得最大值为 ，
此时点 的坐标为 ，则 ，
解得 或 （舍去），则 ，
点 坐标为 ．
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系、直线与圆的位置关系、切线的性质、一次函数图像上点的坐标特征、边角边
28. 【答案】
(1) ，
令 ，
，
，，
公共点为 和 ．
(2) ① 抛物线与 轴交于不同的两点，
方程 有两个不等实数根，
，
，
又 为二次项系数，
，
的取值范围为 且 ．
②
令 ，
，
，，
将其代入得 ，，
过两个定点：，，
不在坐标轴上，
为 ，
的 边上的高为 ，
，
，
，
当 时， 最大，
．
【知识点】一元二次方程根的判别式、二次函数与方程、二次函数与三角形综合
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