人教版新课标A必修41.2 任意的三角函数教案

教学

环节

教学内容

师生互动

设计意图

复

习

引

入

  角的概念

  初中学过的锐角三角

函数的定义

 教师运用多媒体展示在初中

学习的锐角三角函数的定义。

  师：前面我们学习了角的概念的推广和弧度制，今天我们在这些知识的基础上一起来学习任意角的三角函数。我们在初中已学习了锐角三角函数，下面先复习锐角三角函数的有关知识。

共同回顾，点明主题

概

念

形

成

概

念

形

成

概

念

形

成

1．用坐标的形式表示出初中所学的锐角三角函数：

  设点P (x,y)是锐角α终边上的任意一点，,点P到原点O的距离是r（）,

　　则用含x、y、r的式子表示角α的正弦、余弦、正切值分别是：
sinα=，cosα=，tanα=。

2．任意角的三角函数

（1）确立任意角α在直角坐标系中的位置；

以坐标原点为角α的顶点，以OX轴的正方向为角α的始边；

（2）在其终边上任取一点P(x,y)，设点P到原点的距离为r，OP =r（r≠0），根据三角形的相似知识得：

由此得 

（3）       三角函数定义如下：

叫做角α的余弦，记作cosα ,即cosα=；

  叫做角α的正弦，记作sinα，即sinα=；

    叫做角α的正切，记作tanα，即tanα=

角α的其他三种函数：

角α的正割：secα==

角α的余割：=

角α的余切： =

  1．以坐标原点为角α的顶点，以OX轴的正方向为角α的始边，则角α的终边落在直角坐标系的第一象限内，若点P (x,y)是角α终边上的任意一点，,点P到原点O的距离是r（）,试将角α的三角函数用x、y、r的式子表示出来。

学生作图，教师在此过程中要引导学生在坐标系中作出符合锐角三角函数定义要求的直角三角形。该过程中要适时指点学生，并加强学生与学生之间的讨论与流。

回答问题：教师通过多媒体将此过程展示给学生，明确坐标与三角函数的关系。

2．教师提出问题：

问题1：根据刚才我们在直角坐标系中讨论的锐角三角函数，你能给出任意三角的三角函数定义吗？

教师一边鼓励学生大胆说出自己的想法，一边组织学生讨论，并及时肯定。

回答问题：

通过鼓励和肯定一些好的想法，让一位能代表大多数意见的学生主动说出自己对任意角三角函数的定义。

问题2：角α的三角函数值不受终边上的点P的位置的影响吗？

这是一个较有思考价值的问题，教师要注意正确地引导和必要地提示，锐角三角函数的大小仅与锐角的大小有关，与直角三角形的大小无关。类似地……（留给学生思考）教师边引导，边结合多媒体演示。

问题3.依据函数的定义,这几个比值可以分别构成函数吗?若能构成,它们的自变量是什么? X还是y? r还是角α?

1、  将初中定义的锐角三角函数放到坐标系中讨论，指明研究函数问题的工具，完成从三角形到坐标系的转化，为后面在直角坐标系中定义任意角的三角函数搭建平台。

2、通过对比，让学生对知识进行类比、迁移及联想，树立他们勇于探索的信心。

   通过分组讨论，加强学生间的交流与合作，充分发挥学生学习的主动性。

概

念

深

化

概

念

深

化

1．     角是“任意角”，当β=2kπ+α(k∈Z)时，β与α的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值都相等。

2．     定义中只说怎样的比值叫做α的什么函数，并没有说α的终边在什么位置（终边在坐标轴上除外），即函数的定义与α的终边位置无关。实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。

3．     三角函数是以“比值”为函数值的函数。

4．     对于正弦函数sinα=,因为r>0，所以恒有意义，即α取任意实数，恒有意义，也就是说sinα恒有意义，所以正弦函数的定义域是R；类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切函数tanα, 因为x=0时，无意义，又当且仅当α的终边落在y轴上时，才有x=0，所以当α的终边落不在y轴上时，恒有意义，即tanα恒有意义，所以正切函数的定义域是{α∣α≠kπ+（k∈K）}

从而有y=sinα, α∈R

      y=cosα, α∈R

      y=tanα ,

α≠kπ+（k∈K）

  对于第1到第3点教师要点拨,学生思考.对于第4点教师提出问题：谈到函数，定义域要先行。在此，对三角函数的定义域要进一步明确，确定三角函数的定义域的依据是任意三角函数的定义。三角函数是以角为自变量的函数，如何去确定这些函数的定义域（即限定角的变化范围）？它们的定义域是什么？

  由学生讨论回答。

1、让学生明确定义是对任意角而言的，OP是角α的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角α是任意的。

2、  使学生明确任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别。任意角的三角函数包含锐角三角函数。实质上锐角三角函数的定义与任意角的三角函数定义是一致的，锐角三角函数定义是任意角三角函数定义的特例。所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数定义是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的。

3、让学生掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域。

使学生进一步巩固和应用所学知识。

应

用

举

例

例1           已知角α的终边过点

P（2，－3），求α的其他三角函数值。

例2           求下列各角六个三角函数值：

（1）0；

（2）π

（3）

   学生板演，教师对学生在解题思路和规范方面进行指导。

让学生巩固六种三角函数的概念，感受三角函数的定义在三角函数求值中的应用。

熟记0到2π范围内的某些特殊角的三角函数值。

归

纳

小

结

1．  知识：三角函数的定义及其定义域。

2．  数学思想方法：数形结合思想；类比法。

   学生反思本节内容，对知识进行总结，教师对思想方法进行提炼。

让学生学会学习，学会反思，学会总结，重视数学思想方法在分析问题和解决问题中的作用。

布

置

作

业

 层次一：教材练习A，1―3

层次二：教材习题1―2A，1，2。

层次一的题目要求所有学生完成，层次二的题目要求中等以上水平以上的学生完成。

使学生进一步巩固和应用所学知识。