高中数学人教版新课标A必修53.2 一元二次不等式及其解法学案

学校：临清二中   学科：数学    编写人：穆守伏    

课题:     §3.2  一元二次不等式及其解法（1）

授课类型：新授课

【教学目标】

1．知识与技能: 理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；

2．过程与方法: 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；

3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想．

【教学重、难点】

重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法．

难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系．

【教学过程】

1．课题导入

从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：

课本P76互联网的收费问题

教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型：．

2．讲授新课

（1）一元二次不等式的定义

象这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．

（2）探究一元二次不等式的解集

怎样求不等式的解集呢？

探究：

①二次方程的根与二次函数的零点的关系

容易知道：二次方程的有两个实数根：

二次函数有两个零点：

于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点．

②观察图象，获得解集

画出二次函数的图象，如图，观察函数图象，可知：

当，或时，函数图象位于轴上方，此时，，即；

当时，函数图象位于轴下方，此时，，即；

所以，不等式的解集是，从而解决了本节开始时提出的问题．

（3）探究一般的一元二次不等式的解法

任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：，或．

 一般地，怎样确定一元二次不等式与的解集呢？

组织学生讨论：

从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：

①抛物线与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程的根的情况；

②抛物线的开口方向，也就是的符号．

总结讨论结果：

①抛物线 与轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程的判别式三种取值情况(，，）来确定．因此，要分二种情况讨论．

②可以转化为

分，，三种情况，得到一元二次不等式与的解集．

设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第77页的表格)

3．范例讲解

例1  (课本第78页)求不等式的解集.

解：因为，方程的解是．

所以，原不等式的解集是．

评述：本题主要熟悉最简单一元二次不等式的解法，一定要保证步骤正确，计算准确．

变式训练：课本第80页第1题(1)，(4)，(6)．

例2  (课本第78页)解不等式．

解：整理，得.

因为，方程无实数解，

所以不等式的解集是.

从而，原不等式的解集是.

评述：将转化为的过程注意符号的变化，这是解题关键之处，讲课要放慢速度．

变式训练：课本第80页第1题(2)，(3)，(5) (7)．

4．课时小结

解一元二次不等式的步骤：

①将二次项系数化为“”：(或)．

②计算判别式，分析不等式的解的情况：

ⅰ．时，求根，

ⅱ．时，求根，

ⅲ．时，方程无解，

③写出解集．

【作业布置】

课本第80页习题3.2[A]组第1题

【板书设计】

【教学后记】

学校：临清二中   学科：数学    编写人：穆守伏   

课题:     §3.2  一元二次不等式及其解法（1）

课前预习学案

【知识准备】

1．我们把               ，并且                不等式，称为一元二次不等式．

2．不等式的解集是                ．

3．若将不等式的二次项系数化为正数，则不等式化为             ．

【预习内容】

课本第76-78页．

1．尝试写出课本P76三个实例对应的不等式．

2．探究方程的根与二次函数的零点的关系．

3．探究不等式的解集．

【提出疑惑】

1．不等式与的解集之间有什么关系？规律是什么？

2．如何将不等式与二次函数的零点的关系？以不等式与二次函数的零点为例进行探究．

3．如何将不等式进行转化？

课内探究学案

【学习目标】

1．理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；

2．熟练准确地解节简单的一元二次不等式．

【提出问题】

1．如何解一般的一元二次不等式与？

2．如何解一般的一元二次不等式？

【合作探究】

1．探究不等式与二次函数的零点之间的关系．

2．总结其中的规律，并尝试完成课本第77页的表格

2．尝试用框图将求解一般一元二次方程的过程表示出来．

3．试运用上面的规律解答例题，修正已有的观念，并做对应练习进行巩固．

例1  (课本第78页)求不等式的解集．

变式训练：课本第80页第1题(1)，(4)，(6)．

例2  (课本第78页)解不等式．

变式训练：课本第80页第1题(2)，(3)，(5) (7)．

【反思总结】

解一元二次不等式的步骤：

①将二次项系数化为“”：(或)．

②计算判别式，分析不等式的解的情况：

ⅰ．时，求根，

ⅱ．时，求根，

ⅲ．时，方程无解，

③写出解集．

【完成作业】

课本第80页习题3.2[A]组第1题

课后练习与提高

1．与不等式的解集相同的是（    ）

   A．       B．       C．     D．

2．关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ）

   A．       B．

   C．        D．

3．集合，，则（    ）

A．       B．

   C．                 D．

4．已知集合，，则             ．

5．不等式的正整数解集为             ．

6．解下列不等式

① ；

② 2)；

③

答案：

1．A    2．C   3．A    4．    5．

6．① ；② ；③

学校：临清二中   学科：数学    编写人：穆守伏    

课题:     §3.2  一元二次不等式及其解法（2）

授课类型：新授课

【教学目标】

1．知识与技能：巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，进一步熟练解一元二次不等式的解法；

2．过程与方法：培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；

3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想．

【教学重、难点】

重点：熟练掌握一元二次不等式的解法

难点：理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系

【教学过程】

1．课题导入

（1）一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系

（2）一元二次不等式的解法步骤——课本第77页的表格

2．范例讲解

例3  某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车的速度 x km/h有如下的关系：．

在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到0.01km/h）

解：设这辆汽车刹车前的速度至少为 km/h，根据题意，我们得到

移项整理得：

显然，方程有两个实数根，即．

所以不等式的解集为．

在这个实际问题中，，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.

评述：注意体会三个“二次”之间的关系．

变式训练：课本第80页练习2

例4  一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：

若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？

解：设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车，根据题意，我们得到

移项整理，得

因为，所以方程有两个实数根．

由二次函数的图象，得不等式的解为：．

因为x只能取正整数，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51-59辆之间时，这家工厂能够获得6000元以上的收益．

评述：教师板书图象的绘制过程，以起到示范作用．

变式训练：课本第80页习题3.2 A组第5题．

3．补充例题

例5  设，，且，求的取值范围．

解：令由，及二次函数图象的性质可得

，即，解之得．

因此的取值范围是．

评述：留足思考时间，弄清楚两个集合对应二次函数图象之间的关系．

变式训练：课本第80页习题3.2 A组第3题．

4．课时小结

进一步熟练掌握一元二次不等式的解法；

一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系．

【板书设计】

【作业布置】

课本第80页习题3.2[A]组第4，6题

【教学后记】

学校：临清二中   学科：数学    编写人：穆守伏    

课题:          §3.2  一元二次不等式及其解法（2）

课前预习学案

【知识准备】

1．回顾一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系．

2．重新复述一元二次不等式的解法步骤——课本第77页的表格．

3．如何将不等式进行转化？

【预习内容】

课本第78-79页．

1．尝试解答课本P78-79两个例题．

2．进一步巩固一元二次不等式的解法步骤．

3．探究下面题目的解法

例5  设，，且，求的取值范围．不等式的解集．

【提出疑惑】

1．为什么遇到有关应用的题目就“头疼”，如何审题？

2．解答应用题需要注意些什么？

课内探究学案

【学习目标】

1．巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，进一步熟练解一元二次不等式的解法；

2．激发自己学习数学的热情，培养不怕困难、勇于探索的精神．

【提出问题】

1．有关应用的题目如何审题？怎样才能顺利入手解题？需要注意点有哪些问题？

2．一元二次不等式与的解集具有什么关系？

【合作探究】

1．例3  某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车的速度 x km/h有如下的关系：．

在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到0.01km/h）

探究不等式与二次函数的零点之间的关系．

变式训练：课本第80页练习2

2．例4  一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：

若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？

变式训练：课本第80页习题3.2 A组第5题．

3．补充例5  设，，且，求的取值范围．

变式训练：课本第80页习题3.2 A组第3题．

【反思总结】

1．熟练掌握一元二次不等式的解法；

2．一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系．

【完成作业】

课本第80页习题3.2[A]组第4，6题

课后练习与提高

1．若不等式（）无解，则实数的取值范围是（    ）

   A．       B．       C．     D．

2．关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ）

   A．                B．

   C．                D．

3．(1998年上海高考题)设全集，， (是常数)，且11∈B，则（    ）

A．           B．

   C．       D．

4．若恒成立，则实数的取值范围是             ．

5．若的解集为，则________，________．

6．已知在区间上的最小值是3，求的值．