必修41.3 三角函数的诱导公式教学设计

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

复习引入

1、  复习我们已经研究了的正弦函数、余弦函数的图象和性质

2、  复习单位圆的正切线。

3、  利用正切函数与正弦、余弦函数存在商数关系，知道正切函数的周期π。

研究正切函数的和性质只须研究其一个周期里的图象和性质即可.那么如何选择这个周期的左右端点呢？类比正弦、余弦函数图象的画法，你能否画出正切函数的图象呢？

教师提出提出问题，学生回答。

从已有的知识出发，发现新知。通过对正切线的复习为研究正切函数的图象做好准备。

一、正切函数的图象

1、根据正切函数的定义域：，我们常常选择这一周期研究正切函数的图象。

2、做正切函数图象的步骤：

①作直角坐标系，并在直角坐标系 轴左侧作单位圆．

②把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线．

③找横坐标（把 轴上 到 这一段分成8等份）．

④找纵坐标，正切线平移．

⑤连线．

根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数，且的图象，称“正切曲线”

可以看出，正切曲线是由通过点且与y轴互相平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成。

二、正切函数的性质 

1、   定义域：，

2、   值域：R 

观察：当从小于，时，

 当从大于，时，。

3、   周期性：

4、   奇偶性：奇函数。

5、单调性：在开区间内，函数单调递增。

1、让学生类比正弦、余弦函数图象的画法，首先讨论画正切函数图象的步骤，然后自己动手尝试画出正切函数的图象。

2、教师通过演示课件，进一步明确画图的步骤，展示一个周期内正切曲线是如何得到的。

3、由正切函数的周期性，通过图象的平移，进而得到其它区间内的图象。

要特别注意观察分析直线是此图象的两条渐近线。

引导学生观察，共同获得

三角函数线的主要意义在于用一个圆中的线段直观地展现了三角函数值的变化规律.

正切曲线的作法，主要体现了对应思想和等价转化的思想，要很好地感受.

函数的定义域表明了函数的图象为什么是夹在两条平行线之间的无穷多支曲线组成.

这些平行线都是正切曲线的渐近线

巩固研究函数性质的一般方法：通过图象研究函数的性质。

训练学生观察、分析图形的能力。

应用举例

例1、不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：

　　　　（1） 与 ；

　　　　（2） 与 ．

　　　　解：（1）∵

　　　　又 ∵ ，在 上是增函数

　　　　∴

（2）∵  

　　　　又 ∵ ，函数 ， 是增函数，

　　　　∴ 即 ．

例2、用图象解不等式

（对于基础较好的学生可以改编为：）

解：利用图象知，所求解为

亦可利用单位圆求解

例3、求函数的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性。

解：定义域：

值域：R       周期为π  非奇非偶函数

在上是增函数。

变式1：求函数的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性。

变式2：求函数的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性。

例4、求函数的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性。

解：由得，

              所求定义域为  

值域为R，周期，是非奇非偶函数。

在区间上是增函数。

学生自己独立完成，教师适当时候点拨。

（对于基础较好的学生可以提问：的图象是如何由的图象得到的？

图象可看作是的图象向左平移单位）

比较两个正切型实数的大小，关键是把相应的角诱导到 的同一单调区间内，利用 的单调递增性来解决．

巩固正切函数的图象，利用正切函数的图象求自变量的取值范围。

关于例3，研究复合函数的性质时，要灵活运用基本函数的性质.

例3的变式的教学可根据学生的基础水平和课堂实际调节.

归纳小结

（1） 的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得 上图像后，再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。

（2） 性质．

3、数学思想方法：

数形结合的数学思想

类比的思想方法

从方法和知识等几方面小结，培养学生学会总结的思维习惯，重视数学思想方法在分析和解决问题中的作用。

布置作业

P56练习A　V1，2，3，4，5