高中3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性教案

3．3  二元一次不等式组与简单的线性规划问题

第一课时   二元一次不等式（组）与平面区域

一、教学目标

（1）知识与技能：了解二元一次不等式组的相关概念，并能画出二元一次不等式（组）来表示的平面区域

（2）过程与方法：本节课首先借助一个实例提出二元一次不等式组的相关概念，通过例子说明如何用二元一次不等式（组）来表示的平面区域。始终渗透“直线定界，特殊点定域”的思想，帮助学生用集合的观点和语言来分析和描述结合图形的问题，使问题更清晰和准确。教学中也特别提醒学生注意表示区域时不包括边界，而则包括边界

（3）情感与价值：培养学生数形结合、化归、集合的数学思想

二、教学重点、教学难点

教学重点：灵活运用二元一次不等式（组）来表示的平面区域

教学难点：如何确定不等式表示的哪一侧区域

三、教学设计

（一）引例：一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业和个人贷款，希望这笔贷款至少可带来30000元的收益，其中从企业贷款中获益12﹪，从个人贷款中获益10﹪。那么，信贷部应如何分配资金呢？

提问：

1．这个问题中从在一些不等关系，我们应该用什么不等式模型来刻画它们呢？

2．设用于企业贷款的资金为元，用于个人贷款的资金为元，由于总资金为25000000元，得到：     ①

3．由于计划从企业贷款中获益12﹪，从个人贷款中获益10﹪，共创收30000元以上，

所以（12﹪）+（10﹪）

4．企业和个人贷款不能为负，所以

解:分析题意,我们可得到以下式子

（二）概念

1、二元一次不等式：

  我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式。

2、           我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。

3、满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x,y),所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集.

注意：有序实数对可以看成直角坐标平面内点的坐标.于是, 二元一次不等式(组)的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合.

例如二元一次不等式的解集为

（三）问题: 二元一次不等式所表示的图形?

在直角坐标系中,所有点被直线分成三类:

一类是在直线上;        二类是在直线左上方的区域内的点;

三类是在直线右下方的区域内的点.

尝试：设点P是直线上的点,任取点A,使它的坐标满足不等式,在图中标出点P和点A.

观察并讨论

我们发现,在直角坐标系中,以二元一次不等式的解为坐标的点都在直线的左上方;

反之,直线左上方点的坐标也满足不等式.

因此,在直角坐标系中,不等式表示直线左上方的平面区域.

类似地, 不等式表示直线右下方的平面区域.我们称直线为这两个区域的边界.将直线画成虚线,表示区域不包括边界.

结论：1、一般地, 在直角坐标系中,二元一次不等式表示某侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线,表示区域不包括边界.

而不等式表示区域时则包括边界,把边界画成实线.

      2、二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法，即画线---取点---判断。当 时，常把原点（0，0）作为测试点。

（四）举例分析

例1、画出表示的平面区域（见教材第94页例1）

分析：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。

特别是，当 时，常把原点（0，0）作为测试点。

例2、画出表示的平面区域

例3、用平面区域表示不等式组的解集

分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。

练习：1、教材P86面练习1、2、3题

2、画出不等式组表示的平面区域并求该区域的面积。

3、画出表示的平面区域

（五）小结：

（1）懂得画出二元一次不等式在平面区域中表示的图形

（2）注意如何表示边界

（六）作业：《习案》第二十六课时

第二课时  二元一次不等式(组)与平面区域 （二）

一、教学目标

（1）知识与技能：懂得将实际问题转化为线性规划问题

（2）过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第二节课，学生已经学会了如何画出一元二次不等式(组)所表示的平面区域.这节课主要是通过实际生活中的例子提供给学生应用数学的实践机会。教师要善于引导学生思维,调动学习兴趣,让他们乐学并巧学,真切体会到数学在生活中的妙用.针对本堂课的特点,采用多媒体教学可更好地促进教学双赢

（3）情感与价值：培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力，加强学生之间的合作互助精神,并从数形结合中得到辨证唯物主义的思想教育

二、教学重点、教学难点

教学重点：探讨如何将实际问题转化为线性规划问题

教学难点：如何将实际问题转化为线性规划问题

三、教学过程

（一）复习引入

画出下列不等式组所表示的平面区域：     

解：不等式表示直线及其下方的平面区域；

不等式表示直线上方的平面区域；

因此，这两个平面区域的公共部分就是原不等式组所表示的平面区域

（二）探究新知

例1、某人准备投资1200万元兴办一所完全学校，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）分别用数学关系式来表示上述限制条件

解：设开设初中班x个，高中班y 个，根据题意，

总共招生班数应限制在20到30之间，所以有

考虑到所投资金的限制，得到 即

另外，开设的班数不能为负，则 

    根据限制条件画出图形  （略）

例2、教材P85面例3

例3、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t 、硝酸盐18 t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t 、硝酸盐15 t。现库存磷酸盐10t 、硝酸盐66 t，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。

解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：

   在直角坐标系中画出平面区域。

 总结：学生分组讨论后，对结果进行汇总时，老师要对学生展示的成果进行点评，针对学习过程中出现的常见错误给予指正。

（三）练习：1、P86面第4题

2、本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。

解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，总收益为元，

由题意得

3、若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（C ）

Ａ．  Ｂ．  Ｃ．  Ｄ．或

（四）小结：

解线性规划的应用题时，（1）认真分清题意，将题目条件准确地转化为二元一次方程组，

（2）根据不等式组画出平面区域

（五）作业：