高中数学人教版新课标A必修42.5 平面向量应用举例教案

平面向量应用举例

一.教学目标：

1.知识与技能

（1）经历用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具.

（2）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识；发展运算能力和解决实际问题的能力.

2.过程与方法

通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化.

3.情感态度价值观

通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力.

二.教学重、难点

重点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.

难点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.

三.学法与教学用具

 学法：(1)自主性学习法+探究式学习法

       (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.

教学用具:电脑、投影机.

四.教学设想

【探究新知】

 [展示投影]

同学们阅读教材P116---118的相关内容思考：

1.直线的向量方程是怎么来的？

2.什么是直线的法向量？

【巩固深化，发展思维】

教材P118练习1、2、3题

[展示投影]例题讲评（教师引导学生去做）

例1．如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高，求证：AD、BE、CF相交于一点。

证：设BE、CF交于一点H，

= a, = b, = h,

则= h  a , = h  b , = b  a

∵,  

∴

∴

又∵点D在AH的延长线上，∴AD、BE、CF相交于一点

[展示投影]预备知识：

1.设P1, P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1, P2的任一点，存在实数λ，使=λ，λ叫做点P分所成的比，

有三种情况：

λ>0(内分)          (外分) λ<0 (λ<-1)     ( 外分)λ<0  (-1<λ<0)

注意几个问题：

①λ是关键，λ>0内分  λ<0外分   λ-1

若P与P1重合，λ=0    P与P2重合   λ不存在

②始点终点很重要，如P分的定比λ=  则P分的定比λ=2

2．线段定比分点坐标公式的获得：

设=λ  点P1, P, P2坐标为(x1,y1) (x,y) (x2,y2)

由向量的坐标运算

=(x-x1,y-y1)   =( x2-x1, y2-y1)

∵=λ 即(x-x1,y-y1) =λ( x2-x1, y2-y1)

∴  定比分点坐标公式

3.中点坐标公式：若P是中点时，λ=1 

中点公式是定比分点公式的特例。

[展示投影]例题讲评（教师引导学生去做）

例2.已知点①

②求点

解：①由

②由

例3.

上的一点，且求点G的坐标。

解：由D是AB的中点，所以D的坐标为

即G的坐标为 ————.重心坐标公式

例4.过点P1(2, 3),  P2(6, -1)的直线上有一点P，使| P1P|:| PP2|=3, 求P点坐标

解：当P内分时

当P外分时当得P(5,0)

当得P(8,-3)

例5.如图，在平面内任取一点O，设

，

这就是线段的定比分点向量公式。

特别当，当P为线段P1P2的中点时，有

例6.教材P119例2.

例7.教材P119例3.

例8.某人骑车以每小时a公里的速度向东行驶，感到风从正东方向吹来，而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向。

解：设a表示此人以每小时a公里的速度向东行驶的向量，

无风时此人感到风速为a，设实际风速为v，

那么此时人感到的风速为v  a，

设= a，= 2a

∵+= ∴= v  a，这就是感到由正北方向吹来的风速，

∵+= ∴= v 2a，于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是，

由题意：PBO = 45,  PABO, BA = AO

从而，△POB为等腰直角三角形，∴PO = PB =a  即：|v | =a

∴实际风速是a的西北风

【巩固深化，发展思维】

1.教材P119练习1、2、3题.

2.已知平行四边形ABCD的两个顶点为点为则另外两个顶点的坐标为        .        （

3.△ABC顶点A(1, 1), B(-2, 10), C(3, 7)  BAC平分线交BC边于D, 

求D点坐标             .                                 (1,)

 [学习小结]：略

 五、评价设计

1．作业：习题2.7 A组第1、2、3、4题．

2．（备选题）：①若直线与线段AB有交点，其中A（-2，3），B(3,2),求m的取值范围.

解：设l交有向线段AB于点P（x,y）且

则可得

由于设时，无形中排除了P,B重合的情形，要将B点坐标代入直线方程得

②已知O为△ABC所在平面内一点，且满足||2 + ||2 = ||2 + ||2 = ||2 + ||2，求证：．

证：设= a, = b, = c,

则= c  b, = a  c, = b  a

由题设：2 +2 =2 +2 =2 +2，

化简：a2 + (c  b)2 = b2 + (a  c)2 = c2 + (b  a)2 

得：  c•b = a•c = b•a

从而•= (b  a)•c = b•c  a•c = 0 

∴    同理：, 

六、课后反思：