高中数学人教版新课标A必修4第三章 三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式教学设计及反思

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§3.1.1两角和与差的正弦，余弦和正切公式（教案）教材分析：教材通过实际问题情景的设置，使学生看到和角的正切求值问题，通过探究问题的设置，使学生明白两角差的余弦值与两角余弦值的差不相等这个事实，引发学生探索求解两角差的余弦值。然后，用几何方法部分的推导了两角差的余弦公式，使学生体会到几何方法推导公式的复杂性，转而用向量推证余弦的差角公式。 余弦的和差角公式是推导其它4个公式及后面的二倍角公式的基础，推证的过程难度不大，教材采用了“留空”的方式处理这部分内容。课标解读：1、经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用。 2、能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。 3、能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）。课 题：§3.1.1两角和与差的正弦，余弦和正切公式课 时：第1课时课 型：新知课教学目标：1、知识目标：在利用向量的数量积的知识，推导出两角差的余弦公式的基础上，进一步导出两角和的余弦公式，两角和与差的正弦，正切公式。 2、能力目标：会根据问题的特点，正确的选择公式解决问题3、德育目标：培养学生的主体意识，激发学生主动学习的积极性教学重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和与差的六个三角函数公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础。教学难点：1、利用向量的数量积推导差角的余弦公式 2、利用诱导公式，由余弦的和差角公式推导正弦的和差角公式难点突破：1、利用“导学案”问题的步步设置，使差角的余弦公式推导问题分散处理，在学生解决“导学案”所设置的问题的过程中，不知不觉的得出差角的余弦公式。 2、利用“导学案”对“利用诱导公式，由余弦的和差角公式推导正弦的和差角公式”的过程进行提示和引导，使学生有方向，有目的的进行公式的推导，并得出结论。课前准备：课前将导学案发给学生，让学生在导学案的引导下复习已有旧知识，预习本节课的新知识，并完成导学案上所设置的问题。要求学生完成导学案后，找出自己未能解决的问题并记录下来， 老师予以记录，解答。复习准备学生在导学案的引导下，自主复习三角函数定义，诱导公式，向量的数量积及同角三角函数的关系。（学生课前完成）教学流程：问题设置在导学案中设置问题情景，提高学生学习本节知识的兴趣。（学生课前完成）通过导学案，层层设置问题，使公式的推导过程逐层递进，使学生在解决问题的过程中体验公式的推导和论证过程。老师引导学生归纳总结出公式的特征，作用及记忆口诀。知识探究知识巩固通过例题的练和讲，使学生进一步熟悉公式及其简单应用。课时小结总结本节课所学的六个公式，及一般的解题思路。进一步检测学习的结果，使学生进一步熟悉，理解和记忆本节课所学知识。作业布置过程设计：§3.1 两角和与差的正弦，余弦和正切公式余弦的差角公式： 例题3：余弦的和角公式 解：正弦的和角公式正弦的差角公式正切的和角公式正切的差角公式 归纳小结： 作业：板书设计：课后反馈：课堂教学设计环节内容设计师生互动设计意图复习准备1.三角函数的定义：设α是任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么：，，2．同角三角函数的关系：3.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限如：， ，， 4.向量的数量积：; (模长形式) （坐标形式）学生根据导学案的引导，自主复习相关知识。培养学生自主学习的习惯问题设置我们在初中的时候，就已经知道，由此，我们能否得出大家可以猜想，是不是等于呢？在导学案中提出该问题，学生自主回答。提出问题，使学生对问题的结果产生猜想，提高学生学习本节课内容的兴趣知识探究1、差角的余弦公式推导：如图所示，任意角α的终边OP与单位圆相交于点P，根据三角函数的定义可知，点P的坐标是（用α表示），同样的，任意角β的终边OQ与单位圆相交于点Q，根据三角函数的定义，点Q的坐标是（用β表示），故向量，（填坐标），的夹角为，，由向量的数量积可知：1、在导学案中，层层设置问题。学生独立自主的解决导学案中所设置的问题。1、通过层层设置的问题，使差角的余弦公式的推导过程中的难点分散得到解决，使学生在解决问题的过程中不知不觉的体验用向量解决问题的过程。课堂教学设计环节内容设计师生互动设计意图知识探究 ①（模长形式） ②（坐标形式）由①②可得： ③又∵ （思考：为什么有这个等式）∴ ④由③④可得： （）此公式给出了任意角α，β的正弦，余弦值与其差角的余弦值之间的关系。称之为差角的余弦公式。简记为显然，有了公式以后，我们只要知道的值，就可以求得的值。若令，则有：即一个任意角的余弦可以表示为两个角的差的余弦，然后利用差角公式，可求此任意角的余弦值。2、和角的余弦公式推导：例如：求，的值，解：化简得：（ 和角的余弦 公式，简记为）思考1：是否可以看做其它角的差？等是否也可用类似方法求余弦值？思考2：观察余弦的和角公式与差角公式的特点，你能编一句口诀加以记忆吗？（提示：从公式中角的特点，函数的名称，以及符号的变化等方面进行思考归纳）记忆口诀： 可可塞塞，符号要改 1、在导学案中，层层设置问题。学生独立自主的解决导学案中所设置的问题。学生按照导学案上的提示，推导出问题的结论，同时得出和角的余弦公式思考1：学生课前思考，自己给出问题的结果并验证。思考2：学生课前归纳总结出自己的记忆口诀，老师上课时引导学生得出更合理的记忆口诀1、通过层层设置的问题，使差角的余弦公式的推导过程中的难点分散得到解决，使学生在解决问题的过程中不知不觉的体验用向量解决问题的过程。2、培养学生独立应用新知识的能力，推导和角的余弦公式。思考1：拓展学生的视野和思维 思考2：培养学生归纳概括能力，帮助学生分析公式特点，并结合记忆口诀记住公式课堂教学设计环节内容设计师生互动设计意图知识探究3、两角和与差的正弦公式推导：由诱导公式可知，余弦与正弦之间可以相互转化，那么，可以转化为，即：思考3：对此转化结果，若用余弦的差角公式展开化简，可以得到怎样的结果？答： （ 和角的正弦公式，简记为）同样的，我们也可以对做类似的转化，最终得出：（ 差角的正弦 公式，简记为）记忆口诀： 塞可可塞，符号要改 4、两角和与差的正切公式推导：思考4：由正切函数与正弦，余弦函数的关系可知：所以： 化简的： （ 和角的正切 公式，简记为）同法可得：（ 差角的正切 公式，简记为）记忆口诀： 上同下不同 5、两角和与差的正弦，余弦，正切公式的作用： 拆角，并角6、六个和角与差角公式的逻辑联系：思考5：通过上面的一系列推导，我们不难发现，这六个两角和与差的三角函数公式之间具有非常紧密的逻辑联系，这种联系可以用框图的形式表示出来，请根据3、学生课前在导学案的引导下，完成公式的推导过程，老师引导学生归纳概括出对应的记忆口诀。学生课前在导学案的引导下，完成公式的推导过程，并仿照正弦，余弦和差角公式的命名方式，为正切的和差角公式命名。5、老师引导学生归纳，概括出正切和差角公式的记忆口诀以及三角函数和差角公式的作用3、培养学生自主学习的能力，体会三角恒等变换通过类比余弦记忆口诀的归纳过程归纳正弦和差角公式的记忆口诀，培养学生知识迁移的能力。4.培养学生的自主学习的能力，体会三角恒等变换，为后续学习做铺垫。5，6：培养学生抽象概括，归纳总结的能力课堂教学设计环节内容设计师生互动设计意图知识巩固2、练习：练习1、利用和差角公式求值：（1） （2） （3）（3）（4）（5）（6）（7）练习2、已知 练习3、已知，求的值老师出示练习题，学生根据所学知识解决问题。对于个别题目，老师可作引导。通过练习，使学生进一步熟悉和使用公式解决问题课时小结两角和与差的正弦，余弦，正切公式两角和与差的正弦，余弦，正切公式之间有着密切的逻辑关系。解题的一般思路师生共同完成小结加深学生对新学知识的印象，使学生体会到有所获作业布置复习本节课所学知识，完成教材P137页，习题3.1（A组）第2，7，10题完成导学案后面的“学习评价”及“思考提高”学生自主完成，并上交，老师批改，给出评价。通过课后作业，检验学生对本节课知识的掌握层度，为下节课收集学情。课堂教学设计环节内容设计师生互动设计意图知识巩固下面框图中的提示，完善此框图。1、例题例题1、利用和差角公式，计算下列各式的值：（1） （3）（2） （4）解：（1）原式==（2）原式=（3）原式（4）原式=例题2、证明：证明： 例题3、已知求，的值。解： 6、学生课前通过以上的自主学习，归纳概括出六个两角和与差的三角函数公式之间的逻辑关系老师引导学生完成例题1老师引导学生完成例题2，并归纳出诱导公式是三角函数和差角公式的特例。老师引导学生思考问题，寻求解题方法使学生进一步熟悉新学知识，培养学生良好的“根据问题正确选择相关知识解决问题”的思维习惯 拓展学生的思维，使学生发现诱导公式与新知识之间的联系，以此使学生明白新学知识实际上是对旧知识的一个扩充。培养学生正确的“解题思维和习惯”