人教版新课标A必修42.5 平面向量应用举例教学设计

第一课时   2.5.1  平面几何中的向量方法

教学要求：理解向量加减法与向量数量积的运算法则;会用向量知识解决几何问题;能通过向量运算研究几何问题中点、线段、夹角之间的关系.

教学重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则.

教学难点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的意义和性质.

教学过程：

一、复习准备：

1.提问：向量的加减运算和数量积运算是怎样的?

2.讨论：① 若为的重心,则++=0

②水渠横断面是四边形,=,且|=|,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?

二、讲授新课：

1.教学平面几何的向量：

① 平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图： 平行四边行中，设＝，＝，则（平移），，（长度）．向量，的夹角为

② 讨论：（１）向量运算与几何中的结论＂若，则，且所在直线平行或重合＂相类比，你有什么体会？（２）由学生举出几个具有线性运算的几何实例．

③         用向量方法解平面几何问题的步骤（一般步骤）

（１）        建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量．

（２）        通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等．

（３）        把运算结果＂翻译＂成几何关系．

2.教学例题：

① 出示例1：求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．

分析：由向量的数量积的性质，线段的长的平方可看做相应向量自身的内积．

　　练习：已知平行四边形，＝，，且，试用向量表示、，并计算．，判断与的位置关系．

② 出示例2：如图，在中，，，，求证四边形为矩形

分析：要证四边形为矩形，只需证一角为直角．

③         练习：为的一条直径，为圆周角，求证

④         出示例３：在中，是的中点，点在边上，且，相交于点，如图，求．

⑤ 练习：求证平行四边形对角线互相平分．

3. 小结：向量加减法与向量数量积的运算法则；向量加减法与向量数量积的意义和性质.

三、巩固练习：

1. 已知平行四边形，在对角线上，并且，求证是平行四边形．
2. 求证：两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
3. 在平行四边形中，已知，对角线，求对角线的长．
4. 作业：书P125  2.

第二课时：2.5.2  向量在物理中的应用举例

教学要求：理解向量线性运算及数量积运算，会用向量知识解决物理问题.

教学重点：理解并能灵活应用向量线性运算及数量积的意义和性质.

教学难点：理解并能灵活应用向量线性运算及数量积的意义和性质.

教学过程：

一、复习准备：

1. 讨论: ①两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.

         ②在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力.

2. 提问: 类比物理元素之间的关系,你会想到向量运算之间有什么关系?

二、讲授新课：

1. 教学物理中的向量：

① 物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移都具有大小和方向，因而它们都是向量.

② 力、速度、加速度、位移的合成就是向量的加法,因而它们也符合向量加法的三角形法则和平行四边形法则. 力、速度、加速度、位移的分解也就是向量的分解,运动的叠加也用到了向量的加法.

③ 动量是数乘向量.

④ 力所做的功就是作用力与物体在力的作用下所产生的位移的数量积.

⑤ 用向量研究物理问题的方法:首先把物理问题转化成数学问题,即将物理量之间的关系抽象成数学模型,然后利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象.

⑥ 探究：学生举出几个关于力、速度、加速度、位移的例子.

2 .教学例题：

①       出示例1：某人在静水中游泳,速度为

(1)    如果他径直游向河对岸,水流速度为,那么他实际上沿什么方向前进?速度大小为多少?

(2)    他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度大小为多少?

(分析：解决此类行船问题的关键在于＂水速+船速=船实际速度”,注意到速度是一个向量,既有大小,又有方向.)

② 练习：某人在无风天气行走,速度为,如果他沿正北方向行走,东风的风速为,那么他实际沿什么方向前进?速度大小为多少?

②       出示例2：如图,用两根分别长的绳子将100N的物体吊在水平屋顶

上,平衡后G点距屋顶的距离恰好为,求A处受力的大小.

(分析：解决此类问题要先依题意将物理向量用有向线段来表示,利用向量加法的平行四边形法则,将物理问题转化为数学中向量加法,然后由已知条件进行计算.)

④ 练习：用两条成角的等长的绳子挂一个灯具,已知灯具的重量10N,则,每根绳子的拉力大小是多少?.

3. 小结：物理中的向量；用向量研究物理问题的方法.

三、巩固练习：

1. 静水中船的速度是每分钟40m,水水流的速度是每分钟20m,如果船沿着垂直水流的方向到达对岸,那么船行进的方向与河岸的夹角为_________.

2. 甲飞机从A城市向北飞行了,然后向东飞行;乙飞机从B城市向东飞行了,然后向北飞行,那么甲、乙两飞机飞行的位移相等吗?为什么?

3. 练习: 教材P125  1、2题.

4. 作业：教材P125  3、4题.