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初中数学人教版八年级下册19.2.3一次函数与方程、不等式优质课教学ppt课件
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这是一份初中数学人教版八年级下册19.2.3一次函数与方程、不等式优质课教学ppt课件，共30页。PPT课件主要包含了教学目标，新课导入，x－10，新知探究，知识归纳，从形的角度看，从数的角度看，x-5，方法二，图象法等内容，欢迎下载使用。
1.理解一次方程、一元一次不等式与一次函数的转化关系及本质联系 , 掌握用图象求解方程、不等式的方法 ;（重点）2.根据一次函数的图象求解方程和不等式 .（难点）
问题①：解方程2x+20=0
问题②：当x为何值时 , 函数y=2x+20的值0 ?
问题③：画出函数y=2x+20的图象 , 并确定 它与x轴的交点坐标 ;
问题④：问题① ②有何关系 ? ① ③呢 ?
当x=－10时 , 函数y=2x+20的值0.
问题③：画出函数y=2x+20 的图象 , 并确定 它与x轴的交点坐标 ;
问题①与问题②可以看作是同一个问题的两种形式 .
问题① ②是从数的角度看 , 问题③是从图形的角度看 .
直线y=2x+20与x轴的交点坐标为(-10 , 0) .
由于任何一个一元一次方程都可化为ax+b=0（a , b为常数a≠0）的形式 , 所以解一元一次方程可以转化为：“求一次函数y= ax+b( a≠0）的值为0时相应的自变量的值.” 从图象上看 , 这又相当于“求直线y= ax+b 与x轴的交点的横坐标”.
例1 : 一个物体现在的速度是5米/秒 , 其速度每秒增加2米/秒 , 再过几秒它的速度为17米/秒 ?
解法1：设再过x秒它的速度为17米/秒 ,
由题意得 , 2x+5=17 ,
解得 x=6 .
答：再过6秒它的速度为17米/秒 .
解法2：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数 : y=2x+5 .
由2x+5=17得 , 2x－12=0 ,
由右图看出直线y=2x－12与x轴的交点为(6 , 0) , 得x=6 .
例1 : 一个物体现在的速度是5米/秒 , 其速度每秒增加2米/秒 , 再过几秒它的速度为17米/秒 ?
解法3：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数 : y=2x+5 .
由右图可以看出当y =17时 , x=6 .
求ax+b=0（a≠0）的解
x为何值时 , y=ax+b的值为0？
确定直线y=ax+b与x轴交点的横坐标
我们知道 , 一次函数的图象是一条直线 .
作出一次函数 y= 2x -5 的图象如右 ,
观察图象回答下列问题 :
(1) x 取哪些值时 , y=0 ?
(2) x 取哪些值时 , y>0 ?
x > 2.5 时 , y > 0 ;
x = 2.5 时 , y= 0 ;
(3) x 取哪些值时, y<0 ?
x < 2.5 时 , y < 0 ;
(4) x 取哪些值时 , y>3 ?
x > 4 时 , y > 3 ;
能否将上述 “关于函数值的问题” 改为 “关于x 的不等式的问题” ?
将“一次函数值的问题”改为“一次不等式的问题”
作出一次函数 y = 2x - 5 的图象如右 ,
(1) x 取哪些值时, y =0 ?
(2) x 取哪些值时, y >0 ?
(3) x 取哪些值时, y <0 ?
(4) x 取哪些值时, y >3 ?
所以 , 将(1)～(4) 中的 y 换成 2x-5 ,
则 , 原题“关于一次函数的值的问题”
就变成了“关于一次不等式的问题”.
如果 y= -2x-5 , 那么当 x 取何值时 , y>0 ?
你解答此道题 , 可有几种方法 ?
-2x- 5 > 0 ;
< -2.5时 y>0 .
用“函数图象法”及“解不等式法”解函数问题
任何关于x的一元一次不等式都可以化成ax+b>0或ax+b<0的形式 . 因此 , 解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时 , 求x的取值范围 . 或者在函数y=ax+b图象上找出纵坐标大于0或小于0的部分 , 看这些点的横坐标满足什么条件 .
可以看出 , 当x<2时这条直线上的点在x轴的下方 ,
解 : (方法一）化简得3x-6<0 , 画出直线y=3x-6 ,
即这时y=3x-6<0 , 所以不等式的解集为x<2 .
例2：用画函数图象的方法解不等式5x+4<2x+10 .
(方法二) : 将原不等式的两边分别看成两个一次函数 ，画出直线y1=5x+4与直线y2=2x+10的图像 ，
可以看出 ，它们交点的横坐标为2 ，
当x＜2时 ，对于同一个x ，直线y1=5x+4上的点在直线y2=2x+10上相应点的下方 ，这时5x+4 ＜ 2x+10 ，所以不等式的解集为x＜2 .
(1)对于方程2x+5y =8如何用x表示y ?
(3)一次函数的图象是一条直线 ,
y = .
(2)是不是任意的二元一次方程都能进行这样的转化呢 ?
对于直线上每个点的坐标(x , y) , 那么 x , y 是不是对应方程的解呢 ?
一般地 , 因为每个含有未知数x和y的二元一次方程 , 都可以改写成y=ax+b的形式 , 所以每个这样的方程都对应一个一次函数 , 于是也对应一条直线 , 这条直线上每个点的坐标(x , y)都是这个二元一次方程的解 . 同样 ,任意一个二元一次方程组都对应着两个一次函数和两条直线 , 这两条直线的交点坐标是该二元一次方程组的解 .
例3：1号探测气球从海拔 5m 处出发 , 以 1m/min 的速度上升 . 与此同时 , 2号探测气球从海拔 15m 处出发 , 以0.5 m/min 的速度上升 . 两个气球都上升了 1h . (1)用式子分别表示两个气球所在位置的海拔y(单位:m)关于 上升时间x(单位:min)的函数关系 ;
解:(1)两个气球所在位置的海拔高度y(m)与上升时间x(min)的 函数关系分别是: 1号气球 : y=x+5 ; 2号气球 : y=0.5x+15 . 自变量x的范围是0≤x≤60 .
追问 : “在某个时刻两个气球位于同一高度” 说明它们两个函数关系式中的x和y的值要满足什么关系 ? 如何求出x和y的值 ?
在某时刻两个气球位于同一高度 , 就是说对于x的某个值 , 函数y=x+5和y=0.5x+15有相同的值y . 由此容易想到解二元一次方程组 .
(2)在某个时刻两个气球能否位于同一高度 ? 如果能 , 这时气球上 升了多长时间 ? 位于什么高度 ?
解:(2)由题意得 解得 当上升 20min 时 , 两个气球都位于海拔 25m 的高度 .
想一想：在同一直角坐标系中 , 画出一次函数y=x+5和y=0.5x+15的 图象 , 观察这两条直线有交点吗 ? 并思考 : 交点坐标是不 是的解 ? 为什么 ?
这两条直线的交点为(20 , 25) , 说明当上升 20min 时 , 两个气球都位于海拔 25m 的高度 . 也就是说交点坐标也就是方程组 的解 .
从“数”的角度看 : 解二元一次方程组, 相当于求自变量为何值时两个函数的函数值相等 , 以及这个函数值是多少 . 从“形”的角度看 : 解二元一次方程组 , 相当于确定两条相应直线的交点 .
例4： 某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元 , 销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元 . (1) 求每台A型电脑和B型电脑的销售利润 ;
解:(1) 设每台A型电脑的销售利润为a元 , 每台B型电脑的销售利润为b元 , 则有: 解得 即每台A型电脑的销售利润为100元 , 每台B型电脑的销售利润为150元 .
②根据题意 , 得100-x≤2x , 解得x≥ . ∵ y=-50x+15000中 , -50<0 , ∴ y随x的增大而减小 . ∵ x为正整数 , ∴当x=34时 , y取得最大值 , 此时100-x=66 . 即商店购进A型电脑34台 , B型电脑66台 , 才能使销售总利润最大 .
(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台,其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍 . 设购进A型电脑x台 , 这100台电脑的销售总利润为y元 . ①求y关于x的函数关系式 ; ②该商店购进A型、B型电脑各多少台 , 才能使销售总利润最大 ?
解：①根据题意 , 得y=100x+150(100-x),即y=-50x+15000 .
(3)实际进货时 , 厂家对A型电脑出厂价下调m(00 , y随x的增大而增大 . ∴x=70时 , y取得最大值 . 即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑才能获得最大利润 .
一次函数与方程、不等式：
求方程ax+b=0(a, b是常数,a≠0)的解 .x为何值时 , y=ax+b的值为0 .求直线y= ax+b与x轴交点的横坐标 .
求不等式ax+b>0(a≠0)的解集 .x为何值时 , y=ax+b的值大于0 .直线y=ax+b在x轴上方时所对应的x的取值范围 .
求二元一次方程组的解 .解二元一次方程组就相当于求自变量为多少时 , 两个函数值相等 , 以及这个函数值是多少 .解二元一次方程组相当于求两条直线交点的坐标 .
1.直线y=x+3与y轴的交点是 ( ) A.(0,3) B.(0,1) C.(3,0) D.(1,0)
2.直线y=kx+b与两坐标轴的交点如图所示,当y<0时,x的取值范围是 ( ) A. x>2 B. x<2 C. x>-1 D. x<-1
5.如图所示的是函数y= - x+3的图象 , 根据图象回答下列问题 : (1)求方程- x+3=0的解 ;
解 : 由图象可知 : 当x=2时 , y=0 , 即方程- x +3=0的解为x=2 .
(2)求不等式 x+3<0的解集 ;
解 : 由图象可知 : 当x>2时 , y<0 , 即不等式- x+3<0的解集为x>2 .
(3)当x取何值时 , y≥0 .
解 : 由图象可知 : 当x≤2时 , y≥0 .
6.用图象法解方程组：
, ①
由①得:y=-2x+4.
观察图象得：交点(3 , -2) .
7. 某人点燃一根长 25cm 的蜡烛 , 已知蜡烛每小时缩短 5cm , 设x h后蜡烛剩下的长度为y cm . (1)求y与x之间的函数关系式 . (2)几小时后 , 蜡烛的长度不足10cm ?
解：(1)根据题意 , 得y=25-5x , 即y与x之间的函数关系为y=25-5x . (2)当y<10时 , 25-5x<10 , 解这个不等式 , 得x>3 . 所以3小时后蜡烛的长度不足 .
1.理解一次方程、一元一次不等式与一次函数的转化关系及本质联系 , 掌握用图象求解方程、不等式的方法 ;（重点）2.根据一次函数的图象求解方程和不等式 .（难点）
问题①：解方程2x+20=0
问题②：当x为何值时 , 函数y=2x+20的值0 ?
问题③：画出函数y=2x+20的图象 , 并确定 它与x轴的交点坐标 ;
问题④：问题① ②有何关系 ? ① ③呢 ?
当x=－10时 , 函数y=2x+20的值0.
问题③：画出函数y=2x+20 的图象 , 并确定 它与x轴的交点坐标 ;
问题①与问题②可以看作是同一个问题的两种形式 .
问题① ②是从数的角度看 , 问题③是从图形的角度看 .
直线y=2x+20与x轴的交点坐标为(-10 , 0) .
由于任何一个一元一次方程都可化为ax+b=0（a , b为常数a≠0）的形式 , 所以解一元一次方程可以转化为：“求一次函数y= ax+b( a≠0）的值为0时相应的自变量的值.” 从图象上看 , 这又相当于“求直线y= ax+b 与x轴的交点的横坐标”.
例1 : 一个物体现在的速度是5米/秒 , 其速度每秒增加2米/秒 , 再过几秒它的速度为17米/秒 ?
解法1：设再过x秒它的速度为17米/秒 ,
由题意得 , 2x+5=17 ,
解得 x=6 .
答：再过6秒它的速度为17米/秒 .
解法2：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数 : y=2x+5 .
由2x+5=17得 , 2x－12=0 ,
由右图看出直线y=2x－12与x轴的交点为(6 , 0) , 得x=6 .
例1 : 一个物体现在的速度是5米/秒 , 其速度每秒增加2米/秒 , 再过几秒它的速度为17米/秒 ?
解法3：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数 : y=2x+5 .
由右图可以看出当y =17时 , x=6 .
求ax+b=0（a≠0）的解
x为何值时 , y=ax+b的值为0？
确定直线y=ax+b与x轴交点的横坐标
我们知道 , 一次函数的图象是一条直线 .
作出一次函数 y= 2x -5 的图象如右 ,
观察图象回答下列问题 :
(1) x 取哪些值时 , y=0 ?
(2) x 取哪些值时 , y>0 ?
x > 2.5 时 , y > 0 ;
x = 2.5 时 , y= 0 ;
(3) x 取哪些值时, y<0 ?
x < 2.5 时 , y < 0 ;
(4) x 取哪些值时 , y>3 ?
x > 4 时 , y > 3 ;
能否将上述 “关于函数值的问题” 改为 “关于x 的不等式的问题” ?
将“一次函数值的问题”改为“一次不等式的问题”
作出一次函数 y = 2x - 5 的图象如右 ,
(1) x 取哪些值时, y =0 ?
(2) x 取哪些值时, y >0 ?
(3) x 取哪些值时, y <0 ?
(4) x 取哪些值时, y >3 ?
所以 , 将(1)～(4) 中的 y 换成 2x-5 ,
则 , 原题“关于一次函数的值的问题”
就变成了“关于一次不等式的问题”.
如果 y= -2x-5 , 那么当 x 取何值时 , y>0 ?
你解答此道题 , 可有几种方法 ?
-2x- 5 > 0 ;
< -2.5时 y>0 .
用“函数图象法”及“解不等式法”解函数问题
任何关于x的一元一次不等式都可以化成ax+b>0或ax+b<0的形式 . 因此 , 解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时 , 求x的取值范围 . 或者在函数y=ax+b图象上找出纵坐标大于0或小于0的部分 , 看这些点的横坐标满足什么条件 .
可以看出 , 当x<2时这条直线上的点在x轴的下方 ,
解 : (方法一）化简得3x-6<0 , 画出直线y=3x-6 ,
即这时y=3x-6<0 , 所以不等式的解集为x<2 .
例2：用画函数图象的方法解不等式5x+4<2x+10 .
(方法二) : 将原不等式的两边分别看成两个一次函数 ，画出直线y1=5x+4与直线y2=2x+10的图像 ，
可以看出 ，它们交点的横坐标为2 ，
当x＜2时 ，对于同一个x ，直线y1=5x+4上的点在直线y2=2x+10上相应点的下方 ，这时5x+4 ＜ 2x+10 ，所以不等式的解集为x＜2 .
(1)对于方程2x+5y =8如何用x表示y ?
(3)一次函数的图象是一条直线 ,
y = .
(2)是不是任意的二元一次方程都能进行这样的转化呢 ?
对于直线上每个点的坐标(x , y) , 那么 x , y 是不是对应方程的解呢 ?
一般地 , 因为每个含有未知数x和y的二元一次方程 , 都可以改写成y=ax+b的形式 , 所以每个这样的方程都对应一个一次函数 , 于是也对应一条直线 , 这条直线上每个点的坐标(x , y)都是这个二元一次方程的解 . 同样 ,任意一个二元一次方程组都对应着两个一次函数和两条直线 , 这两条直线的交点坐标是该二元一次方程组的解 .
例3：1号探测气球从海拔 5m 处出发 , 以 1m/min 的速度上升 . 与此同时 , 2号探测气球从海拔 15m 处出发 , 以0.5 m/min 的速度上升 . 两个气球都上升了 1h . (1)用式子分别表示两个气球所在位置的海拔y(单位:m)关于 上升时间x(单位:min)的函数关系 ;
解:(1)两个气球所在位置的海拔高度y(m)与上升时间x(min)的 函数关系分别是: 1号气球 : y=x+5 ; 2号气球 : y=0.5x+15 . 自变量x的范围是0≤x≤60 .
追问 : “在某个时刻两个气球位于同一高度” 说明它们两个函数关系式中的x和y的值要满足什么关系 ? 如何求出x和y的值 ?
在某时刻两个气球位于同一高度 , 就是说对于x的某个值 , 函数y=x+5和y=0.5x+15有相同的值y . 由此容易想到解二元一次方程组 .
(2)在某个时刻两个气球能否位于同一高度 ? 如果能 , 这时气球上 升了多长时间 ? 位于什么高度 ?
解:(2)由题意得 解得 当上升 20min 时 , 两个气球都位于海拔 25m 的高度 .
想一想：在同一直角坐标系中 , 画出一次函数y=x+5和y=0.5x+15的 图象 , 观察这两条直线有交点吗 ? 并思考 : 交点坐标是不 是的解 ? 为什么 ?
这两条直线的交点为(20 , 25) , 说明当上升 20min 时 , 两个气球都位于海拔 25m 的高度 . 也就是说交点坐标也就是方程组 的解 .
从“数”的角度看 : 解二元一次方程组, 相当于求自变量为何值时两个函数的函数值相等 , 以及这个函数值是多少 . 从“形”的角度看 : 解二元一次方程组 , 相当于确定两条相应直线的交点 .
例4： 某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元 , 销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元 . (1) 求每台A型电脑和B型电脑的销售利润 ;
解:(1) 设每台A型电脑的销售利润为a元 , 每台B型电脑的销售利润为b元 , 则有: 解得 即每台A型电脑的销售利润为100元 , 每台B型电脑的销售利润为150元 .
②根据题意 , 得100-x≤2x , 解得x≥ . ∵ y=-50x+15000中 , -50<0 , ∴ y随x的增大而减小 . ∵ x为正整数 , ∴当x=34时 , y取得最大值 , 此时100-x=66 . 即商店购进A型电脑34台 , B型电脑66台 , 才能使销售总利润最大 .
(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台,其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍 . 设购进A型电脑x台 , 这100台电脑的销售总利润为y元 . ①求y关于x的函数关系式 ; ②该商店购进A型、B型电脑各多少台 , 才能使销售总利润最大 ?
解：①根据题意 , 得y=100x+150(100-x),即y=-50x+15000 .
(3)实际进货时 , 厂家对A型电脑出厂价下调m(0
一次函数与方程、不等式：
求方程ax+b=0(a, b是常数,a≠0)的解 .x为何值时 , y=ax+b的值为0 .求直线y= ax+b与x轴交点的横坐标 .
求不等式ax+b>0(a≠0)的解集 .x为何值时 , y=ax+b的值大于0 .直线y=ax+b在x轴上方时所对应的x的取值范围 .
求二元一次方程组的解 .解二元一次方程组就相当于求自变量为多少时 , 两个函数值相等 , 以及这个函数值是多少 .解二元一次方程组相当于求两条直线交点的坐标 .
1.直线y=x+3与y轴的交点是 ( ) A.(0,3) B.(0,1) C.(3,0) D.(1,0)
2.直线y=kx+b与两坐标轴的交点如图所示,当y<0时,x的取值范围是 ( ) A. x>2 B. x<2 C. x>-1 D. x<-1
5.如图所示的是函数y= - x+3的图象 , 根据图象回答下列问题 : (1)求方程- x+3=0的解 ;
解 : 由图象可知 : 当x=2时 , y=0 , 即方程- x +3=0的解为x=2 .
(2)求不等式 x+3<0的解集 ;
解 : 由图象可知 : 当x>2时 , y<0 , 即不等式- x+3<0的解集为x>2 .
(3)当x取何值时 , y≥0 .
解 : 由图象可知 : 当x≤2时 , y≥0 .
6.用图象法解方程组：
, ①
由①得:y=-2x+4.
观察图象得：交点(3 , -2) .
7. 某人点燃一根长 25cm 的蜡烛 , 已知蜡烛每小时缩短 5cm , 设x h后蜡烛剩下的长度为y cm . (1)求y与x之间的函数关系式 . (2)几小时后 , 蜡烛的长度不足10cm ?
解：(1)根据题意 , 得y=25-5x , 即y与x之间的函数关系为y=25-5x . (2)当y<10时 , 25-5x<10 , 解这个不等式 , 得x>3 . 所以3小时后蜡烛的长度不足 .
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