2020-2021学年1.2 任意的三角函数教案

这是一份2020-2021学年1.2 任意的三角函数教案，共6页。
科目数学课题  任意角的三角函数教材分析重点1．  任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；2．  终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）。难点1．任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；2．正弦、余弦、正切这三种三角函数的几何表示。关键点1．  使学生掌握单位圆的概念；2．  了解三种线段的正、负与坐标轴的正、负方向之间的对应；3．  这三种有向线段（的数量）与三种三角函数值之间的对应。教学目标知识目标1．  掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），理解余切、正割、余割的定义；2．  了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切、函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；3．  掌握并能初步运用公式一。能力目标树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数。情感目标  课时安排2课时教法启发式教学教学设备 教与学过程设计具体见下教学后记应简略的介绍正弦、余弦函数的取值范围，为以后作准备。 教与学过程设计第一课时 任意角的三角函数（一）（一）新课引入提问：锐角O的正弦、余弦、正切、余切怎样表示？答：根据图形，手势比划。引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。如果现在要求的值，怎么办？还能不能用直角三角形来求？显然，不能再用初中的定义，因为，这里没有直角三角形，也就没有什么对边、邻边和斜边。那么，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？ （二）新课1．任意角的三角函数的定义在上述三角形上画上直角坐标系。此时，∠POM的对边，邻边分别是什么？斜边呢？将P点改写成坐标形式，P的坐标是（x，y），它与原点的距离是），然后写出三个三角函数的定义。我们定义：（1）比值叫做α的正弦，记做sinα即 sinα=；（2）比值叫做α的余弦，记做cosα即 cosα=；（3）比值叫做α的正切，记做tanα  即 tanα=.说明：这样定义以后，（1）当α是锐角时，此定义与初中定义相同。（指出对边，邻边，斜边所在）（2）当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，就必然可以在终边上取点P（x，y），从而就必然能够算出P到原点的距离r，最终就可算出三角函数。(用第三象限角示范，可能避免寻找对边的误区)所以现在大家可以完全抛开对边、邻边、斜边的概念，用我们现在新的坐标定义来研究三角函数。（3）注意，三角函数的值与点P在终边上的位置无关，（可在锐角的情形下任取两点P和P/，由三角形的相似形知各类比值不变）。追问：那三角函数的值与什么有关？答：仅与角的大小有关。（可考察30度角和45度角的三角函数值）所以，三角函数是角的函数，又因为角与实数成一一对应，故三角函数也是实数的函数。例1  已知角α的终边经过点P（2，-3）（如图），问角α为第几象限角？并求α的三个三角函数值。注意：体会三角函数的符号（问为什么会出现负号？）并说明三角函数值不一定是正的。练习1 已知角α的终边经过点P（-1，-1），说出角α在什么象限，并求出角α的三个三角函数值。处理：A、学生练习。B、练习讲评后问，若角α满足0~360°，则此题的角α是多少度？（答225°）除正弦、余弦、正切三种三角函数外，下面再介绍三种三角函数。（以与前三种三角函数的倒数关系来说明）（4）比值叫做α的余切，记作cotα，即cotα=；（5）比值叫做α的正割，记作secα，即secα=；（6）比值叫做α的余割，记作cscα，即cscα=.师：以上六种函数统称为三角函数。不过，在实际操作过程中，我们更多的是运用前面三种三角函数，因此大家着重掌握前三种三角函数。练习2 求出例1、练习1的另外三个三角函数值。练习3 P19练习1 三角函数的符号（1）       从刚才的例题和练习中，我们已经发现三角函数并不永远为正值，那么，何时为正？何时为负？为什么？（2）       画直角坐标系，先复习各象限的点的纵横坐标的符号。（3）       教师示范写出正弦的符号。（4）       师生共同写出余弦的符号。（5）       学生写出其余正切函数的符号。（6）       要求学生在理解的基础上记忆。（7）       其余三种三角函数值是这三种的倒数，故符号相对应一致。（8）  例2  P18，例3  确定下列三角函数值的符号（1）cos2500； （2）sin(-)； （3）tan(-6720)； （4）tan处理：教师示范（1），学生尝试其余，然后校对。（9）练习：P19，T3，4处理：T3口答，T4板演。例3     求下列各角的六个三角函数值：（1）0；  （2）；  （3）处理：师生共解，教师板演。说明：熟悉三角函数定义，并由此引出对三角函数定义域的探讨。3．三角函数的定义域（1）三角函数既然是函数，那么就要考虑其定义域，请对照三角函数的定义，考虑其定义域。（2）教师示范考虑正弦，学生考虑余弦。（3）学生讨论正切，教师予以评价。（4）学生独立考虑余切，正割，余割。（5）教师列表总结。要求学生结合定义与角的位置予以记忆。例4   求证角β为第三象限角的充分必要条件是练习：P19第5（1）（3）题（口答）4．诱导公式一问题：求sin3900,sin(-3300)的值。根据三角函数定义，在坐标系内分析得到，它们的值与sin300的值相等。追问：什么原因使这三个值相等？（终边相同）师：那我们可以猜想至少还有哪些角与sin300,sin3900,sin(-3300)的值相等，随便举两个。很好，现在大家是不是可以自己得出某一个结论？       sin(300+k*3600)=sin300（k∈Z）推广：得出诱导公式一追问：能将此公式用文字语言表达出来吗？（终边相同的同一三角函数的值相等）师：可不可以将此公式用弧度制表示？注意：三角函数里，共有五组诱导公式，这是第一组，它们的主要作用是将任意角的三角函数化简到00～3600的三角函数。  例5  P19  例5 求下列三角函数值：（1）sin1480010’；（2）cos；（3）tan(-)练习4 P19  练习6（三）小结1．  六个三角函数的定义；2．  三角函数值在各象限内的符号；3．  三角函数的定义域；4．  终边相同的角的同一三角函数值相等，即诱导公式一。（四）作业1．课本P20 习题4.3 第3，4，5，6，7，8，10题2．预习三角函数的几何表示                                第二课时 任意角的三角函数（二）（一）复习引入1、   三角函数的定义。（竖着书写，为后面的定义域留下空间）2、   三角函数在各象限角的符号。（在坐标平面上口答）3、   三角函数在轴上角的值。（在坐标平面上口答）4、   诱导公式（一）：终边相同的角的同一三角函数的值相等。（板书）5、   三角函数的定义域。要求：记忆。并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析。并要求在理解的基础上记死。（二）新课（单位圆）1．引入：角是一个图形概念，也是一个数量概念（弧度数）。作为角的函数——三角函数是一个数量概念（比值），但它能不能也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？答案是肯定的。2．（边描述边画），以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆。（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）当角α为第一象限角时，则其终边与单位圆是否必有一个交点P（x，y），过点P作PM⊥x轴交x轴于点M，则请你观察，（1）       sinα将等于什么？（提示，因为圆是单位圆，所以半径r=1）（2）       随着α在第一象限内转动，MP是否也跟着变化？而它的长度值是否永远等于sinα？（3）       MP就是sinα的几何表示，也叫做正弦线。（4）       请问，你能找到余弦线吗？（师生共同探讨，最终确定OM是余弦线）（5）       请问，你能找到正切线吗？（发现在单位圆内部不可能，教师启发作切线，最终确定AT是正切线）3．但是，当α是第二象限角时，这几条线是否还存在？是否还能表示正弦值？余弦值和正切值？（1）教师再画一个单位圆，并作出第二象限角，也画出MP，OM，学生将发现，出现负值问题。（2）我们知道，线段是正值，但三角函数却有正数、负数和零，怎样用线段来表示正负数呢？通常的方法是，将线段规定一个方向，使得一个方向为正，另一个方向为负。这里，我们就规定，与坐标轴的方向一致的为正，与坐标轴方向相反的为负。那么，此时，线段OM是正还是负？（注意，线段OM是指从O到M）（3）此时，正切线在那里？（教师提示，既然是另画一条，就不一定画在x轴的负半轴，而直接在原位与α角的终边的反向延长线相交即得。（注意从比值与符号两方面与定义比较）4．完整叙述单位圆与三角函数线。（1）现在，我们已经得到三角函数的几何表示法了，其具体步骤如下：A：画单位圆，B：设α的终边与单位圆交于点P，作PM⊥x轴于M，则有向线段MP是正弦线。C：有向线段OM是余弦线。D：设单位圆与x轴的正半轴交于点A，过点A作垂线与角α的终边（或其反向延长线）交于点T，则有向线段AT就是正切线。（2）旋转角α，分别就四个象限角、轴上角的情况考察三角函数线的变化情况，从定义和方向两个方面理解三角函数线。 5．例题和练习：（1）P15，T1（1）、（4）处理：师生共解。目的：学习三角函数线的画法（2）P15，T1（2）、（3）处理：学生练习。目的：巩固三角函数线的画法。（3）提问：如果你的手中没有计算器，也没有数学用表，如何求得sin15°的值？处理：学生讨论。目的：体会三角函数线的用处和实质。结论：三角函数线就是用几何方式表示三角函数值，所以，一旦我们画出了某一个角的三角函数线，其实也就求得了这个角的三角函数值。（4）练习：P15，T2。注意，此处的单位圆的半径不是1，故三角函数值要求比值。（5）练习：P20，T1。目的：进一步理解单位圆与三角函数线。（6）       补充：若，试比较α，sinα， tanα的大小。解：作单位圆及三角函数线                    y显然：AT=tanα，MP=sinα，AP=α                    T而S△OPM<S扇形OPA<S△OTA                               P   故PM<AP<AT   故sinα<α<tanα                      O    M   A x 目的:进一步体会单位圆的解题妙用,提高学习的兴趣.二、小结：1、  定义、定义域、（几何表示）三角函数线、象限角的符号，轴上角的值，诱导公式。2、  方法：数形结合，定义出发，记死公式。（不是死记公式）三、作业：1、  复习：4.32、  作业本：P20，T23、   每课一练：4.3（一）、（二）