2020-2021学年3.1 不等关系与不等式课后练习题

不等式专题练习

一、选择题（每题4分，共32分）
　　1、已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　　　 ）
　　A. a2>b2　　　　 B. lga>lgb　　　　 Ｃ. 　　　　　　D.
　　2、若 , 则下列结论不正确的是（　　　　 ）
　　A．a2<b2　　　　 B. ab<b2　　　　 C. 　　　　D. |a|+|b|>|a+b|
　　3、设a+b<0,且b>0，则
　　A．b2>a2>ab　　　　 B.a2<b2<-ab　　　　 Ｃ. a2<-ab<b2　　 D. a2>-ab>b2
　　4、不等式 的解集为（　　 ）
　　A.(-∞,-1) (1,+ ∞)　　　　 B.(- ∞,-2) (2,+ ∞)　　 C. (-1,1)　　 D. (-2,2)
　　5、已知三个不等式：
　　（1）ab>0　　　　（2） 　　　（3）bc>ad
　　以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数为（　　 ）
　　A．1　　　　 B. 2　　　　 C. 3　　　　 D. 4
　　6、已知实数x, y满足 ， 若x>0，则x的最小值为（　　 ）
　　A. 2　　 B.4　　 C.6　　 D.8
　　7、已知不等式 的解集为（-∞，-1） （0，3），则实数a的值为（　　 ）
　　A．-3　　　　 B. 3　　　　 C. –1　　　　 D.1
　　8、已知f(x)=3x+1,　　 a,b (0,+ ∞), 若|x-1|<b,则 |f(x)-4|<a，则a,b之间的关系为（　　 ）
　　A．3b≤a　　　　 B. 3a≤b　　　　 C.3b>a　　　　 D.3a≥b
　　二、填空题（每题5分，共20分）
　　1、不等式x(|x|-1)(x+2)<0的解集为　　　　　　　　　　 。
　2、已知关于x的不等式 的解集为（-∞，1） （2，+∞），则不等式 的解集为　　　　　 。
　　3、设当|x-2|＜a（a＞0）成立时，|x2-4|＜1也成立，则a的取值范围为　　　　　　　　　　　 。
　　4、已知x+2y=4，且x≥0, ,则满足 的x的取值范围为　　　　　　　　　　 。
　　三、解答题（本大题共4题，每题12分，每分48分）
　　1、若x, y R+，且 ，求u=x+y的最小值
　　2、设函数f(x)=-4x+b，且不等式|f(x)|<c的解集为（-1，2）
　　（1）求b的值；　　（2）解关于x的不等式（4x+m）f(x)>0　　 (m R)
　　3、解不等式
　　4、已知实数a,b满足：关于x的不等式|x2+ax+b|≤|2x2-4x-16|对一切x∈R均成立
　　（1）验证a=-2 ,　　 b=-8满足题意；　　（2）求出满足题意的实数a，b的值，并说明理由；
　　（3）若对一切x>2，都有不等式x2+ax+b≥（m+2）x-m-15成立，求实数m的取值范围。
　　答案与解析
　　一、选择题
　　1、选D
解析：从认知已知不等式入手： ,其中a,b可异号或其中一个为0，由此否定A,B,C，应选D
　　2、选D
　　解析：以认知已知不等式入手：
　　 　　 　由此断定A，B，C正确，应选D
　　3、选D　　解析：注意到条件简明与选项的复杂，考虑运用特值法：
　　取a=-2,　　 b=1,　　 则a2=4,　　 b2=1,　　 ab=-2,　　 -ab=2　　由此否定A,B,C,　　 应选D
　　4、选D
　　解析：注意到x R, x2=|x|2　　∴x2-|x|-2<0 |x|2-|x|-2<0 (|x|-2)(|x|+1)<0 |x|-2<0 |x|<2　　故应选D
　　5、选C
　　解析：运用不等式性质进行推理，从较复杂的分式不等式（2）切入，去寻觅它与（1）的联系。
　　（2） 　　(沟通与（1）、（3）的联系)
　　由此可知，（1）、（3） （2）；　　（1）、（2） （3）；　　（2）、（3） （1）；
　　故可以组成的正确命题3个，应选C
　　6、选B
　　解析：当y=1时， ；　　当y≠1且y≠0时，由已知得
　　∴当y>1时 ≥4(当且仅当 时等号成立;
　　当y<1且y≠0时, ，不合题意　　于是可知这里x的最小值为4, 应选B
　　7.选B
　　解析：从不等式的等价转化切入:　　 　　 x(x2-2x-a) ≤0(x≠0)
　　∴由已知不等式的解集知x1=-1，x2=3为方程x2-2x-a=0的根　　∴由x1·x2=-a得a=3　　本题应选B
　　8、选A　　解析：为便于表述，令A={x| |x-1|<b}， B={x| |f(x)-4|<a}
　　则A=（1-b，1+b）,　 　由题设知A B，故有
　　由此得3b≤a，应选A
　　二、填空题：
　　1、答案：（-2，-1）∪（0，1）
分析：x(|x|-1)(x+2)<0
　　 0<x<1 或-2<x<-1　　∴原不等式解集为（-2，-1）∪（0，1）
　　点评：解不等式组的基本技巧，是利用不等式组中各个成员不等式之间的相互制约，变换简化或减少不等式组的成员，大家可从上述分析中细细品悟，并在今后的解题实践中刻意运用。
　　2、答案：（-∞，0）∪[2，+∞）
分析：立足于直面求解： (x-1)[(a-1)x+1]<0①∴由已知解集得　　 a-1<0且①
　　因此，不等式 x(x-2) ≥0(x≠0) x＜0或x≥2
　　∴所求不等式的解集为（-∞，0）∪[2，+∞）
　　3、答案：
　　分析：设A={x| |x-2|＜a　　 (a＞0) },　　 B={x| |x2-4|＜1}　则A=（2-a, 2+a）,　　
　　由题意得A B，注意到这里a＞0，∴由A B得
　　 　　于是可得a的取值范围为
　　4、答案： 　分析：由已知得　　
　　
　　
　　
　　∴所求x的取值范围为
　　点评：解关于x,y的二元不等式，用消元法归结为一元不等式的求解时，一方面要注意明显的所给x,y的范围，另一方面又要注意隐蔽的已知等式的制约功能。由“明”“暗”双方结合，才能推出题设条件下的x或y的正确范围，此为条件不等式问题解题成功的保障。
　　三、解答题
　　1、　分析：面对 的条件，常见的应用主要有“1”的替换或“三角替换”以及“解出代入”等手法，不同的视角便产生不同的解法。
　　解法一（解出——代入）：由 得：
　　 　　∵y>4　　 ∴y-4>0
　　 （当且仅当 时等号成立）
　　∴ （当且仅当x=3且y=6时取得）
　　解法二（1的替换）：
　　∵x, y R+
　　∴ （当且仅当 即x=3且y=6时，等号成立）　　∴ （当且仅当x=3且y=6时取得）
　　2、分析：（1）为化“抽象”为“具体”，以f（x）=-4x+b代入|f(x)|＜c，于是|f(x)|＜c可解，从而由已知解集易得所含参数的值；　　（2）解含参不等式，注意分类讨论的主线：一为x的系数的符号或数值，一为两因式的根的比较。
　　解：　（1）由题设得|f(x)|<c |4x-b|<c　 ①　又已知|f(x)|<c的解为-1<x<2　　 ②
　　∴由①②得 　　由此解得b=2
　　（2）由（1）得f(x)=-4x+2　　∴关于x的不等式（4x+m）f(x)>0(m R) (4x+m)(4x-2)<0　　 (m R)
　　 ③　　由比较 的大小为主线引发讨论：
　　(i)　当 即m＜-2时　　 由③解得 ；　　(ii) 当 ,即m= -2时, 不等式③无解；
　　(iii)当 ,即m＞-2时, 由③得 　　∴ 当m<-2时 原不等式解集为 ；
　　当m=-2时, 原不等式解集为ф；　　当m>-2时 , 原不等式解集为 。
　　点评：对于含参数的不等式求解，讨论时务必主线突出，层次分明，本题的讨论，便是以③式左边两因式的根的大小为主线展开讨论的。
　　3、　　解：循着求解分式不等式的思路
　　原不等式 　　
　　 (x-2)[(a-1)x-(a-2)]>0　　　　 ①　　为确定两个因式的根的大小而讨论:
　　注意到当a-1≠0时，
　　（1）当a=1时，原不等式 x-2>0 x>2
　　（2）当a≠1时
若0<a<1时，a-1<0， ∴由得①原不等式
若a>1时，a-1>0且 ∴由得原不等式
　　于是由（1）、（2）知　　当0<a<1时，原不等式解集为
　　当 a=1时，原不等式解集为（2，+∞）；　　当a>1时，原不等式解集为
　　点评：解不等式①面临两个不确定因素：
　　一个是第二因式中x的系数（a-1）（它决定不等号的方向）　　
　　二是两个因式的根的大小，对此，我们的解决方法是运用“两分法”的两级讨论：第一级：a-1的符号（或数值）主线引出；第二级：在第一级讨论的分支里，以两个因式的根的大小为主线引出，这两级讨论可以层次分明 ，也可以统筹兼顾，完成于同一个过程中。
　　4、
　　分析：对于（2）注意到我们解决含参不等式问题的经验——特殊不等式与等式的等价性：|a+b|≤0 |a+b|=0 a+b=0；
　　前事不忘后事之师，又注意到上述不等式的特征：右边为0，所以这里欲由一个不等式确定两个实数a,b的值，在运用特取手段时，首先选择使右式等于零的x的值，解题的局面便是由此打开的。
　　解：（1）当a=-2,b=-8时，所给不等式左边=x2+ax+b|=|x2-2x-8|≤2|x2-2x-8|=|2x2-4x-16|=右边
　　∴此时所给不等式对一切x∈R成立
　　（2）注意到 2x2-4x-16=0 x2-2x-8=0 (x+2)(x-4)=0 x=-2或x=4　∴当x=-2或x=4时　　 |2x2-4x-16|=0
　　∴在不等式|x2+ax+b|≤|2x2-4x-16|中分别取x=-2，x=4得　
　　又注意到（1）知当a=-2，b=-8时，所给不等式互对一切x R均成立。∴满足题意的实数a,b只能a=-2,b=-8一组
　　（3）由已知不等式x2-2x-8≥(m+2)x-m-15　　

对一切x>2成立 x2-4x+7≥m(x-1)对一切x>2成立 　　 ①
　　令 　 ②　　则（1） m≤g(x)的最小值　　　　　　　　　　
　　 　　又当x>2时，x-1>0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　 （当且仅当 时等号成立）
　　∴g(x)的最小值为6（当且仅当x=3时取得） ③∴由②③得　　 m≤2　　　∴所求实数m的取值范围为（-∞，2]
　　点评：　对于（2），应注意品悟，取特殊值的目的性；对于（3）应注意品悟不等式当x>2时恒成立的转化的等价性。