高中数学1.2 任意的三角函数教学设计

备课资料

1  一、一个三角不等式的证明

已知θ∈(0,),求证:sinθ<θ<tanθ.

图13

证明:如图13,设锐角θ的终边交单位圆于点P,过单位圆与x轴正半轴的交点A作圆的切线交OP于点T,过点P作PM⊥x轴于点M,则MP=sinθ,AT=tanθ,的长为θ,连结PA.

∵S△OPA<S扇形OPA<S△OAT,

∴·｜OA｜·｜MP｜<｜OA｜2·θ<｜OA｜·｜AT｜.

∴|MP|<θ<|AT|,则MP<θ<AT,即sinθ<θ<tanθ.

二、备用习题

1.若<θ<,则sinθ,cosθ,tanθ的大小关系是(    )

A.tanθ<cosθ<sinθ                                  B.sinθ<tanθ<cosθ

C.cosθ<tanθ<sinθ                                  D.cosθ<sinθ<tanθ

2.若0<α<2π,则使sinα<和cosα>同时成立的α的取值范围是(    )

A.(,)                                            B.(0,)

C.(,2π)                                             D.(0,)∪(,2π)

3.在(0,2π)内,使sinx>cosx成立的x的取值范围是_______.

4.如图14,点B、C在x轴的负半轴上,且BC=CO,角α的顶点重合于坐标原点O,始边重合于x轴的正半轴,终边落在第二象限,点A在角α的终边上,且有∠BAC=45°,∠CAO=90°,求sinα,cosα,tanα.

图14

5.求函数y=+lg(25-x2)的定义域.

6.设0<β<α<,求证:α-β>sinα-sinβ.

7.当α∈［0,2π)时,试比较sinα与cosα的大小.

参考答案:

1.D  2.D

3.(,)

4.解:∵AB是∠CAO的外角的平分线,∴==.

在Rt△ACO中,设AC=a,则AO=2a,CO=,∴sin∠CAO==.

∵角α的终边与OA重合,而OA落在第二象限,

∴sinα=,cosα=,tanα=.

5.x∈(-5,］∪［,］∪［,5).

6.解:如图15,设单位圆与角α,β的终边分别交于P1,P2,作P1M1⊥x轴于M1,作P2M2⊥x轴于M2,

图15

作P2C⊥P1M于C,连结P1P2,则

sinα=M1P1,sinβ=M2P2,α-β=,

∴α-β=>P1P2>CP1=M1P1-M1C=M1P1-M2P2=sinα-sinβ,

即α-β>sinα-sinβ.

图16

7.解:如图16.

(1)当0≤α<时,设角α的终边与单位圆交于点P1(x1,y1),此时x1>y1,而sinα=y1,

cosα=x1,

∴cosα>sinα.

(2)当α=时,x1=y1,此时sinα=cosα.

(3)当<α≤时,设角α的终边与单位圆交于点P2(x2,y2),此时y2>x2,而sinα=y2,

cosα=x2,

∴sinα>cosα.

(4)当<α≤π时,sinα≥0,cosα<0,∴sinα>cosα.

(5)当π<α<时,设角α的终边与单位圆交于点P3(x3,y3),此时x3<y3<0,而sinα=y3,

cosα=x3,

∴sinα>cosα.

(6)当α=时,有sinα=cosα.

(7)当<α≤时,设角α的终边与单位圆交于点P4(x4,y4),此时y4<x4<0,而sinα=y4,cosα=x4,∴sinα<cosα.

(8)当<α<2π时,cosα≥0,sinα<0,

∴cosα>sinα.

综上所述,当α∈(,)时,sinα>cosα;

当α=或时,sinα=cosα;

当α∈［0,)∪(,2π)时,sinα<cosα.

(设计者：房增凤)