人教版新课标A必修42.5 平面向量应用举例教案

第五教时

教材：实数与向量的积

目的：要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的充要条件。

过程：一、复习：向量的加法、减法的定义、运算法则。

二、1．引入新课：已知非零向量        作出++和()+()+()

==++=3

==()+()+()=3

         讨论：13与方向相同且|3|=3||

                     23与方向相反且|3|=3||

2．从而提出课题：实数与向量的积

        实数λ与向量的积，记作：λ

定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ

  1|λ|=|λ|||

2λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=

3．运算定律：结合律：λ(μ)=(λμ)                ①

第一分配律：(λ+μ)=λ+μ                    ②

第二分配律：λ(+)=λ+λ                ③

结合律证明：

如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则①式成立

如果λ0，μ0，有：|λ(μ)|=|λ||μ|=|λ||μ|||

|(λμ)|=|λμ|| |=|λ||μ|||

         ∴|λ(μ)|=|(λμ)|

如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与同向；

如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与反向。

       从而λ(μ)=(λμ)

第一分配律证明：

如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则②式显然成立

如果λ0，μ0，

当λ、μ同号时，则λ和μ同向，

∴|(λ+μ)|=|λ+μ|||=(|λ|+|μ|)||

|λ+μ|=|λ|+|μ|=|λ|||+|μ|||=(|λ|+|μ|)||

∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与同向

         即：|(λ+μ)|=|λ+μ|

当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λ同向

当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μ同向

还可证：|(λ+μ)|=|λ+μ|

∴②式成立

第二分配律证明：

如果=，=中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立

当，且λ0，λ1时

1当λ>0且λ1时在平面内任取一点O，

作       λ   λ   

则+     λ+λ

由作法知：∥有OAB=OA1B1    ||=λ||

∴λ    ∴△OAB∽△OA1B1     

      ∴λ AOB= A1OB1  

因此，O，B，B1在同一直线上，||=|λ|   与λ方向也相同

λ(+)=λ+λ   

当λ<0时 可类似证明：λ(+)=λ+λ  

∴ ③式成立

4．例一  （见P104）略

三、向量共线的充要条件（向量共线定理）

1．    若有向量()、，实数λ，使=λ   则由实数与向量积的定义知：与为共线向量

若与共线()且||：||=μ，则当与同向时=μ

                                                                当与反向时=μ

从而得：向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ

使=λ

2．例二（P104-105 略）

三、小结：

四、作业： 课本 P105 练习   P107-108 习题5.3   1、2